細(xì)品一例典型圖形

錢德平　袁林

近年來各地立體幾何考題都注重考查空間圖形位置關(guān)系，尤其是平行垂直的證明，它們都是以某一幾何體為載體進(jìn)行考查的，如果在平時(shí)學(xué)習(xí)的過程中我們注意留心對(duì)立體幾何中的一些典型圖形的研究，對(duì)我們認(rèn)識(shí)空間圖形，提高空間想象力會(huì)很有幫助.本文以一圖例加以說明.

我們用硬紙剪一個(gè)三邊均不等的銳角三角形AOB，然后以AB邊上的高OD為折痕，折兩個(gè)直角三角形，使之直立在桌面上（如圖1），然后轉(zhuǎn)動(dòng)其中的一個(gè)直角三角形ODA，使得在底面三角形DAB中∠DAB=90°，這樣就得到了一個(gè)三棱錐（如圖2）.

人教版《必修2》第65、69頁的探究題與蘇教版《必修2》第71頁的操作題都出現(xiàn)了這個(gè)圖形，該圖例有著十分豐富的性質(zhì)：

（l）三棱錐O-DAB的四個(gè)面都是直角三角形;

（2）有三個(gè)直二面角分別為O-BDA，O-ADB，B-AO-D;

（3）V三棱錐=l/6 OD.DA.BA;

（4）若直線BO與平面ABD所成的角為α，∠DBA=β，∠OBA=γ，則cos γ=COS β.cosβ.（以上結(jié)論要會(huì)證明）

一、該圖形在教材中時(shí)隱時(shí)現(xiàn)、貫穿始終

限于篇幅，我們僅列出部分例習(xí)題：

（蘇教版P39例4）如圖3，已知∠BAC在平面α 內(nèi)， P ∈/ α，∠PAB=∠PAC.求證：點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影在∠BAC的平分線上.

該圖如果以平面PAO為截面將該組合體分成全等的兩個(gè)部分，其中每一個(gè)三棱錐都是上述圖例.人教版P74B組第2題與之類似.

（蘇教版P42第9題）如圖4，AB為圓0的直徑，PA垂直于圓0所在的平面，C為圓0上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：BC上平面PAC.

（人教版P69例3）如圖4，AB是圓0的直徑，PA垂直于圓0所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC上平面PBC.

（人教版P73習(xí)題第3題）在三棱錐V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，試判斷平面VBA與平面VBC的位置關(guān)系，并說明理由.

在我們學(xué)習(xí)的正棱錐、正棱臺(tái)及后繼的旋轉(zhuǎn)體中都經(jīng)常出現(xiàn)這樣的幾何體.如圖5，在正三棱錐P_ABC，PO⊥平面ABC，三棱錐P-ODB具有圖例的特點(diǎn).如圖6，在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1Dl中，側(cè)棱延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，上下底中心分別為0，01，斜高為PE1交BC于E，過B作BB2⊥B1D1，交B1D1于B2，再過B2作B2 E2⊥B1C1交B1C1于E2，連結(jié)BE2，則可知三棱錐P-01E1 B1，三棱錐B-B1B2 E2具有該幾何體特征.

二、鏈接考題

（2010年江蘇卷）如圖7，在四棱錐PABCD中，PD上平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.求證：PC⊥BC.

圖中的三棱錐P-BCD就是我們的圖例，要證明的結(jié)論就是圖例性質(zhì)的結(jié)論（l）.

（2011年湖南卷理科19）如圖8，在圓錐PO中，已知PO=√2，⊙0的直徑AB =2，C是AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).證明：平面POD上平面PAC.

要證明的結(jié)論是圖例性質(zhì)的結(jié)論（2）.

（2014年福建卷）如圖9，在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD上BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD上平面BCD，求證：AB⊥ CD.

若連結(jié)AC就為本圖例.事實(shí)上，

因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB C 平面ABD，AB⊥ BD，

所以AB⊥平面BCD.

義因?yàn)镃D （ 平面BCD，

所以AB⊥CD.

以上高考題考查了空間直線與平面的位置關(guān)系的證明，考查了學(xué)生的空間想象能力以及推理論證能力，如果同學(xué)對(duì)本圖例相關(guān)知識(shí)有足夠的認(rèn)識(shí)，問題就可輕松獲得解決.

三、舊圖形，再思考，新認(rèn)識(shí)

如果我們以這個(gè)圖例為載體，適當(dāng)?shù)靥砑踊騽h減部分直線與平面就可以得到一些新的問題.

如圖10，在三棱錐P_ABC中，PA上平面ABC，AC⊥ BC，倘若過點(diǎn)A作AE⊥PB交PB于E，過A點(diǎn)作AF⊥PC交PC于F，連結(jié)EF，這樣就得到相關(guān)的直線，那么EF與PB的位置關(guān)系如何？

由圖例的相關(guān)知識(shí)可知平面APC⊥平面BPC，又AF⊥ PC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AF上平面PBC，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得到AF ⊥ PB.又因?yàn)锳E⊥ PB，結(jié)合線面垂直的判定定理可得PB⊥平面AEF，從而由線面垂直的性質(zhì)定理可得EF⊥PB.

課本中一些出彩的題目，可以由該圖例演變得到，還可以再根據(jù)課本題推演下去.如圖11（蘇教版《必修2》P70第18題），由圖例三棱錐C1-ADC，經(jīng)過補(bǔ)體可補(bǔ)成課本中的正三棱柱，提出課本中的相關(guān)問題，再思考下去，在正三棱柱的棱長(zhǎng)都相等的條件下，若F為棱BB1的中點(diǎn)，可由本圖例的性質(zhì)推證CF⊥平面ADC1.

事實(shí)上幾何體之間是相互聯(lián)系的，借助割與補(bǔ)的思想可以將柱體割成錐體，同時(shí)可以將錐體補(bǔ)成柱體（臺(tái)體），同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中要善于抓住一些常見的幾何體去研究剖析，仔細(xì)品味.熟知它們的一些結(jié)論，對(duì)用綜合法證明立體幾何問題是很有好處的.