填充空間的多面體

常文武

編者按：同學(xué)們，看到蓋房子用的長(zhǎng)方體磚塊，能夠密不可分地結(jié)合在一起，砌出一堵堵墻來(lái)，你們有沒有想過(guò)，如果把長(zhǎng)方體磚塊換成其他形狀，還能不能蓋出房子來(lái)呢？這其實(shí)就是多面體填充空間的話題，想了解更多內(nèi)容嗎？一起來(lái)走進(jìn)下文，

用多面體填充空間是一個(gè)古老的話題.建筑用長(zhǎng)方體磚塊（如圖1）是可以填充空間的最常見多面體.顯然比長(zhǎng)方體更特殊的正方體也是可以填充空間的.

風(fēng)靡世界的樂高玩具（如圖2）其實(shí)就是一些長(zhǎng)方體的組合拼搭.而另一種著名益智玩具——索瑪方塊的基本元素則是正方體的單元，

讓我們觀察廣場(chǎng)上的地磚，如圖4，常見的是一種正六邊形的式樣，就像蜂巢的截面.如果我們挖開一塊，可以發(fā)現(xiàn)它就是一個(gè)正六棱柱，如果將這些正六棱柱的地磚一層層堆疊上去，就可發(fā)現(xiàn)正六棱柱能夠填充空間.

以此類推，所有可以鑲嵌平面的多邊形一旦有一定厚度就可以填充三維的空間了，

以上都是很平凡的填充空間方案，不足為奇，

值得驕傲和自豪的是，中國(guó)人曾發(fā)現(xiàn)一種叫鱉膈的四面體是可以填充空間的.在《九章算術(shù)》一書中，古人用切割長(zhǎng)方體的方法發(fā)現(xiàn)了它，這比西方人發(fā)現(xiàn)同一結(jié)構(gòu)的時(shí)間（1925年）要早幾百年.

鱉臑究竟長(zhǎng)什么樣？下面請(qǐng)讀者跟我來(lái)制作幾個(gè)把玩一番，

取一張A4紙，如圖5，三等分后，裁掉其中三分之一，得到長(zhǎng)寬比約為3：√2的長(zhǎng)條紙，照著以下圖6的步驟就可以完成一個(gè)鱉臑.

現(xiàn)在，請(qǐng)用三個(gè)鱉臑組合拼接成一個(gè)斜三棱柱（圖7）.一旦成功了，鱉臑?zāi)芴畛淇臻g的道理就不言自明了，

四面體是面數(shù)最少的多面體，下面利用“星化”正方體的方法產(chǎn)生一種能填充空間的新多面體——菱形十二面體，

將多面體的每個(gè)面尖銳化為一個(gè)棱錐而得到的多面體的過(guò)程就是“星化”.那么怎么將正方體星化呢？

想象一下單位正方體的中心（最長(zhǎng)對(duì)角線的中點(diǎn)）關(guān)于正方體的6個(gè)面有6個(gè)鏡像對(duì)稱的像點(diǎn)，這些像點(diǎn)與原正方體的每個(gè)面構(gòu)成的四棱錐就是該面上的星化錐.這6個(gè)正四棱錐加上原來(lái)的正方體共同組成的多面體就是一個(gè)菱形十二面體，如圖8.為何是一個(gè)十二面體而不是二十四面體呢？注意到來(lái)自不同星化錐的相鄰側(cè)面恰巧平行于原正方體的某對(duì)角面.這樣，原正方體的12條棱就融化成菱形對(duì)角線，24個(gè)面也就成為了12個(gè)面，

我們可以從正方體填充空間的特性自然推導(dǎo)出菱形十二面體填充空間的特性.

設(shè)想用無(wú)數(shù)小正方體組成如圖9那樣帶空隙的三維空間.

圖9只是無(wú)限空間的一個(gè)局部.這個(gè)空間里每個(gè)方塊與周圍12個(gè)方塊以共棱方式鄰接，但從不共面，也就是說(shuō)這樣形成的無(wú)窮大立體結(jié)構(gòu)像海綿一樣充滿了洞洞眼.

現(xiàn)在讓每個(gè)立方體在它的6個(gè)面上向周圍的6個(gè)洞洞生出6個(gè)四棱錐，這樣每個(gè)洞洞被它的上下左右前后伸出的四棱錐正好填滿.這也就證明整個(gè)空間可以被菱形十二面體填滿了.

如果允許填充空間的基本元素是兩個(gè)，值得關(guān)注的一個(gè)例子是正八面體和正四面體的組合.

用一個(gè)正八面體和兩個(gè)正四面體可以拼成一個(gè)平行六面體，而平行六面體可填充性是長(zhǎng)方體可填充性的自然推論.

要證明圖10中的多面體的確是一個(gè)平行六面體，關(guān)鍵要證明正四面體和正八面體鄰接面融為一個(gè)面了.

分別算算兩種多面體的二面角，可以發(fā)現(xiàn)它們正好互補(bǔ)：如圖11，正四面體二面角的平面角等于菱形的一個(gè)銳角，而一個(gè)正八面體的二面角的平面角等于該菱形的一個(gè)鈍角.

北京2008年奧運(yùn)會(huì)游泳館是二元組合填充空間的一個(gè)經(jīng)典范例，這個(gè)有“水立方”美稱的建筑用了兩種多面體氣囊來(lái)填充完成（如圖12）.兩種多面體以1：3的數(shù)量來(lái)配比，居一份的是十二面體，居三份的是十四面體，都不是正多面體，根據(jù)計(jì)算，它們對(duì)于空間填充的效率是很高的：把單位體積空間分割為固定數(shù)量的空間用的表面積最少.

在認(rèn)識(shí)空間填充規(guī)律的進(jìn)程中，自然界還有一種生物甚至超過(guò)了人類，這就是蜜蜂，蜜蜂創(chuàng)造的蜂巢的結(jié)構(gòu)是半開放的菱形十二面體，據(jù)測(cè)算這樣的結(jié)構(gòu)耗費(fèi)的蜂蠟最省.

本文介紹了多面體填充空間的幾個(gè)例子.從面數(shù)較少的算起，有鱉膈四面體、正方體、4-8聯(lián)合體、菱形十二面體、12-14聯(lián)合體.當(dāng)然還有更多的可填充空間的多面體，這就有待讀者去發(fā)現(xiàn)研究了.