帶著理性的思維去想象

孫福明

同學(xué)們，你們將開始學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)義一個(gè)新的章節(jié)——《立體幾何初步>了！其實(shí)本章內(nèi)容對(duì)我們來說并不陌生，它研究的對(duì)象就是抽象于我們生活的真實(shí)世界——三維空間.本章內(nèi)容概括說就是三個(gè)字：想、算、證.

想——主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖等空間想象能力.同學(xué)們要能觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系，正確將文字語言、符號(hào)語言和圖形語言融為一體，能根據(jù)問題添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行必要的變換.

算——同學(xué)們要會(huì)計(jì)算一些特殊幾何體的表面積和體積，它們是空間圖形大小的量化.

證——主要是培養(yǎng)大家的演繹推理能力，就是會(huì)正確利用演繹推理規(guī)則（三段論）進(jìn)行推理，并能結(jié)合圖形使用規(guī)范、清晰、簡明的符號(hào)語言加以表達(dá).

那么如何學(xué)好本章內(nèi)容呢？我提幾點(diǎn)建議，供同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中參考.

一、突破思維瓶頸，樹立正確的空間觀念

從二維平面進(jìn)入三維空間，同學(xué)們首先要克服平面幾何帶來的負(fù)面慣性，盡快養(yǎng)成在三維空間中讀圖、識(shí)圖和想象的良好習(xí)慣.

第一，要重視平面這個(gè)基本元素在空間中的重要地位.原來的平面幾何知識(shí)都是在一個(gè)平面中進(jìn)行的，只不過這個(gè)平面是默認(rèn)的，沒有把它畫出來而已.現(xiàn)在進(jìn)入三維空間了，為了凸顯三維的特征，通常需要一個(gè)平面作為基準(zhǔn)，比如常畫一個(gè)水平面.因此平面幾何中的正方形ABCD，其實(shí)是畫在豎直平面內(nèi)的（圖1），而如果畫在水平面上就不再是方方正正的了，而是看起來像平行四邊形（圖2）

在觀察空間圖形或研究元素之間位置關(guān)系時(shí)，要養(yǎng)成正確的看圖習(xí)慣，例如要把點(diǎn)、線放在某個(gè)平面內(nèi)，結(jié)合平面的位置來全面而正確地理解基本元素之間的關(guān)系.觀察圖形或作圖時(shí)，首先從面與面的關(guān)系著手，再過渡到直線及點(diǎn).例如在圖3的長方體中，當(dāng)延長兩中點(diǎn)M，N連成的線段時(shí)，應(yīng)該把直線MN置于平面BCClB1內(nèi)，這樣判斷直線MN的位置時(shí)，就能正確判斷出它與B1C1，B1B的延長線相交.這樣的問題在立體幾何學(xué)習(xí)中幾乎處處能遇到，因此更一般的做法是“還原平面法”，即把空間圖形的平面還原成平面幾何中的形態(tài)，回到我們習(xí)慣的平面幾何的視圖位置中去，如圖4.這樣就避免空間其他不相干元素的干擾，更能準(zhǔn)確地利用平面幾何知識(shí)解決問題.

為了增強(qiáng)空間觀念，同學(xué)們學(xué)習(xí)之初，還應(yīng)特別注意作圖中的實(shí)線與虛線的區(qū)別.根據(jù)作圖規(guī)則，平面幾何中輔助線是虛線，立體幾何中凡是看不見的都畫成虛線，看得見的都是實(shí)線，與是否輔助線無關(guān).同一空間圖形，由于觀察位置的不同，實(shí)線和虛線會(huì)變化，大家可以多加練習(xí)，這是提高空間想象能力的有效手段.

第二，勤直觀感知，多畫圖比較，體會(huì)數(shù)學(xué)中的研究對(duì)象與實(shí)際生活中具體圖形的聯(lián)系和差異，借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律.例如圖5的空間圖形，有幾種位置差異？如何判斷點(diǎn)P是“凸在外”還是“凹在內(nèi)”？你的現(xiàn)實(shí)生活中有這樣的具體模型嗎？再比如問題“A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且A，B，C，D到平面a的距離相等，則這樣的平面a共有多少個(gè)？”可以培養(yǎng)同學(xué)們?nèi)娑羁痰目臻g觀念.四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造三棱錐——構(gòu)造熟悉的圖形幫助解題是重要的策略——其次根據(jù)平面特征，四個(gè)點(diǎn)只能分布在平面a的兩側(cè)，從而進(jìn)行分類討論：一類是兩側(cè)分別是1個(gè)點(diǎn)和3個(gè)點(diǎn);一類是兩側(cè)分別是2個(gè)點(diǎn)和2個(gè)點(diǎn).

第三，注意平面幾何與立體幾何的區(qū)別與聯(lián)系.首先當(dāng)然是兩者的區(qū)別.從二維平面進(jìn)入到三維空間，從運(yùn)動(dòng)的角度來說，點(diǎn)、線運(yùn)動(dòng)的空間增加了，帶來了更多的位置變化，因此“四邊相等的四邊形是菱形”等一些命題就不再正確了，因?yàn)槭紫冗@四點(diǎn)就可能不在一個(gè)平面內(nèi)了.命題“從直線外一點(diǎn)作直線的垂線有且只有一條”也不成立了，同學(xué)們能從現(xiàn)實(shí)生活中舉出反例嗎？其次，也要注意平面幾何是立體幾何的一部分，如果空間的一些元素都在一個(gè)平面內(nèi)，那么在這個(gè)平面內(nèi)依然可以運(yùn)用平面幾何的知識(shí)和方法來解決問題.同時(shí)在解決一些立體幾何問題時(shí)，常常還要類比平面幾何中的一些知識(shí)，需要把空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，例如展開問題.因此可以說兩者之間是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，

例如，如圖6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=√2，BBi=2，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為AA1，C1B1的中點(diǎn)，求沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長度，

解決這個(gè)問題就需要把棱柱的有關(guān)側(cè)面和底面展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間距離最短的問題，體現(xiàn)立體幾何與平面幾何相互轉(zhuǎn)化的思想.

二、注重三種語言形式，即文字語言、符號(hào)語言、圖形語言 的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

語言是思維的載體.立體幾何這部分涉及三種數(shù)學(xué)常用的語言，那就是文字語言、符號(hào)語言、圖形語言.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要把三者緊密結(jié)合起來，做到互通有無，通過符號(hào)語言、文字語言能正確想象出空間圖形，根據(jù)空間圖形的位置能用符號(hào)語言正確表述.例如“直線l￠a”的含義就包括兩種位置關(guān)系，一是直線l∥a，直線與平面平行，另一種是l∩a=P，直線與平面相交，

在書寫證明的過程中，要盡可能使用符號(hào)語言，這樣表達(dá)形式更簡潔，解題過程中的邏輯關(guān)系也更清晰.

本章盡管涉及的空間圖形千變?nèi)f化，但是總離不開一些基本圖形，關(guān)于這些基本圖形的結(jié)論是值得我們記住的，是解題的基礎(chǔ).例如，如圖7，正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正四棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE上AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長為 ___

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本題一看到正四棱錐圖形，應(yīng)立即聯(lián)想到它的性質(zhì)，特別是與垂直有關(guān)的重要結(jié)論，如AC上平面SBD，這樣直線PE應(yīng)該在與平面SBD平行的平面內(nèi)，進(jìn)而得到軌跡是△GEF.問題就迎刃而解了.

三、合情推理與演繹推理并重，提升邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

立體幾何學(xué)習(xí)最重要的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)同學(xué)們邏輯推理的核心素養(yǎng)，也就是通過對(duì)空間圖形的位置關(guān)系的觀察、想象、分析，依據(jù)大前提（定義、定理和性質(zhì)），組織小前提的思維過程，如演繹推理，具體來說就是在幾何證明過程中要做到：有理有據(jù)，規(guī)范書寫.

立體幾何的證明需要言之有理，下筆有據(jù)，那么“理”“據(jù)”是什么？除了教材中的概念、公理、定理和特別標(biāo)明的命題（一般用粗體字顯示）之外，一般命題都不能作為證明的依據(jù).尤其是涉及概念時(shí)，要特別注意概念的性質(zhì)，哪些能直接使用，哪些需要證明？例如“直棱柱的側(cè)面與底面垂直”能否直接用？建議同學(xué)們用概念的最直接的定義，盡量少用衍生的性質(zhì).

本章證明主要圍繞平行和垂直關(guān)系進(jìn)行，需要特別提醒的是，一是要養(yǎng)成在元素之間相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)，例如“線線平行（垂直）一線面平行（垂直）一面面垂直”，通過轉(zhuǎn)化，常常會(huì)達(dá)到“柳暗花明義一村”的效果.二是要認(rèn)識(shí)判定定理與性質(zhì)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，性質(zhì)定理通常為判定定理提供思路，例如在利用線線平行證明線面平行時(shí)，須在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，通常的具體操作是：假設(shè)線面平行，然后過已知直線構(gòu)造平面與已知平面相交，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知該交線即為所要找的直線，然后再來證明該交線與已知直線平行即可.證明面面平行也是如此，請(qǐng)看下例：

如圖8，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn).求證：平面BDGH∥平面AEF.

用面面平行的性質(zhì)定理分析.假設(shè)題中平面BDGH∥平面AEF，它們同時(shí)被第三個(gè)平面CEF所截，交線是GH，EF，那么可以肯定一定有GH∥EF.接下來只要在構(gòu)造的輔助平面CEF內(nèi)證明這兩條直線平行就行，證明方法：三角形中位線定理.

設(shè)BD∩ AC=0.

同樣的思路，輔助平面ACF，與欲證的兩個(gè)平行平面的交線是AF，OH，用三角形中位線定理，可以證明在△ACF中，AF∥OH;

輔助平面ACE，與欲證的兩個(gè)平行平面的交線是AE，OG，用三角形中位線定理，可以證明在△ACE中，AE∥OG.

所以根據(jù)給出的圖形，兩個(gè)欲證的平行平面中至少可以找到三組線線平行.

總之，立體幾何作為高中數(shù)學(xué)重要的一部分知識(shí)，它獨(dú)特的教育功能對(duì)同學(xué)們的空間想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)發(fā)揮著重要的作用，同學(xué)們只要注意這部分獨(dú)特的學(xué)習(xí)方法，一定會(huì)取得優(yōu)秀成績！