基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的《弧度制（1）》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

高斌

[摘? ?要]通過現(xiàn)實(shí)情境，引入弧度制;將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情境，提出問題，尋求弧度制;建立數(shù)學(xué)模型，確定模型中數(shù)學(xué)變量，研究變量間的關(guān)系;通過檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛻?yīng)用模型，統(tǒng)一角與數(shù)的度量單位，實(shí)現(xiàn)角的集合與實(shí)數(shù)集合的一一對(duì)應(yīng).這些都是提高《弧度制》教學(xué)效率的有效措施.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);弧度制;教學(xué)設(shè)計(jì);反思

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）20-0008-03

一、教材分析

《弧度制》是普通高中課程內(nèi)容.引入一種新的角的度量方法——弧度制，承接于《任意角的概念》，為擴(kuò)充后的角度提供了一種更為方便的表示方法，也為后面的三角函數(shù)的知識(shí)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).《弧度制》計(jì)劃安排兩課時(shí)，本節(jié)課《弧度制（1）》是第一課時(shí).

二、學(xué)情分析

1.學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備是角度制，由于角的概念的推廣，學(xué)生對(duì)角度的范圍有了新的認(rèn)識(shí).現(xiàn)在要引入弧度制，就需要讓學(xué)生理解為什么要引入弧度制，即學(xué)習(xí)弧度制的必要性.

2.學(xué)生普遍缺乏創(chuàng)造性思維，通過“切圓周角”來定義角度制，可以類似的“切弧長(zhǎng)”來定義弧度制，更好地理解弧度制的概念.

3.對(duì)于新定義的概念，學(xué)生需要結(jié)合已學(xué)知識(shí)，熟練角度制和弧度制的互化，認(rèn)同弧度制，感受弧度制的優(yōu)勢(shì).

三、教學(xué)目標(biāo)

1.通過情境問題，感受引入弧度制的必要性.

2.類比角度制的定義，經(jīng)過弧長(zhǎng)和半徑比值體驗(yàn)探索，理解1弧度的角和弧度的意義.

3.能正確進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù).

4.結(jié)合任意角的知識(shí)，了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

5.能正確運(yùn)用弧度制解決終邊相同的角、象限角等有關(guān)問題.

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課的難點(diǎn)在于理解弧度制引入的必要性.教師應(yīng)該采用探究式教學(xué)方法，利用課件設(shè)置情境，讓學(xué)生感受以往角度制六十進(jìn)制計(jì)算的不便，以及角度制解決一些問題的局限性，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，迫使新定義一個(gè)度量來描述角的大小.利用幾何畫板和GeoGeobra數(shù)學(xué)軟件，動(dòng)態(tài)展示扇形、圓中弧長(zhǎng)與半徑的比值和對(duì)應(yīng)圓心角的大小，控制變量，發(fā)現(xiàn)兩者之間的變化關(guān)系，結(jié)合生活中常用的十進(jìn)制，思考并尋求弧度制的可行性，理解1弧度的角和弧度的意義.

五、教學(xué)過程

（一）課前準(zhǔn)備

1.已知半徑為[r]的圓中，圓心角[α=n°]對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)[l]，根據(jù)已學(xué)知識(shí)完成下表.

2. 角度制的概念，[11°15=]? ? ? ? ?°，[20°12′36=]? ? ? ? ?°.

3. 生活中有哪些不同的度量單位？如：長(zhǎng)度可以用米、厘米、英尺、碼等不同的單位度量.

1米=100厘米=3尺=3.2808399英尺=1.0936133碼.

4. 情境：

（1）戰(zhàn)場(chǎng)上，迫擊炮連在占領(lǐng)陣地后，測(cè)得敵人兩地堡的間隔是50米，地堡離我方炮連陣地的距離是1000米，為了確保炮兵戰(zhàn)士立刻以猛烈的炮火摧毀第一個(gè)敵堡后，隨即轉(zhuǎn)動(dòng)迫擊炮，摧毀另一個(gè)敵堡，如何快速測(cè)量或者算出迫擊炮對(duì)兩敵堡的張角（即迫擊炮轉(zhuǎn)動(dòng)的角度）？

（2）射擊運(yùn)動(dòng)員快速、準(zhǔn)確地移動(dòng)槍支射擊移動(dòng)的目標(biāo).運(yùn)動(dòng)員根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷離移動(dòng)目標(biāo)的距離.那么目標(biāo)移動(dòng)的距離如何快速判斷？如何計(jì)算直接影響運(yùn)動(dòng)員移動(dòng)槍支的角度？

（3）如果想利用導(dǎo)航，則需知曉小船實(shí)時(shí)所處的經(jīng)緯度.然而使用量角儀器測(cè)量是較為困難的.在已知行駛距離和地球半徑的情況下，能度量[θ]的大小嗎？

5. 查閱資料，了解六十進(jìn)制、十進(jìn)制和圓周率的概念.

【設(shè)計(jì)意圖】熟悉角度制，作為本節(jié)課的知識(shí)儲(chǔ)備，感受角度制六十進(jìn)制計(jì)算的不便.設(shè)計(jì)情境，體現(xiàn)角度制解決問題的局限性，體現(xiàn)引入弧度制的必要性.

（二）課堂互動(dòng)

問題1：探究角、半徑和弧長(zhǎng)之間的關(guān)系.

角可以看作平面內(nèi)射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形，取不同長(zhǎng)度作為半徑，觀察相應(yīng)的弧長(zhǎng)變化.

給定一個(gè)圓，如果圓心角不變，改變圓的半徑，觀察弧長(zhǎng)的變化趨勢(shì)，思考：弧長(zhǎng)與半徑比值如何變化？

結(jié)論：角不變時(shí)，半徑不同，弧長(zhǎng)與半徑成正比例，并且弧長(zhǎng)與半徑的比值不變.

特殊[?]一般，是否依然有這樣的關(guān)系？操作課件演示，答案是肯定的.

問題2：?jiǎn)栴}1中，如果只改變角的大小，觀察弧長(zhǎng)和半徑的比值如何變化.

結(jié)論：此時(shí)弧長(zhǎng)與半徑的比值依然不變，所以對(duì)于一個(gè)角，角的大小與半徑無關(guān).

問題3：當(dāng)角[α=n°]是定值時(shí)，[lr]也是定值，兩個(gè)定值之間有什么關(guān)系？類比角度制中[1°]，是否可以新定義1弧度，如何定義？

結(jié)論：角[α]大小與[lr]同步變化且成正比關(guān)系，它們一一對(duì)應(yīng).為了便于計(jì)算和度量，選取[l=r]時(shí)作為一個(gè)單位來度量角的大小，取名“弧度”，此時(shí)記為“1弧度”，而[lr]是一個(gè)實(shí)數(shù)，不同于原來的角度制，用[lr]的大小來作為角的弧度數(shù)，這樣就實(shí)現(xiàn)了角的弧度數(shù)可以用實(shí)數(shù)表示，新定義為弧度制.

弧度制概念：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度（radian）的角，記作1 rad.

用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.

推廣到任意角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫負(fù)角，沒有旋轉(zhuǎn)的角叫零角.正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

【設(shè)計(jì)意圖】利用幾何畫板和GeoGeobra數(shù)學(xué)軟件，動(dòng)態(tài)演示扇形、圓中弧長(zhǎng)與半徑的比值和對(duì)應(yīng)圓心角的大小，控制變量發(fā)現(xiàn)兩者之間的變化關(guān)系，思考并尋求弧度制的可行性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

類比角度制“切圓周角”來定義角度制，可以類似的“切弧長(zhǎng)”來定義弧度制，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

至此可以利用弧度制解決課前準(zhǔn)備中的情境問題，根據(jù)距離的大小和比值判斷角度的大小，體現(xiàn)出弧度制的優(yōu)越性.

問題4：角度制和弧度制的關(guān)系及換算.

常見特殊角的弧度：

問題5：終邊相同的角和象限角的弧度制如何表示？

與角[α]終邊相同的所有角的集合： ____________; 終邊落在y軸的正半軸上：_________________;終邊落在x軸上：______________________;第一象限角：___________________________.

【設(shè)計(jì)意圖】 熟練角度制和弧度制的互化，體會(huì)弧度制帶來的便捷感，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

六、歸納總結(jié)

1.? 1弧度的意義、弧度制的概念.

2.用弧度制來度量角的大小.

3.角度制和弧度制的換算.

4.弧度制解決問題及其優(yōu)勢(shì).

七、課后作業(yè)

1. 完成學(xué)案4-102課后作業(yè);

2. 預(yù)習(xí)學(xué)案4-103.

八、教學(xué)反思

（一）本節(jié)課設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)

1. 通過角度制計(jì)算的煩瑣及角度制解決問題的局限性，引出引入弧度制的必要性.學(xué)生通過觀察動(dòng)態(tài)課件，思考并尋求弧度制的可行性，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，抽象出弧度制的概念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2. 通過“切圓周角”來定義角度制，可以類似的“切弧長(zhǎng)”來定義弧度制，展開探究，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).

3. 角度和弧度之間的換算，弧度制的簡(jiǎn)單應(yīng)用，感受弧度制的優(yōu)越性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

4.從發(fā)現(xiàn)問題到解決問題，從必要性到可行性，從已知到未知，從未知到已知，合理設(shè)計(jì)每個(gè)環(huán)節(jié)，以“問題串”的形式循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生.

5. 以“問題串”的形式引發(fā)學(xué)生合理地思考，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，體現(xiàn)“問題引導(dǎo)、素養(yǎng)優(yōu)先、學(xué)生本位”的課堂教學(xué).

（二）教學(xué)中應(yīng)注意的問題

1.情境問題的引導(dǎo)，如何將問題的困難往距離和距離比值上引導(dǎo)，還需要更多地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和思維方式.

2. 為了更好地讓學(xué)生類比角度制理解1弧度的概念，在對(duì)角度和弧度進(jìn)行互化時(shí)，若學(xué)生出現(xiàn)將弧度與角度混用的情況，教師應(yīng)及時(shí)地更正并強(qiáng)調(diào)書寫規(guī)范;用弧度制度量角時(shí)，如果結(jié)果含有[π]，如無特別要求，直接保留[π]的形式，但應(yīng)明確這里的[π]依然是一個(gè)實(shí)數(shù).

3. 在動(dòng)態(tài)課件演示過程中，引出弧度制概念時(shí)，應(yīng)與學(xué)生多加互動(dòng)，注意數(shù)學(xué)語言及提問的技巧，更好地引導(dǎo)學(xué)生思考.

（責(zé)任編輯? ?黃桂堅(jiān)）