培養(yǎng)抽象能力 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

潘艷

[摘? ?要]抽象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力具有現(xiàn)實(shí)意義.

[關(guān)鍵詞]抽象能力;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）20-0025-02

抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征之一，數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程對(duì)發(fā)展人的思維能力，特別是理性思維能力起到重要作用.抽象能力可以幫助學(xué)生回歸概念和原理，突出強(qiáng)調(diào)概念和關(guān)系的重要性;可以使學(xué)生專注于課本概念，全面發(fā)展理性思維;可以幫助學(xué)生進(jìn)行拓展，在實(shí)際應(yīng)用中鍛煉自己的思維邏輯.

一、分析變量，確定取值范圍

抽象思維要求學(xué)生準(zhǔn)確把握各個(gè)元素之間的關(guān)系.“變量”與“定量”問(wèn)題是數(shù)學(xué)關(guān)系中的常見(jiàn)問(wèn)題，“變量”和“定量”的關(guān)系通常蘊(yùn)含在公式算法中，互為相關(guān)性，且“變量”和“定量”沒(méi)有明確的界限，可以相互轉(zhuǎn)化.只有明確了“變量”和“定量”的關(guān)系，學(xué)生才能從邏輯思維的角度出發(fā)準(zhǔn)確地判斷出“變量”或“定量”的取值范圍，從而得出正確的計(jì)算結(jié)果.

例如，在教學(xué)《弧長(zhǎng)和扇形面積》的過(guò)程中，學(xué)生需要重點(diǎn)掌握公式“[1°=nπR180°]”，為方便學(xué)生理解、利用這個(gè)公式，我從“變量”和“定量”的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)了一個(gè)教學(xué)案例：“計(jì)算10米長(zhǎng)的下水道（半徑R = 5 m）水深2米時(shí)所占管道的弧長(zhǎng).”在這個(gè)問(wèn)題中，由水位的高低能間接計(jì)算出水面所占圓弧的弦的長(zhǎng)度，也就是水面的寬度，即“水深”就是公式中的變量.考慮到這個(gè)問(wèn)題以后，學(xué)生就能確定“變量”與“定量”的值，然后利用公式逐步計(jì)算出水面所占圓弧的角度n的值，最后根據(jù)本章的公式，逐步計(jì)算出弧長(zhǎng).這個(gè)問(wèn)題很貼合實(shí)際，難點(diǎn)在于學(xué)生需要把水面的橫截面與扇形聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)直角三角形的運(yùn)算，得出角度.要在畫出正確的草圖和輔助線的前提下進(jìn)行運(yùn)算.

通過(guò)對(duì)常見(jiàn)問(wèn)題的解決，學(xué)生能夠更深刻地了解到公式算法的基本步驟.在進(jìn)行練習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生可以發(fā)揮自己的聯(lián)想與想象能力，鍛煉自己的抽象能力，把抽象的事物在腦海中轉(zhuǎn)化成具體客觀的實(shí)物，從而調(diào)動(dòng)自己的知識(shí)儲(chǔ)備，對(duì)題目進(jìn)行剖析.確定“變量”的取值范圍是解題過(guò)程中關(guān)鍵的一步.

二、圖像轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合

幾何問(wèn)題重點(diǎn)是圖像和數(shù)字的結(jié)合.這就要求學(xué)生在觀察圖像的同時(shí)，把所學(xué)知識(shí)利用起來(lái)，分析圖像的內(nèi)涵，把數(shù)字代入圖像，挖掘出題干的隱藏信息.學(xué)生還可以把抽象的圖像或者是生活中的例子與數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，用數(shù)字和線條把這些圖像具體化，然后進(jìn)行具體的運(yùn)算和判斷.

例如，在《二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)》教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握概念之后，根據(jù)圖像進(jìn)行實(shí)際運(yùn)算的效果比較差，于是我展開(kāi)了一次專題訓(xùn)練.在二次函數(shù)的一般式[y=ax2+bx+c]中，a、b、c是三個(gè)“變量”.在進(jìn)行實(shí)際運(yùn)算之前，學(xué)生需要了解這三個(gè)變量對(duì)于函數(shù)圖像和取值的意義.“a > 0”圖像的開(kāi)口向上，反之，則開(kāi)口向下;對(duì)稱軸[-b2a] > 0，則函數(shù)對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，反之，則位于y軸左側(cè).以題目“函數(shù)[y=ax2+bx+c]的圖像與y軸交于點(diǎn)A（0，2），與x軸交于B（1，0）、C（3，0）兩點(diǎn)，問(wèn)x = -1時(shí)，y是否大于0？”為例，在這道題目中，該函數(shù)與y軸交于點(diǎn)A（0，2），即c = 2，對(duì)稱軸為x = 2，即[-b2a] =2，然后把三個(gè)點(diǎn)代入方程式，我們就可以求得該函數(shù)的解析式.根據(jù)我們分析的結(jié)果，對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，且a > 0，即當(dāng)x < 2時(shí)，函數(shù)逐漸降低;x > 0時(shí)，函數(shù)逐漸上升，然后把-1代入方程式中，求得y值大于0.

在二次函數(shù)中，圖像占到很大比例.學(xué)生只有掌握了圖形的運(yùn)算技巧，充分考慮到圖像的邏輯性以及各個(gè)變量的相互關(guān)系，才能更好地掌握數(shù)形結(jié)合的要旨，從而更好地進(jìn)行二次函數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算.數(shù)形結(jié)合的考查方式，不僅鍛煉了學(xué)生的邏輯思維，考驗(yàn)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，也使學(xué)生能夠充分地發(fā)揮聯(lián)想和想象，從理性思維的角度出發(fā)，進(jìn)行抽象能力的培養(yǎng).

三、聯(lián)系生活，把握結(jié)構(gòu)關(guān)系

數(shù)學(xué)元素結(jié)構(gòu)關(guān)系的把握往往需要從實(shí)際生活出發(fā).幾何問(wèn)題也是生活中常見(jiàn)的問(wèn)題. 其中，三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛.學(xué)生需要抽象能力來(lái)理解題目的含義，把抽象的事物具體化，挖掘題目的內(nèi)涵，并把獲得的信息用數(shù)字和線條表示出來(lái)，然后進(jìn)行具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

例如，在《銳角三角函數(shù)》這一節(jié)的“閱讀與思考”這個(gè)版塊中，學(xué)生不僅需要掌握正弦值和余弦值的定義，還要掌握一些常見(jiàn)的三角函數(shù)值.如“[sin30°=cos60°=12]，[cos30°=sin60°=32]，[sin45°=cos45°=22]”.但是我發(fā)現(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題中，往往需要學(xué)生自己繪制模式圖，對(duì)角度描述進(jìn)行具體分析.如北偏東60°、南偏西45°等都是在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)遇到的方向表述術(shù)語(yǔ)，學(xué)生仍需要在實(shí)際問(wèn)題中根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分析.如，經(jīng)典的高度問(wèn)題：“在A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的仰角為60°，B點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的仰角為45°，已知AC = 60 m，AB = 20 m，求建筑物CD的高度.”根據(jù)題目，我們可以得出一個(gè)等量關(guān)系：AC-BC=AB，即CDcos60°- CDcos45° = AB.有的學(xué)生把建筑物CD的高度設(shè)成x，就可以得到[12x-22x=20]，然后就可以得出建筑物CD的高度.學(xué)生需要把握的關(guān)鍵點(diǎn)是三角形ACD和三角形ABD共用CD這條邊，然后根據(jù)題目的信息進(jìn)行圖像和數(shù)字的轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)得出等量關(guān)系.

利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，不僅能夠幫助學(xué)生理解所學(xué)的知識(shí)，還可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.學(xué)生根據(jù)題目進(jìn)行抽象的同時(shí)，還要準(zhǔn)確地把握題目的要點(diǎn).對(duì)于三角函數(shù)這類問(wèn)題的思考，既可以幫助學(xué)生熟練運(yùn)用正弦值和余弦值的定義，還可以幫助學(xué)生了解更多的生活常識(shí).

四、類比聯(lián)想，拓展思維空間

類比與聯(lián)想，需要學(xué)生有較好的空間想象能力.類比聯(lián)想在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用十分廣泛.比如，三角形定義中的相似三角形和全等三角形，需要學(xué)生具備一定的抽象能力，以三角形的概念和定義為尺度來(lái)看待問(wèn)題.只有學(xué)生具備了一定的抽象能力，才能用最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行推斷和證明.

例如，在《投影和視圖》教學(xué)中，學(xué)生需要掌握三視圖和投影問(wèn)題的部分計(jì)算知識(shí).但是在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生對(duì)于投影問(wèn)題的理解有一些疑惑，于是我開(kāi)展了一次講座，主要給學(xué)生講解一些投影問(wèn)題的解題方法.以題目“圓桌正上方的燈泡發(fā)出的光線照射到桌面后，在地面上形成圓形陰影，已知燈泡距離地面2.4 m，桌面距離地面0.8 m（桌面厚度不計(jì)），若桌面面積為1.2 m2，則地面上陰影的面積為多少？”為例，在題目中，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積可以通過(guò)燈泡、桌面與地面的高度比例計(jì)算出來(lái).如果把畫面轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面圖形，實(shí)際上就是相似三角形求比例的問(wèn)題.但是在結(jié)果計(jì)算上要注意面積之比是底面半徑之比的平方.按照比例，學(xué)生能夠求出一個(gè)面積，那么這個(gè)面積就是地面陰影的面積，這樣問(wèn)題也就迎刃而解了.

學(xué)生具備一定的空間想象能力對(duì)于解決幾何問(wèn)題具有重要意義.相似三角形在幾何問(wèn)題中的遷移范圍很大，除了投影問(wèn)題中會(huì)有所涉及，在證明問(wèn)題中也十分常見(jiàn).學(xué)生只有掌握了一定的聯(lián)想與想象能力，才能對(duì)題目進(jìn)行抽象，進(jìn)一步進(jìn)行推理和證明，才能游刃有余地解決幾何問(wèn)題.

抽象能力的培養(yǎng)對(duì)于發(fā)展學(xué)生理性思維，拓展學(xué)生思維空間有很重要的作用.學(xué)生只有具備一定的抽象能力，才能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，才能有效提升自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）