關(guān)于拉格朗日乘數(shù)法的兩點(diǎn)札記

山西省臨汾市第三中學(xué)(041000) 浙江省寧波市北侖明港中學(xué) (315806)

張榮華 甘大旺

文[1]中介紹多元函數(shù)在已知條件下求極值的拉格朗日乘數(shù)法，文[2]介紹二元函數(shù)在已知條件下求極值的待定系數(shù)乘數(shù)法.前者運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)，屬于高中生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的一個(gè)最近發(fā)展區(qū)；后者運(yùn)用初等方法，也有探究趣味.本文雙向延伸[1]的思路，給出了拉格朗日乘數(shù)法的兩點(diǎn)札記，供參考.

札記1泛化運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的最值，條件等式可能不止一個(gè).

例1 (2015年全國聯(lián)賽題)若實(shí)數(shù)a、b、c滿足2a+4b=2c，4a+2b=4c，求c的最小值.

解：設(shè)x=2a、y=2b、z=2c，則得到兩個(gè)條件等式x+y2=z、x2+y=z2.

由(1)(2)得u(4xy-1)=0(6)，

由(1)(3)得2u(x-z)=-1≠0(7).

則由(6)(7)得4xy=1≠0(8).

訓(xùn)練題1.1 (2018年吉林省競賽題改編題)已知正實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y=xy，且x+y+z=xyz，求z的最大值.

訓(xùn)練題1.2 (第60屆捷克和斯洛伐克決賽題)已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=12，且x2+y2+z2=54，求證：xy、yz、zx均在[9,25]的范圍內(nèi).

提示：先取拉格朗日函數(shù)L(x,y,z)=xy+λ(x+y+z-12)+μ(x2+y2+z2-54)，可求9≤xy≤25.同理得，9≤yz≤25，9≤zx≤25.

札記2退化運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的最值，條件等式可能不存在.

例2 (2009年中國科大自主招生題)求證：?x、y∈R，x2+y2+xy≥3(x+y-1)恒成立.

于是(1,1)是二元函數(shù)f(x,y)的唯一極值點(diǎn).又因?yàn)閒(1,1)=0

注釋：在此例解題過程中，設(shè)想增加一個(gè)恒成立條件等式1=1，并設(shè)想拉格朗日函數(shù)L(x,y)=x2+y2+xy-3(x+y-1)+λ(1-1)，從而可以理解此例的解題思路實(shí)質(zhì)上是貫通運(yùn)用了拉格朗日乘數(shù)法的退化形式.

訓(xùn)練題2.1 (2017年清華大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測模擬試題,正確選項(xiàng)不一定唯一)設(shè)x、y∈R，函數(shù)f(x，y)=x2-2xy+6y2-14x-6y+72的值域?yàn)镸，則( ).

A.1∈MB．2∈MC．3∈MD．4∈M

提示：可求二元函數(shù)f(x,y)的有唯一極值點(diǎn)(9,2)，再不妨取點(diǎn)(0,0)，驗(yàn)算得f(9,2)=3<72=f(0,0)，于是f(x,y)的值域M=[3,+∞)，所以選C、D.

最后指出，把拉格朗日乘數(shù)法及其泛化、退化形式納入高中數(shù)學(xué)的校本選修教材之中是可教、易學(xué)、有用的！