學習立體幾何的法寶之二

秉正

立體幾何上有很多概念、性質(zhì)和方法都與平面幾何有著千絲萬縷的聯(lián)系.比如，多面體與旋轉(zhuǎn)體的定義就溝通了平面與立體的聯(lián)系.由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱;當棱柱的一個底面收縮為一個點時，得到的幾何體叫做棱錐;用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分就是棱臺.而圓柱、圓錐和圓臺則可以分別看成以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體.

本文試通過分析下面給出的問題，幫助大家初步體會一下兩者的密切關(guān)系，

例1 紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖1所示的平面圖形，則標“△”的面的方位是 ___.

解析 將平面展開圖按要求折疊成正方體，根據(jù)方位判斷即可.

將平面展開圖折疊成正方體，如圖2所示，標“△”的面的方位應(yīng)為北.故填北.

將空間幾何體展開成平面圖形，或?qū)⒄归_圖折疊成空間幾何體，在后面的計算或證明中經(jīng)常用到，同學們應(yīng)引起重視.特別是在處理比較復雜的立體幾何的問題中，這一處理問題的方法非常重要.

例2 如圖3，在底面半徑為1，高為2的圓柱上A點處有一只螞蟻，它要繞圓柱一周由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

解 把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖4所示，連結(jié)AB'，則AB'即為螞蟻爬行的最短距離.

已知AB=A'B'=2，AA'為底面圓的周長，且AA'=2π×1=2π，則AB'=

這樣的例子很多，如側(cè)面積的計算方法、直線與平面的所成的角、二面角的定義等概念的形成，揭示了空間與平面的緊密聯(lián)系，本文即著重談?wù)勵惐冗@個學習立體幾何的法寶之一，它在平面幾何與立體幾何之間建立了一座橋梁.

一、類比方法在學習中的幾個常見作用

1.利用類比的方法來梳理定理知識結(jié)構(gòu)

幾何的知識結(jié)構(gòu)一定是一個“公理化”的結(jié)構(gòu)，立體幾何也當如此，由幾個不證白明的公理得到一些重要的結(jié)論作為定理，從而衍生出一套完整的知識體系.

立體幾何中的基本元素是直線、平面，基本位置關(guān)系是平行與垂直，因此將它們進行組合，就有了幾個必要的結(jié)論存在：直線與直線平行（垂直）、直線與平面平行（垂直）、平面與平面平行（垂直）.因為既要判斷又要應(yīng)用，故定理必然要有判定定理和性質(zhì)定理之分.這樣便可以類比平面幾何形成一個公理化的體系.

如此，我們可以提綱挈領(lǐng)地掌握立體幾何中的幾個重要定理，實際上在學習中也可以相互比較進行記憶、理解和應(yīng)用.

2.利用類比的方法來理解定理的內(nèi)在邏輯

我們在立體幾何里學習了不少結(jié)論，有公理，有推論.有等角定理，有判定定理，有性質(zhì)定理等等，很多同學一下子就糊涂了，這時候類比就能產(chǎn)生重要的作用.比如直線與平面的判定定理應(yīng)該是由直線與直線的關(guān)系得到直線與平面的關(guān)系，而性質(zhì)定理則應(yīng)該由線與面的位置關(guān)系得到線與線的位置關(guān)系，其他的判定定理與性質(zhì)定理也理應(yīng)如此.例如平行.

直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.可以簡單說成：線線平行=>線面平行.

3.利用類比的方法來理清易錯易混結(jié)論

在立體幾何的學習中，有一些類比平面幾何得出的結(jié)論有真有假，這需要我們經(jīng)常去比對、琢磨，這就是類比.

比如，兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行，這是平行公理.類似地，兩條直線都與一個平面平行，那么這兩條直線平行，對嗎？顯然不對，可能平行，也可能相交或異面，兩個平面都與一個平面平行，那么這兩個平面平行，對嗎？這是正確的.再改為兩個平面都與一條直線平行，那么這兩個平面平行，對嗎？還是不對.再將上述所有的說法全部換為垂直再一一進行判斷，又是什么樣的結(jié)果呢？

相類似的例子有很多，在學習立體幾何的過程中，這樣的訓練是必要的.

二、運用類比這一重要思想的兩個關(guān)鍵認識

l.要重視類比對象間的聯(lián)系

所謂類比，就是要多聯(lián)系，用已有的知識和學習經(jīng)驗幫助我們學習新的知識和方法，具體地，即借助兩個（組）對象的某些相同或相似性質(zhì)，去推斷在其他性質(zhì)上也可能具有共性或相似性.

在立體幾何的學習中，我們應(yīng)該有意識地做這方面的聯(lián)系或聯(lián)想，比如遇到了一個與直線相關(guān)的問題，我們就要問問換成平面會是什么情況;一個與平行相關(guān)的問題，我們就要問問換成垂直會是什么情況;一個與立體幾何相關(guān)的問題，我們就要問問能否轉(zhuǎn)化到平面進行解決等等.

2.要重視類比對象間的區(qū)別

大家還要注意的是，類比不僅要重視聯(lián)系，關(guān)注共性，而且要重視和理解類比對象間的區(qū)別，否則就會掉入陷阱里，比如，在平面幾何里，垂直于同一條直線的兩直線平行是一個真命題，到了立體幾何里就是假命題，所以在使用它們的時候要加上前提條件，三條直線都在同一平面內(nèi).再如，四邊相等的四邊形是菱形，在立體幾何里也是一個錯誤的結(jié)論.

同學們，類比是聯(lián)想的翅膀，是我們學習的重要幫手，讓我們一起在立體幾何的天空里展翅翱翔。