萬(wàn)物有波

馬慧元

傅立葉是誰(shuí)

“傅立葉級(jí)數(shù)”，遠(yuǎn)比傅立葉有名，不過(guò)法國(guó)多事之秋中的數(shù)學(xué)家傅立葉其人，也有不少故事。

傅立葉（Jean-Baptiste Joseph Fourier，1768-1830），出生于離巴黎不遠(yuǎn)的小城歐塞爾（Auxerre）的一個(gè)裁縫之家。九歲成了孤兒之后，進(jìn)入本篤會(huì)（Benedictines）修道院，又在本地的一所軍事學(xué)校繼續(xù)讀書(shū)，開(kāi)始愛(ài)上了數(shù)學(xué)。他在教室里到處撿人家丟棄的蠟燭頭，晚上好接著鉆研數(shù)學(xué)。十三四歲的時(shí)候，他已經(jīng)自學(xué)完了貝祖定理，成了校中的學(xué)霸，不要說(shuō)數(shù)學(xué)，連歌唱都拿了獎(jiǎng)，他的理想是憑成績(jī)進(jìn)入軍事學(xué)校學(xué)工程。不過(guò)，這個(gè)快樂(lè)、敏捷的孩子十六歲之后患上了哮喘病，不得不花整整一年的時(shí)間休養(yǎng)。此外，軍事學(xué)校要求必須出身貴族才能繼續(xù)學(xué)習(xí)軍事工程，這樣，他被軍事學(xué)校狠狠地拒絕了，“哪怕他是第二個(gè)牛頓”，官員這樣說(shuō)。

軍事學(xué)校的路子被堵死了，但二十出頭的傅立葉找到機(jī)會(huì)在歐塞爾的一所修道院里教數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的法國(guó)修道院往往是教育、科研的場(chǎng)所，有些修道院在后來(lái)的法國(guó)大革命中被關(guān)閉，也有的因?yàn)閾碛行酆竦慕逃龑?shí)力而幸免于難。傅立葉所在的修道院就是這樣，平安度過(guò)了動(dòng)亂期，只是他在這里并不開(kāi)心。當(dāng)時(shí)，在家長(zhǎng)們的要求下，拉丁文已經(jīng)漸漸讓位給數(shù)學(xué)，雖然是數(shù)學(xué)控，但傅立葉很不滿意學(xué)校放棄拉丁文，他終生都愛(ài)讀人文書(shū)籍。此外，他在寫(xiě)給朋友的信中還不斷抱怨，本來(lái)是要獻(xiàn)身于研究和信仰，不料每天面對(duì)的都是雞毛蒜皮和種種摩擦。他每天的生活很有規(guī)律，但沒(méi)什么自己的生活。日日無(wú)書(shū)可讀，他曾經(jīng)就用一本殘缺的蒙田來(lái)消磨時(shí)日。他在日記中寫(xiě)道：“昨天是我二十一歲生日，牛頓和帕斯卡已經(jīng)成就斐然的年紀(jì)。”

一七九二年，法國(guó)大革命處在高潮，人心惶惶，不過(guò)安靜的小城歐塞爾并沒(méi)有受到很大的影響。后來(lái)形勢(shì)突變，歐塞爾不再寧?kù)o，傅立葉突然決定投身本地的政治，而此時(shí)過(guò)了九月，革命又進(jìn)入恐怖時(shí)期。他萌生了退意，但為時(shí)已晚，很難抽身了。他被派到奧爾良執(zhí)行任務(wù)，中間卷入了一些沖突，細(xì)節(jié)并沒(méi)有太多記錄，但他在日記中說(shuō)：“絕對(duì)沒(méi)有違背大革命的原則?！?到底什么是大革命的原則呢？這即使在雅各賓派的核心之內(nèi)也有異議。在王后和一些吉倫特派成員被送上斷頭臺(tái)之后的高壓環(huán)境里，傅立葉處境危險(xiǎn)，幸好有人力保才沒(méi)有被當(dāng)作敵人。此時(shí)人人自危，命如草芥，斷頭臺(tái)下前仆后繼。

而后傅立葉回到了歐塞爾，當(dāng)上了歐塞爾革命委員會(huì)的頭領(lǐng)，擁有了那么一點(diǎn)點(diǎn)自保的特權(quán)。大革命爆發(fā)的這兩年里，近二十萬(wàn)法國(guó)公民在《嫌疑犯法令》（Law Of Suspects）之下被捕，一萬(wàn)七千多人被處死。一七九四年十月，傅立葉也被逮捕了，有人說(shuō)他“不適合公職”。他被釋放后又被重新逮捕，罪名起源是在奧爾良的一次運(yùn)動(dòng)中，他站隊(duì)到無(wú)褲黨（Sans-culottes，又稱“無(wú)套褲漢”，原意指法國(guó)下層階級(jí)老百姓，也指大革命早期的激進(jìn)主義者）那邊，被羅伯斯庇爾的人視為威脅。此時(shí)恐怖氣氛愈演愈烈，殺人如割韭菜，二十六歲的他，在死亡恐懼中度日如年。萬(wàn)幸的是，幾天以后羅伯斯庇爾自己被送上了斷頭臺(tái)。消息抵達(dá)歐塞爾之后，包括傅立葉在內(nèi)的許許多多身處危險(xiǎn)的人都松了口氣。又煎熬了一個(gè)月，他才被釋放。

此時(shí)傅立葉雖然仍然有政治職務(wù)在身，但終于當(dāng)上了歐塞爾學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。不過(guò)，后來(lái)他被法國(guó)師范學(xué)院（那時(shí)還不叫高等師范學(xué)院）錄取，就來(lái)到了恐怖氣氛未除的巴黎。進(jìn)了學(xué)校，傅立葉如魚(yú)得水，他遇到了拉普拉斯、拉格朗日、蒙日這些一流數(shù)學(xué)家。

在這里，他總算是遠(yuǎn)離政治，并且恨不得把“革命”的過(guò)往從自己身上洗清了?？伤吘故歉锩瘑T會(huì)的前主席，人家可沒(méi)忘記舊賬。有消息傳來(lái)，說(shuō)因?yàn)榭植罆r(shí)期跟權(quán)力相聯(lián)系的過(guò)往，他可能會(huì)被學(xué)校開(kāi)除。不久，他果然再次被捕。他要求公審，并申明自己在歐塞爾任職期間，從未加害于人，從未允許和參與恐怖的屠殺;相反，他自己倒險(xiǎn)些被極端的革命者送上斷頭臺(tái)。他救過(guò)不少無(wú)辜者，當(dāng)然，不可避免地，也簽署過(guò)很多人的逮捕證。他申辯說(shuō)，他們以為以我的位置，可以拯救所有人。諷刺的是，現(xiàn)在指控他的人，有一些屬于他支持的無(wú)褲黨，不久前傅立葉還因?yàn)樗麄兌氇z。最終，他又被糊里糊涂地給放了出來(lái)?；貙W(xué)校教書(shū)的時(shí)候，中央公共工程學(xué)院（?cole centrale des travaux publics）已更名為巴黎綜合理工學(xué)院（?cole Polytechnique）。他自然繼續(xù)夾起尾巴做人，這位前雅各賓派熱血青年閉口不再提革命。

一七九八年，拿破侖將軍要出征埃及（并且有著“科學(xué)考察”的目的），征召了一批科學(xué)家、學(xué)者甚至藝術(shù)家，僅僅巴黎綜合理工學(xué)院就有不少人，傅立葉也作為數(shù)學(xué)家應(yīng)征。士兵去了三萬(wàn)人，一共出動(dòng)十八艘船。順便說(shuō)一下，混血的騎兵軍官托馬·亞歷山大·仲馬也在其中，他是貴族和黑奴的孩子，一生跌宕傳奇，而他的兒子，就是寫(xiě)了《基度山伯爵》的大仲馬。

話說(shuō)這開(kāi)往埃及的海路極為漫長(zhǎng)，拿破侖每每不暈船的時(shí)候，都會(huì)召人來(lái)談?wù)効茖W(xué)問(wèn)題，后來(lái)演變成一個(gè)“開(kāi)羅學(xué)會(huì)”，傅立葉任秘書(shū)。旅途極為艱苦危險(xiǎn)，一度與大陸斷了聯(lián)系。種種坎坷之中，拿破侖仍然定期跟學(xué)會(huì)的人見(jiàn)面。這個(gè)學(xué)會(huì)不僅是為推進(jìn)關(guān)于埃及的研究，某種程度上也是拿破侖的智囊團(tuán)，討論的問(wèn)題從在當(dāng)?shù)蒯勂【频皆祜L(fēng)車，無(wú)所不包?？茖W(xué)家和學(xué)者對(duì)這種生活深感興奮，比如傅立葉聽(tīng)到傳聞?wù)f要撤離開(kāi)羅的時(shí)候，直追著蒙日等人到大街上理論;同行者中卻也有人追著拿破侖苦苦央求帶他回法國(guó)。

最終，他們還是狼狽兮兮地返回了法國(guó)。這次探險(xiǎn)在歷史上留下了許多話柄，比如給當(dāng)?shù)厝藥?lái)了巨大災(zāi)難，再比如拿破侖也損失慘重，還拋棄了官兵自己秘密逃回法國(guó)，留下個(gè)爛攤子。他曾經(jīng)許諾讓每位士兵帶回六畝地的財(cái)產(chǎn)，其實(shí)最終能幸運(yùn)回去的人，能帶回一些“傳說(shuō)”和一點(diǎn)戰(zhàn)利品就不錯(cuò)了。而拿破侖此行，對(duì)埃及古文化、象形文字的研究、“埃及學(xué)”的創(chuàng)立所作的貢獻(xiàn)，倒是彪炳后世。傅立葉在這里的時(shí)光，從表面看只是履行使命，認(rèn)真整理開(kāi)羅當(dāng)?shù)氐牡乩砗臀奈镔Y料，日后出版了一冊(cè)詳細(xì)的《埃及記敘》（Description de l'?gypte）。今天的科學(xué)學(xué)生們，誰(shuí)能想到數(shù)學(xué)家傅立葉竟然是“埃及學(xué)”的創(chuàng)始人之一。

三年后，三十三歲的傅立葉被拿破侖任命為伊澤爾?。↖sère）的省長(zhǎng)（Prefect，當(dāng)時(shí)的法國(guó)共有八十三個(gè)省），可他本來(lái)是打算回師范學(xué)院繼續(xù)當(dāng)數(shù)學(xué)教師的。沒(méi)有辦法，他只得硬著頭皮上任，工作很多很雜，從城市的排水到修路，還在省會(huì)格諾伯勒成立了“藝術(shù)與科學(xué)學(xué)會(huì)”，政績(jī)極出色。正是從這段時(shí)間開(kāi)始，他對(duì)熱傳導(dǎo)產(chǎn)生了興趣。他身體不好，總要待在溫暖的房間里，而從炎熱的埃及回到寒冷的伊澤爾省之后，健康更加糟糕，他得盡力維持房間的溫度。大約是出于這樣的原因，熱在固體中的傳導(dǎo)、擴(kuò)散一直是他喜歡思考的問(wèn)題。一八○七年，這位年輕省長(zhǎng)的政績(jī)中，居然增添了一篇記載于史冊(cè)的熱學(xué)論文—《熱在固體中的傳播》。這是他一生看重的熱傳導(dǎo)研究的開(kāi)始。

在成功的仕途中，傅立葉并不快樂(lè)。他的數(shù)學(xué)家?guī)熡褌兇蠖嘣诎屠瑁麄兌贾栏盗⑷~渴望回歸數(shù)學(xué)圈子，也都盡力建議拿破侖放傅立葉回學(xué)校教書(shū)，但拿破侖充耳不聞。很多人悄悄猜測(cè)，大約傅立葉曾經(jīng)力挺過(guò)拿破侖的一個(gè)政敵。看上去，傅立葉得在伊澤爾省做到退休了。

命運(yùn)卻出現(xiàn)了轉(zhuǎn)折。一八一四年，普魯士、俄國(guó)等國(guó)的盟軍攻入巴黎，拿破侖打了敗仗（此時(shí)距上次外國(guó)軍隊(duì)攻入巴黎已經(jīng)有二十年了），伊澤爾省被奧地利軍隊(duì)圍困。而此時(shí)，拿破侖在被流放到厄爾巴島的路上，正好要途經(jīng)這里。這可尷尬了，作為省長(zhǎng)不能不迎接，但怎么面對(duì)失勢(shì)的舊主呢？躲起來(lái)不站隊(duì)也不可能。傅立葉沒(méi)有好辦法，懊喪地等待那一刻。不過(guò)到了那一天，消息突然傳來(lái)，拿破侖繞道而行，不經(jīng)過(guò)這里了。傅立葉終于松了口氣。不過(guò)有人發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這是傅立葉自己“爭(zhēng)取”到的福利，他試著放風(fēng)給拿破侖，說(shuō)歡迎人群可能太多，有些危險(xiǎn)云云。

這段時(shí)間里，被砍頭的路易十六的弟弟，從大革命時(shí)期就流亡在外的路易十八已經(jīng)回到法國(guó)，波旁王朝復(fù)辟。風(fēng)頭突變，誰(shuí)都摸不準(zhǔn)形勢(shì)。一八一五年二月，傅立葉突然收到鄰省省長(zhǎng)來(lái)信，拿破侖又帶著一千多人來(lái)格勒諾布爾了。怎么辦呢？傅立葉這次不能再躲了，趕緊跟市民申明“必須跟國(guó)王一條心”，違者必究。最后，拿破侖還是讓人強(qiáng)行打開(kāi)大門，此時(shí)傅立葉已經(jīng)從另一個(gè)門消失掉了，給拿破侖留下一封信，說(shuō)實(shí)在無(wú)奈，必須對(duì)國(guó)王盡忠，希望舊主海涵。后來(lái)，拿破侖從厄爾巴島逃回，建立了“百日王朝”。拿破侖對(duì)傅立葉記恨不淺，把他伊澤爾省長(zhǎng)的職務(wù)停掉，并派他到里昂。不久，傅立葉就在官員們的人際斗爭(zhēng)中落敗、辭職。拿破侖給了傅立葉一筆退休金，讓他告老還鄉(xiāng)了事。

傅立葉終于擺脫了案牘勞形的生活，回到巴黎，跟數(shù)學(xué)家拉普拉斯、蒙日等人再次聚首。此時(shí)風(fēng)云再變，拿破侖戰(zhàn)敗，法國(guó)又復(fù)辟成了波旁王朝，傅立葉的退休金被廢止。恐怖時(shí)期又開(kāi)始了，只是換了個(gè)方向：前雅各賓派、拿破侖黨都受到?；庶h的迫害。最后，在一個(gè)熟人，也是埃及之行的同僚之一的幫助下，傅立葉爭(zhēng)取到小筆收入，就是在塞納的統(tǒng)計(jì)局獲得一份監(jiān)管之職。而忠誠(chéng)地跟隨拿破侖出征埃及，后來(lái)又兢兢業(yè)業(yè)為法國(guó)高等教育盡力的蒙日，則沒(méi)那么幸運(yùn)。他被驅(qū)逐出科學(xué)院，死于潦倒。

傅立葉此時(shí)希望自己能逐漸恢復(fù)在科學(xué)界的地位，比如進(jìn)入法蘭西科學(xué)院，另外申請(qǐng)一份比較舒服的待遇，起碼恢復(fù)拿破侖批準(zhǔn)的退休金，這些都被國(guó)王無(wú)情地否決了。雖然，他當(dāng)年卷入雅各賓派的污點(diǎn)沒(méi)有遭到“再度曝光”，但他在拿破侖百日王朝這段時(shí)間對(duì)舊主有所支持，雖然最終與拿破侖反目，但新國(guó)王顯然更反感他，傅立葉就這樣被兩方唾棄。為了爭(zhēng)取一份體面的待遇，他經(jīng)歷了一場(chǎng)痛苦的拉鋸戰(zhàn)。傅立葉在寫(xiě)給法國(guó)內(nèi)政部的信中指出，自己當(dāng)年主持《埃及記敘》的編訂，耗盡心力也沒(méi)拿到報(bào)酬;在伊澤爾省為了排水工程自掏腰包也沒(méi)有報(bào)銷。拖到一八一六年，傅立葉似乎有機(jī)會(huì)進(jìn)入法蘭西科學(xué)院，卻被國(guó)王無(wú)情地否決了，之后傅立葉不斷地申訴，他的朋友也不斷地向國(guó)王請(qǐng)求、解釋。又過(guò)了一年，科學(xué)院的物理分支有了個(gè)空缺，傅立葉在五十票中獲得四十七票，再加上朋友大力活動(dòng)、推薦，終于進(jìn)來(lái)了。至此，他終于拿到了一筆穩(wěn)定的收入，也算正式進(jìn)入了科學(xué)圈子，這才可以全心全意地工作了。

一八二二年，法蘭西科學(xué)院的永久秘書(shū)長(zhǎng)去世，傅立葉眾望所歸，當(dāng)選為新秘書(shū)長(zhǎng)。不久，拉普拉斯去世。此時(shí)法國(guó)數(shù)學(xué)界依然活躍，除了身居高位的泊松，還有江湖之外的高人柯西、伽羅華和阿貝爾?？茖W(xué)界雖然有不少名位之爭(zhēng)，大師有時(shí)也會(huì)打壓異己，但法國(guó)在如此亂世之中取得的科學(xué)成就十分驚人，如今一個(gè)普通的工程、科學(xué)類高中生、大學(xué)生在教科書(shū)中都會(huì)屢屢遭遇那個(gè)時(shí)代的法國(guó)科學(xué)家的名字，從微積分到概率論，從電流單位到復(fù)數(shù)概念。

傅立葉終身未婚，似乎也無(wú)心屬之人，后人只在他的信件中讀到他多次提及自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家索菲亞·熱爾曼（Marie-Sophie Germain，1776-1831）。在一封寫(xiě)給法蘭西學(xué)院推薦索菲亞的信中，他說(shuō)：“這位罕見(jiàn)的優(yōu)秀又美麗的女士配得上您對(duì)她的關(guān)注。我溫柔地愛(ài)著她，并且深深感激您為她所做的一切?！边@些蛛絲馬跡，就是傅立葉存世的全部浪漫史。

一八三○年，他當(dāng)選為瑞典皇家科學(xué)院外籍院士，也陸續(xù)獲得了很多榮譽(yù)，但身體愈加糟糕，類風(fēng)濕愈加嚴(yán)重，幾乎不能出門，只能裹著厚厚的毛衣待在家里，后來(lái)連呼吸都愈加困難。在最后的日子里，他得把自己包裹得像個(gè)大匣子，只有頭和胳膊伸出來(lái)，才能工作。只要有可能，他還是瘋狂地工作。當(dāng)年這個(gè)有野心的年輕人在日記里寫(xiě)道：“昨天是我二十一歲生日，是牛頓和帕斯卡已經(jīng)成就斐然的年紀(jì)?！?現(xiàn)在一切都不同了，他的時(shí)光已經(jīng)耗盡。

當(dāng)年三月，他突然在樓梯上跌倒，兩星期后去世。

什么是傅立葉級(jí)數(shù)

以上是數(shù)學(xué)家傅立葉的故事。不過(guò)在生命的大部分時(shí)段，傅立葉不是專業(yè)數(shù)學(xué)家，而是一個(gè)仕途平靜的地方官員，愛(ài)數(shù)學(xué)，愛(ài)生活，兢兢業(yè)業(yè)完成各種任務(wù)，同時(shí)一生受疾病所擾，最終天不假年。他因?yàn)闀r(shí)代之故卷入了政治，一生沉浮非己身所能左右，但很幸運(yùn)地茍全于亂世，最終在數(shù)學(xué)圈子里獲得了教職，跟很多一流數(shù)學(xué)家都有交流。數(shù)學(xué)家傅立葉的精神世界，其實(shí)遠(yuǎn)比那個(gè)作為軍官、政治家的傅立葉要精彩得多。

我們今天生活的方方面面，都沒(méi)有逃脫傅立葉級(jí)數(shù)的影響。

讓我們以聲波為例，介紹傅立葉最重要的數(shù)學(xué)成就“傅立葉級(jí)數(shù)”（包括傅立葉變換、傅立葉分析）。大家都知道聲音是由物體在媒介（常常是空氣）中的振動(dòng)產(chǎn)生的，聲波的幾個(gè)彼此獨(dú)立的要素有振動(dòng)周期（波峰到下一個(gè)波峰的時(shí)間長(zhǎng)度）、頻率（每秒振動(dòng)次數(shù)）和振幅（跟響度成正比）。因?yàn)楝F(xiàn)成的正弦和余弦公式完美簡(jiǎn)潔地表達(dá)了周期性，所以人們借用這個(gè)工具來(lái)描述波形。真正的振動(dòng)過(guò)程是復(fù)雜的，比如音樂(lè)中的撥弦樂(lè)器：

但是，正弦/余弦函數(shù)表達(dá)的波形，并不能直接畫(huà)出這個(gè)手指撥出的“尖角”，它一定是各種波形復(fù)合的產(chǎn)物。所以上圖的撥弦，產(chǎn)生的聲波如下圖（橫軸為時(shí)間，縱軸為振幅）。

但也有些時(shí)候（比如需要取出或者過(guò)濾某個(gè)頻率的聲音），頻率成為縱坐標(biāo)。而某個(gè)“凌亂”的頻率波形終將分解成若干“純凈”的三角函數(shù)之和：

f （t） = a0 + a1cosωt + b1sinωt + a2cos2ωt + b2sin2ωt + a3cos3ωt + b3sin3ωt+…

也就是f （t） = a0+∑∞（n=1） （ancosnωt + bnsinnωt）（這里ω是角速度）而a0、a1、b1、a2這些系數(shù)都必須求出來(lái)。傅立葉提供了十分巧妙優(yōu)雅的解法（所以這些系數(shù)也被稱為傅立葉系數(shù)），有興趣的讀者可以輕易搜索到它。

關(guān)于聲波的疊加，這里只舉個(gè)實(shí)際的例子，幾種樂(lè)器的聲波（想象一下，縱軸為頻率，橫軸為時(shí)間）：

它們分別是長(zhǎng)笛、雙簧管和小提琴的聲波。為什么三種樂(lè)器在演奏同一個(gè)音的時(shí)候會(huì)呈現(xiàn)非常不同的音色？而上述求和公式就告訴我們，每個(gè)分量前面那個(gè)系數(shù)不同，也就是有多少個(gè)四百赫茲、多少個(gè)六百赫茲、多少個(gè)八百赫茲……組合不同，聲波的形狀就不同，音色也就不同，而占據(jù)主導(dǎo)的那個(gè)頻率，正是我們所說(shuō)的基音頻率，也就是樂(lè)器上你正在彈（撥、拉）出的那個(gè)音，至于它的泛音，應(yīng)該是另一篇文章的話題了。

那么，在上述的求和公式f （t）中，正弦和余弦明明是兩個(gè)相關(guān)的函數(shù)，為什么不合二為一？感謝天才的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783），不僅發(fā)明了e這個(gè)神奇的自然常數(shù)，還發(fā)現(xiàn)了e、復(fù)數(shù)和三角函數(shù)之間的關(guān)系，這就是歐拉公式：

cosθ + isinθ = eiθ

話說(shuō)復(fù)數(shù)這個(gè)如今高中生也要費(fèi)點(diǎn)思量去理解的概念，十六世紀(jì)的意大利人卡爾達(dá)諾（Gerolamo Cardano，1501-1576）就已經(jīng)提出來(lái)了，而它真正完善成我們所知的樣子，經(jīng)歷了兩百余年。

這樣，含有正弦、余弦的求和公式在無(wú)限時(shí)間域內(nèi)統(tǒng)一為含有e的表達(dá)—

原本是頻率的f （x），變成另一個(gè)變量ξ的函數(shù)，時(shí)間變量不復(fù)存在，因?yàn)樗线M(jìn)了ξ的函數(shù)。當(dāng)然，這個(gè)積分并不容易求，所以漸漸有了各種算法去逼近它。但關(guān)鍵在于，不管你有一個(gè)什么樣彎彎曲曲的周期連續(xù)函數(shù)f （x）（哪怕它不是周期函數(shù)，也可以在一定條件下用求極限的方式轉(zhuǎn)換為周期函數(shù)），都能表達(dá)成一個(gè)積分（在離散條件下，就是求和）公式，f （x）就這樣被“化解”了。在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)間域有限，你能用一系列正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和來(lái)逼近這個(gè)彎彎曲曲的f （x），而所謂“濾波”、去噪音的過(guò)程，都是應(yīng)用它的結(jié)果。而那個(gè)謎底f （x），產(chǎn)生傅立葉系列的“原初”連續(xù)函數(shù)，也可以在合適的條件下用積分還原，所謂逆變換。比較一下上面的公式，兩者顯示出驚人的對(duì)稱：

上面說(shuō)到坐標(biāo)系，橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為頻率，但也可以有別的表達(dá)方式，比如極坐標(biāo)系，任何一點(diǎn)都可以通過(guò)用它從原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度和距原點(diǎn)的距離來(lái)表示。如果用它來(lái)描述波形運(yùn)動(dòng)和傅立葉變換的話，任何一個(gè)形狀的圖案，都可以疊加若干直徑的小圓圈（疊加即為向量求和）畫(huà)出來(lái)。下圖是一個(gè)視頻的截圖，人臉就是這樣畫(huà)出來(lái)的。左上部一團(tuán)小圓圈，正是運(yùn)動(dòng)著勾畫(huà)出人臉細(xì)部的步驟，是傅立葉級(jí)數(shù)疊加的過(guò)程。萬(wàn)物皆圓，多么迷人的過(guò)程：

這樣一來(lái)，許許多多的數(shù)據(jù)變化形態(tài)，都可以被模擬。聲音、電流不用說(shuō)，地震、心跳、血流、股票、氣象也都不在話下;任何看上去高低不平的噪音式波形，都可以乖乖地分解成若干個(gè)整整齊齊的，帶有系數(shù)的周期性三角函數(shù)波形的疊加，它們也可以組裝成原來(lái)的樣子。這中間會(huì)有一些“約等于”造成的信息損耗，不過(guò)一般可以達(dá)到我們需要的精度。

盡管這些公式初看十分復(fù)雜抽象，但其實(shí)相對(duì)于真實(shí)而言，公式都是描摹世界的極簡(jiǎn)版。你我隨便撥一下琴弦、敲一下鼓，在這個(gè)世界上造成的變化遠(yuǎn)比這些公式復(fù)雜得多。公式們要么大刀闊斧，對(duì)細(xì)節(jié)視而不見(jiàn)，要么高屋建瓴，對(duì)混亂表象只取平均值，才有了我們對(duì)世界牙牙學(xué)語(yǔ)般的初級(jí)認(rèn)識(shí)，也才有了種種粗糙模仿。無(wú)數(shù)電子設(shè)備、電聲樂(lè)器，都源于此。傅立葉級(jí)數(shù)幫人分析、模擬音響，也可以創(chuàng)造出自然中不存在的音響，整個(gè)電子音樂(lè)產(chǎn)業(yè)，沒(méi)有傅立葉級(jí)數(shù)就不會(huì)存在。

最為有趣的是，雖然傅立葉變換這個(gè)數(shù)學(xué)工具不過(guò)存在了兩百多年，但自古以來(lái)，人耳卻一直依靠自己的生理結(jié)構(gòu)頑強(qiáng)地做著“傅立葉變換”，這才有了人類以及多數(shù)哺乳動(dòng)物對(duì)音樂(lè)、聲音的接收。這個(gè)結(jié)構(gòu)大概來(lái)說(shuō)就是耳蝸（cochlea）中錐形的基底膜（basilar membrane），不同的“地段”有不同的寬度、厚度和硬度（也就是從硬的一端漸漸變軟變細(xì)），這些物理性的區(qū)別會(huì)形成不同的振動(dòng)，硬的一端頻率較高，沿著基底膜遞減。膜上有很多毛細(xì)胞，它們對(duì)不同的振頻有不同的反應(yīng)，把電勢(shì)能通過(guò)神經(jīng)細(xì)胞輸送給大腦。膜外也有毛細(xì)胞，可以把大腦的取舍、調(diào)整反饋回來(lái)。注意，基底膜的物理形態(tài)就是把聲波做出“傅立葉變換”的關(guān)鍵。而大腦那一端對(duì)聲音的處理就復(fù)雜多了，習(xí)慣、訓(xùn)練、文化環(huán)境都會(huì)影響它。

萬(wàn)物有波

傅立葉的名字，最終刻上了埃菲爾鐵塔。塔上的七十二個(gè)名字中，還有柯西、蒙日、泊松、拉普拉斯、拉格朗日等數(shù)學(xué)家，他們都經(jīng)歷了法國(guó)大革命及拿破侖時(shí)代，多少都受到政治的影響。而那時(shí)的軍事熱情也推動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，傅立葉的發(fā)現(xiàn)也離不開(kāi)那個(gè)時(shí)代。

不過(guò)，他最早感興趣的題目是熱傳導(dǎo)。他對(duì)溫度、熱傳導(dǎo)的話題真是從不疲倦，如今的“溫室效應(yīng)”也是他提出的。他早年最有影響的、獲得法蘭西科學(xué)院大獎(jiǎng)的論文就是關(guān)于熱的解析。所謂傅立葉級(jí)數(shù)，正是在熱傳導(dǎo)方程的求解過(guò)程中提出來(lái)的。傅立葉研究熱學(xué)的路漫長(zhǎng)而曲折，最早因?yàn)椤坝^點(diǎn)不夠原創(chuàng)，前人已經(jīng)提出來(lái)了”，遭到泊松、拉普拉斯等人的質(zhì)疑，傅立葉在壓力之下不斷尋求改進(jìn)，寫(xiě)出了好幾篇重要論文，最后被逼出來(lái)最有意義的用三角函數(shù)拆解一般函數(shù)的結(jié)果，為后來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展打開(kāi)了一扇大門。

當(dāng)然，如今的傅立葉變換理論，并不完全出自傅立葉之手，許多前人、后人都對(duì)它有所貢獻(xiàn)，傅立葉本人的論證，甚至有一些錯(cuò)誤，但他提出了本質(zhì)的思想，尤其是解決了波形的一般性表達(dá)，故居功至偉。而聲波的分解和疊加，是傅立葉變換的典型應(yīng)用之一，它的精彩之處在于它體現(xiàn)了許許多多事物的核心，以及那種萬(wàn)物歸一的力量。常常，在一個(gè)用求和來(lái)“模擬”波形的過(guò)程中，當(dāng)n=1，2，3的時(shí)候，被轉(zhuǎn)換的函數(shù)的形狀離原函數(shù)似乎全不搭界，當(dāng)n逐漸增加之后，卻漸漸如同精細(xì)的手工描繪一樣逼近。又因?yàn)榭梢噪p向轉(zhuǎn)化，我們可以把一段音頻分解之后，去掉一個(gè)高音頻再重組。這樣看來(lái)，聲音甚至音樂(lè)，反倒一點(diǎn)也不特殊了，至于音樂(lè)的電子化、數(shù)字化，只是水到渠成而已。傅立葉系列，確實(shí)揭示了一部分音樂(lè)的秘密，它將聲音的傳播方式工業(yè)化，也改變了音樂(lè)工業(yè)化的進(jìn)程。在歐洲文明里，音樂(lè)曾經(jīng)有著那么神圣和根本的地位，而如今對(duì)它的模擬和再現(xiàn)都成為可能。音樂(lè)和數(shù)學(xué)，有著天然本質(zhì)的聯(lián)系，或許僅僅是因?yàn)?，?shù)學(xué)形式在世上無(wú)所不在。

從歐洲的啟蒙時(shí)代開(kāi)始，人愈加自信甚至狂妄，因?yàn)榭茖W(xué)似乎無(wú)所不能;可同時(shí)人也變謙卑了，因?yàn)闀?huì)更客觀地看自身，知道自然并非為取悅?cè)硕嬖?。物理學(xué)研究聲音，就應(yīng)該面對(duì)各種聲音（包括人聽(tīng)不見(jiàn)的振動(dòng)），而非“好聽(tīng)的聲音”，所以科學(xué)家的研究，從對(duì)和聲、和諧的認(rèn)知變成聲學(xué)，數(shù)學(xué)和音樂(lè)的分裂已經(jīng)不可避免。到了二十世紀(jì)，學(xué)科越來(lái)越細(xì)，卻也越來(lái)越多，有一部分就來(lái)自傳統(tǒng)學(xué)科的交叉，所以有了“計(jì)算音樂(lè)”這么個(gè)分支。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，一些音樂(lè)現(xiàn)象和作品，是可以用數(shù)學(xué)來(lái)解釋的，比如音階的七個(gè)音，天然可以用離散傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá);許多計(jì)算音樂(lè)領(lǐng)域內(nèi)的論文，直接涉及音樂(lè)分析，比如一些音樂(lè)中能量和情感爆發(fā)的狀態(tài)，在數(shù)學(xué)上也能夠觀察和預(yù)測(cè)，并體現(xiàn)數(shù)學(xué)意義。尤其是二十一世紀(jì)，用傅立葉分析來(lái)研究音樂(lè)的方向相當(dāng)紅火，并非危言聳聽(tīng)，作曲家真的可以從空間、幾何等方面認(rèn)知吸收一些靈感了。

幸好，科學(xué)能解構(gòu)、能建構(gòu)、能分解、能模擬，人世卻是動(dòng)態(tài)的，算法之網(wǎng)恢恢，人尚有逃逸的空間。傅立葉變換并未將聲音尤其是音樂(lè)的秘密一網(wǎng)打盡。人腦仍然會(huì)給聲音施加生理和文化的影響，比如對(duì)音樂(lè)會(huì)“腦補(bǔ)”出一些并不存在的頻率，有時(shí)人耳感覺(jué)最舒服的未必是數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)最完美的，等等，更不要提傾聽(tīng)習(xí)慣軟化困難的力量。尤其是，數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)之美，尚未普遍內(nèi)化為大腦的快樂(lè)，“遠(yuǎn)古大腦”們?nèi)匀桓吒吲d興地?fù)肀Ч适?、圖像、旋律等感性的幸福，科學(xué)苦口婆心也未必能說(shuō)服它?？茖W(xué)在進(jìn)步，AI在擴(kuò)張，我們不斷發(fā)現(xiàn)自己可以控制和模擬的事物，同時(shí)也不斷發(fā)現(xiàn)新死角，兩者競(jìng)賽，即便前者勝券在握，后者只剩被圍剿的命運(yùn)，人類的“龜爬”尚有時(shí)日殘喘吧。

參考文獻(xiàn)：

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