談談回歸概念的推理與證明

劉煒

《論語·為政》有句名言：“知之為知之，不知為不知，是知也.”借鑒到數(shù)學學習和解題中，就是理解概念和定理，從而在其框架和規(guī)則之下研究問題，這才是真正的智慧.事實上，在數(shù)學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學概念則是構成它們的基礎，正確理解并靈活運用數(shù)學概念，是掌握數(shù)學基礎知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提，以下我們從課本的例題出發(fā)談談如何回歸概念進行推理與證明，

例1 證明：不是有理數(shù).

分析 命題中需要證明的對象不是有理數(shù)，而我們只有關于“有理數(shù)”的概念，因此只能從有理數(shù)的概念出發(fā)，即否定命題，使用“反證法”，即有如下證明：

證明假設是有理數(shù)，則可設=q/p①，其中p，q為互質(zhì)的整數(shù)，q>0.

將①式的兩邊平方，變形后得2p²=q²②.

②式表明，q²是2的倍數(shù)，從而q也必是2的倍數(shù)，于是又可設q=2l（l是正整數(shù)），代人②式，整理后得p²=2l²③.

③式表明，p²是2的倍數(shù)，所以p也是2的倍數(shù).

這樣，p與q都是2的倍數(shù)，它們有公約數(shù)2，這與p，q為互質(zhì)的假定相矛盾，因此，√2不是有理數(shù).

回顧 該證明方法稱為反證法，是間接證明的一種，反證法的證明過程可以概括為“否定推理否定”，即從否定結論開始，經(jīng)過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原命題）的過程.

變式 證明：1，，3不可能是一個等差數(shù)列中的連續(xù)三項，

分析 我們無法刻畫一個不是等差數(shù)列的連續(xù)三項，因而可以轉化等差數(shù)列中的三項.于是采用反證法，尋找矛盾點，最終肯定原來的命題，

證明假設1，，3是一個等差數(shù)列中的連續(xù)三項，則2=1+3.

平方得，8 =16，這與事實相矛盾，因此1，，3不可能是一個等差數(shù)列中的連續(xù)三項.

反思 從證明的角度來說，我們所做的一切均是順理成章的;從形式的角度來說，這個等式是顯然不成立的，因為一個無理數(shù)不能等于一個有理數(shù)，帶著這樣的思考，我們考查2008年江蘇省高考的數(shù)列問題.

鏈接（2008江蘇卷節(jié)選）（2）求證：對于一個給定的正整數(shù)n（n≥4），存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列b1，b2，…，b_n，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列.

分析 類似于變式，我們無法直接說明任意三項都不能組成等比數(shù)列;但是其對立面的概念倒是十分清楚，即存在三項組成等比數(shù)列，因此便得到合理的等價轉化.

提升 容易發(fā)現(xiàn)，高考題源自課本，高于課本，要求我們要對問題的本質(zhì)與形式進行合適的選擇和處理，從而才能得到真正有效的解決，因此需要對題干中的概念和表述進行分析，從而合理轉化，

誠然，數(shù)學的學習需要靠“解題”來鞏固和訓練，但是不是靠“刷題”來強化和提升，其實更需要的是，對一個問題的思考以及解題后的反思，這樣才能對數(shù)學思維和數(shù)學理解有提升的效果，單墫先生對“解題過程”通常有兩種理解，一種是狹義的，一種是廣義的，狹義的理解是指：“求得所遇到的或所給的數(shù)學問題的結果”，即“嘗試→求解→得結果”的過程;廣義的理解是不僅包括“嘗試→求解→得結果”的過程，還要包括總結，也就是“嘗試→求解→得結果→總結”的過程.其中“總結”是解決數(shù)學問題中最重要的一環(huán)，把握這一環(huán)的優(yōu)與劣，從根本上決定了一個人解題能力的強弱，

根據(jù) 例1系列問題的解決，我們可以總結發(fā)現(xiàn)：從技術層面來說，用反證法證明命題“若p則q”的過程可以概括如下：肯定條件p否定結論q→導致邏輯矛盾→“p且q”為假→“若p則q”為真;從思維層面來說，用反證法可以反客為主，將結論變成條件，從而可能更有利于從概念出發(fā)，研究和分析問題，取得更好的進展，

分析 本題中，條件是因變量的大小關系，而結論是自變量的大小關系，意圖是用因變量的大小去控制自變量的大小，這樣的技術難度就在于“逆用單調(diào)性”，那么我們可以試著“正用單調(diào)性”，從而選擇反證法.

回顧 函數(shù)單調(diào)性的定義就是用自變量的大小去判斷因變量的大小，因此使用反證法之后就可以將結論作為條件，從而契合單調(diào)性的定義，開辟了一條順向的思維通道，

反思 雖然與例2中證明不等關系不完全一致，但是依舊是從因變量的相等去判斷自變量的相等，因此可以選擇將“自變量的大小”作為條件，從而選用“反證法”.在這樣的思想指導下，可以比較順利轉化、解決下面這道函數(shù)問題.

分析 前面兩小問都是常規(guī)問題，關鍵在于（3）的認識.如果我們從例2分析的角度出發(fā)，我們不難發(fā)現(xiàn)，這是一個由因變量的值來控制自變量的值的問題，于是想從“單調(diào)性”的順向思維出發(fā)，選擇“反證法”.

提升 數(shù)學是一種游戲規(guī)則，需要運行方向和操作流程，一旦不按照這樣的規(guī)程來處理，就有可能出現(xiàn)問題.作為“單調(diào)性”這樣的規(guī)則而言，就是指用自變量的大小去確定因變量的大小，如果順向處理則十分順利，如果逆向處理則十分困難.由此來說，如果結論出現(xiàn)自變量的大小，那么就需要反客為主，變被動為主動，最終成就問題的解決.

反證法，是我們常用的間接證明方法，往往講到的是“正難則反”，那么何為“正難”？從概念的理解來說，命題中出現(xiàn)了非概念從屬關系，或者逆概念定義規(guī)則的狀況，我們?yōu)榱饲‘斒褂酶拍睿瑥亩鴮⒛繕私Y論加以否定，變成我們所理解的概念，也變成我們推理的條件，因此能很好地解決問題.

數(shù)學概念的理解也是對“數(shù)學游戲規(guī)則”的理解與認識，其實不是一種外在的強制，而是一種內(nèi)在的自由，即“知道就是按知道的做”且“不知道就不能隨便做”，因此才能做到“從心所欲不逾矩”，實現(xiàn)解題中的自由自在.