在“慢數(shù)學”中發(fā)展學生核心素養(yǎng)
——以《平行四邊形的定義和性質(zhì)》為例

東北師范大學史寧中教授指出，數(shù)學學科的核心素養(yǎng)可以表達為：用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界。如何在數(shù)學教學中落實數(shù)學學科的核心素養(yǎng)？我主張“慢數(shù)學”：重視過程，注重學生對數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握，同時感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，努力把情感態(tài)度目標融合在數(shù)學過程之中，實現(xiàn)數(shù)學學科的育人功能?！奥笔菍旃?jié)奏、大容量的“速成課堂”的一種揚棄，其核心是注重“過程”，落實數(shù)學核心素養(yǎng)。下面，筆者以“平行四邊形的定義和性質(zhì)”為例，闡述“慢數(shù)學”的做法。

一、內(nèi)容解析

“平行四邊形的定義和性質(zhì)”選自人教版八年級下冊第十八章第一節(jié)，主要內(nèi)容為平行四邊形的定義和性質(zhì)。這節(jié)課的教學目標是：明確平行四邊形的概念，知道“對邊平行”是平行四邊形的本質(zhì)屬性；在觀察、猜想、證明的過程中研究平行四邊形邊、角、對角線的性質(zhì)，體會平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的“化歸”思想。這節(jié)課的重點是，讓學生理解并掌握平行四邊形的概念和性質(zhì)，難點是在探究性質(zhì)的過程中形成解決四邊形問題的一般策略。

二、主要教學環(huán)節(jié)解析

【活動1】創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

師：這是生活中常見的場景（圖略）

小區(qū)的伸縮門、庭院的竹籬笆、汽車的防護欄，在這些圖片中，有哪些是我們熟悉的幾何圖形呢？

生1：有平行四邊形，長方形。

從這節(jié)課開始，我們一起研究平行四邊形的定義和性質(zhì)。

演示生活中的平行四邊形圖片，并從中抽象出幾何基本圖形，使學生回顧平行四邊形是生活中常見的圖形，研究它的性質(zhì)具有重要的意義。

【活動2】抽象觀察，形成概念

師：同學們，學習幾何圖形，一定要明確概念，我們先要定義一下什么是平行四邊形，有沒有同學能試一下做一個定義呢？

生2：我認為對邊相等的就叫平行四邊形。

生3：我覺得一組邊平行一組邊相等的四邊形。

師：（在黑板上畫一個等腰梯形）你看看，這是平行四邊形嗎？

她立刻搖頭，說不對。

生4：兩組邊平行的四邊形是平行四邊形。

師：這位同學回答非常正確。（板書）有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形?！捌叫小笔沁@個概念的本質(zhì)含義。幾何定義有兩層含義，既可以作為平行四邊形的一個性質(zhì)，又可以是平行四邊形的判定方法。（板書）用幾何語言表述為：

∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），

∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四邊形的定義）。

∵ AB∥CD，AD∥BC（已知），

∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的定義）。

讓學生猜測平行四邊形定義，可以加強學生對平行四邊形概念本質(zhì)屬性的認識，并清楚平行四邊形概念的本質(zhì)、最重要的屬性“平行”。通過對定義本質(zhì)屬性的探索，讓學生明確幾何定義既包含了性質(zhì)，又是判定的重要依據(jù)，為后面學習特殊的平行四邊形打下良好基礎(chǔ)。強調(diào)了平行四邊形定義的文字語言、圖形語言、符號語言。

【活動3】實驗探索，探究新知

師：請同學們獨立完成下列學習任務(wù)：

根據(jù)定義畫一個平行四邊形ABCD，觀察它，除了“兩組對邊分別平行”外，它的邊還有什么性質(zhì)？它的角之間有什么關(guān)系？連接AC、BD，設(shè)它們交于點O，量一量，你能發(fā)現(xiàn)對角線有什么性質(zhì)？猜一猜：平行四邊形有哪些性質(zhì)？

先獨立完成，然后以小組為單位，相互比較各自的畫圖效果，并把你們發(fā)現(xiàn)的結(jié)果用簡潔的語言描述出來。最后請各小組把歸納得到的結(jié)論與同學們分享。

學生畫圖、測量、討論，老師巡堂指導。

生5：在小學期間，我們就知道平行四邊形的對邊是相等的，對角也是相等的，剛才我們小組的同學又測量了一次，結(jié)論都是這樣的。所以我們組認為平行四邊形的對邊相等，對角相等。

師：還有補充的嗎？

生6：我們組還發(fā)現(xiàn)，對角線的長度并不相等。不過，雖然對角線的總長度不相等，但是通過測量發(fā)現(xiàn)OA=0C，點O是AC的中點，OB=OD，點O也是BD的中點呢！

師：觀察真敏銳！其他組是不是也有這種情況呢？你們試試看！

同學們紛紛測量，最后歸納總結(jié)出結(jié)論：點O既是AC的中點，也是BD的中點。

師：像這種點O既是AC的中點，也是BD的中點，用準確的數(shù)學語言來描述就是“互相平分”。

在這個環(huán)節(jié)中，學生可以發(fā)現(xiàn)平行四邊形的大小不盡相同，但都具有相同的特點：它們的對邊既平行又相等，它們的對角都相等，對角線互相平分。

“互相平分”是學生第一次接觸，理解有困難。設(shè)計這個環(huán)節(jié)的目的，是讓學生親自測量，理解“平行四邊形對角線互相平分”這句話的真正含義。同時，也經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和探究幾何圖形性質(zhì)的前面幾步：在觀察、度量的基礎(chǔ)上提出猜想。

師：同學們通過觀察和測量，猜想出了所有的平行四邊形都對邊相等、對角相等、對角線互相平分，但這僅僅是猜想，我們還必須證明才行。請大家先思考這個問題：我們常常用什么方法證明線段相等或證明角相等？

生7：常常通過證明它們所在的三角形全等來證明。

師：對！下面，請用你們的經(jīng)驗來證明你們的剛才的猜想。還是先獨立思考，再小組討論，最后請各組派代表展示你們組的探索成果。

生8：我們組作了輔助線，連接AC，然后證明ΔABC≌ΔCAD， 這樣就證明了 AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，從而證明了平行四邊形的了對邊相等，對角相等。

師：非常好！還有其他證明方法嗎？

生9：我們組的做法差不多，連接的輔助線是BD。

生10：我們組做了兩條輔助線，連接AC、BD，它們交于點O，可以證明ΔAOD≌ΔCOB，進而得到OA=0C，OB=OD，從而證明了平行四邊形的對角線是互相平分的。

師：給同學們分享一下，你們想到這種證明方法的原因吧！

生11：要證明OA=0C，OB=OD，也就是要證明線段相等，我們就需要證明三角形全等。圖中沒有三角形，因此就想到連接對角線，當我們把兩條對角線都連接了，我們就觀察到出現(xiàn)了全等的三角形，于是就通過證明這兩個三角形全等證明出結(jié)論。

師：非常好！在這個問題中，連接對角線后，四邊形中就出現(xiàn)了三角形，這樣研究四邊形的問題就轉(zhuǎn)化成了研究三角形的問題，這種把未知轉(zhuǎn)化為已知的思想，我們曾經(jīng)遇到過，這是數(shù)學上重要的數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化。

要給學生充足的時間去經(jīng)歷從猜想到論證的過程。引導學生證明猜想，經(jīng)歷領(lǐng)悟證明線段相等或角相等通常采用三角形全等的方法，在這個問題中，由于只有四邊形沒有三角形，因此需要添加輔助線來構(gòu)造全等三角形，四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來研究，這也是研究幾何圖形的基本思想：轉(zhuǎn)化。同時，強化了在數(shù)學研究中，可以用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，必須用演繹推理進行證明。

三、“慢數(shù)學”思想的運用

（一）慢——用數(shù)學的眼光觀察世界

這節(jié)課我首先引導學生觀察生活中的圖片，讓學生識別出其中的平行四邊形，一方面讓學生感受到平行四邊形與生活的密切聯(lián)系，知道數(shù)學知識常常來源于生活，更重要的是讓學會從現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)學元素。我們不關(guān)心小區(qū)的伸縮門、庭院的竹籬笆、汽車的防護欄的顏色、質(zhì)量，不去討論他們在生活中的實際用途，而是從這些現(xiàn)實圖形中自然地抽象出平行四邊形的模型，也就是從圖形的角度來認識世界。學生經(jīng)歷將實物抽象為圖形的過程，并在這些豐富的感性材料的基礎(chǔ)上，得到對平行四邊形本質(zhì)屬性的認識，從而發(fā)展學生“用數(shù)學的眼光觀察世界”的核心素養(yǎng)。

（二）慢——用數(shù)學的語言描述世界

小學階段，學生已經(jīng)學習了平行四邊形，對平行四邊形有了初步了解，但是他們不清楚平行四邊形的概念，因此在“平行四邊形定義”的這個活動中，學生的回答是多種多樣的。有學生認為“對邊相等就是平行四邊形”，有的學生認為“對角相等就是平行四邊形”，還有學生認為“對邊平行又相等才是平行四邊形”等等，分不清平行四邊形概念的本質(zhì)和非本質(zhì)屬性，這是初學幾何學生的通病，屬于正?，F(xiàn)象。在老師的不斷引導下，學生們漸漸明晰了平行四邊形概念的本質(zhì)屬性“平行”，學會用準確的數(shù)學語言來描述定義：“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，然后再從文字語言、圖形語言、符號語言三方面對這個定義進行詳細分析，完善了學生在認識圖形方面之間的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了學生的符號意識和幾何直觀，發(fā)展學生“用數(shù)學的語言描述世界”的核心素養(yǎng)。

（三）慢——用數(shù)學的思維思考世界

這節(jié)課的另一個重點是探究并掌握平行四邊形的性質(zhì)。教學中常常會看到“講性質(zhì)+練性質(zhì)”模式。這種忽視探究過程，追求知識結(jié)果，用大量題目鞏固的“快節(jié)奏大容量”模式，這會使數(shù)學中最重要的“營養(yǎng)”成分被丟棄。平行四邊形“對邊相等，對角相等”的性質(zhì)，在小學已經(jīng)學過并應用它進行計算，課本第41頁的探究活動屬于沒有意義的“假探究”和“假猜想”活動，由于學生是第一次接觸“互相平分”這種表述方法，通常不能準確理解，于是我設(shè)計了“畫一畫、量一量、猜一猜”的數(shù)學探究活動，讓學生在觀察、測量的操作活動中，經(jīng)歷由觀察度量、實驗操作等方式發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的性質(zhì)，理解平行四邊形的對角線互相平分的真正含義：OA=OC,OB=OD,點O既是AC的中點，還是BD的中點。只有經(jīng)歷了平行四邊形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，了解性質(zhì)的來龍去脈，才能對平行四邊形的性質(zhì)有深切的了解和認識，真正的理解其性質(zhì)。在這節(jié)課中，通過設(shè)計合適的數(shù)學活動，再用演繹推理的方式加以證明的研究幾何圖形的一般方法，發(fā)展“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)。

在這節(jié)課的教學中，我放慢節(jié)奏，通過列舉典型、豐富的例子，讓學生經(jīng)歷抽象平行四邊形概念的過程，讓學生經(jīng)歷平行四邊形性質(zhì)的探究過程，感受研究幾何問題的一般方法，并發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，力求讓“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“用數(shù)學的語言描述世界”“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)在課堂教學中落地生根。