三角函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問題

張啟兆

我們在《必修1》中曾經(jīng)遇到過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問題，運用類比學(xué)習(xí)的方法，我們可以研究三角函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問題.

一、三角函數(shù)伴隨在二次函數(shù)里

二次函數(shù)身份明顯，但在二次函數(shù)的系數(shù)或常數(shù)項中含有三角函數(shù)，此類問題不難，但要注意三角函數(shù)的有界性.可謂是二次函數(shù)搭橋，三角函數(shù)唱戲.

在上題中，通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解，這種處理手法并沒有改變原題的結(jié)構(gòu)特征，但能達到優(yōu)化解題途徑、簡化計算的目的，值得注意的是，換元時要及時、準(zhǔn)確地求出新變量的范圍，不能縮小也不能擴大，

當(dāng)然，有時會遇到所給三角函數(shù)名稱不統(tǒng)一的情形，只需充分運用同角三角函數(shù)的關(guān)系，適當(dāng)變形，統(tǒng)一函數(shù)名，再進行換元求解.

分析 （l）遇到所給三角函數(shù)名稱不統(tǒng)一的情形時，先運用同角三角函數(shù)關(guān)系加以轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一函數(shù)名后，再進行換元，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解;

（2）類比第（1）小題的思路，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，由于是動軸定區(qū)間，所以要分類討論;

（3）類比第（2）小題的思路.

評注 1. f（x）=- sin²x+ asinx+1就是將二次函數(shù)問題加了個外包裝，將問題移至三角背景中去研究，實際上還是二次函數(shù)的問題.

2.換元法是個“法寶”，換元后一定要及時求出新變量的范圍，不能縮小也不能擴大.

3.用分類討論思想求二次函數(shù)的動軸定區(qū)間的最值問題時，借助圖象數(shù)形結(jié)合，可起到事半功倍的效果.

上述三角函數(shù)“新瓶”灌裝的二次函數(shù)“舊酒”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)特有的數(shù)、式、形的相互轉(zhuǎn)換，其背后更深層次的內(nèi)涵是轉(zhuǎn)化化歸思想，將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題。