糾纏相干光場對量子態(tài)最大演化速率的操控*

田聰 鹿翔 張英杰2)? 夏云杰2)

1)(曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院,曲阜 273165)

2)(山東省激光偏光與信息技術(shù)重點實驗室,曲阜師范大學(xué)物理系,曲阜 273165)

1 引 言

基于量子態(tài)間最短演化時間定義的量子速率極限時間引起了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注,并用來估量由給定量子態(tài)演化到期望目標(biāo)態(tài)的最大速率.對量子系統(tǒng)速率極限時間概念的研究主要針對閉合量子系統(tǒng)和開放量子系統(tǒng).到現(xiàn)在,對閉合系統(tǒng)幺正動力學(xué)過程中量子速率極限的概念以及推廣應(yīng)用進(jìn)行了較為深入的研究[1?6],將Mandelstam-Tamm(M-T)型界[1]和 Margolus-Levitin(M-L)型界[3]結(jié)合在一起,給出了量子速率極限時間的定義表達(dá)式[4],用來描述在不顯含時間的系統(tǒng)哈密頓量幺正動力學(xué)過程中兩正交態(tài)間演化速率.近年來,國內(nèi)外研究者將量子速率極限時間的研究從閉合系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到開放系統(tǒng)動力學(xué)上來.2013年,Deffner和Lutz[7]利用幾何辦法由布魯斯角出發(fā)分別推導(dǎo)出了開放系統(tǒng)量子速率極限的M-T型界和M-L型界,并將這兩種類型的界統(tǒng)一起來定義了量子速率極限時間.2018年,Campaioli等[8,9]用依賴于測量距離角度在廣義布洛赫球中狀態(tài)的方法推導(dǎo)了描述任意量子態(tài)在幺正或者非幺正動力學(xué)過程中的量子速率極限時間.

一個快速演化的系統(tǒng)動力學(xué)能夠起到保護量子關(guān)聯(lián)態(tài)的魯棒性,有利于量子態(tài)在量子模擬和量子計算中的應(yīng)用[10].在實際系統(tǒng)動力學(xué)過程中怎樣加快量子態(tài)演化的研究是一個重要方向,這不僅對理解量子速率極限的基本概念具有重要的理論意義,而且對基于實際系統(tǒng)的量子通信[11]、量子計算[12]、量子計量學(xué)[13]以及量子最優(yōu)調(diào)控[14]的發(fā)展很有裨益,近年來也引起了廣泛關(guān)注并報道了一些操控量子態(tài)演化速率的工作[15?20],利用文獻(xiàn)[7]中的量子速率極限時間,我們通過對量子比特實施一個連續(xù)的經(jīng)典場驅(qū)動,調(diào)節(jié)經(jīng)典場驅(qū)動強度給出了一個加快量子系統(tǒng)演化速率的理論方案[21].美國的一個研究組基于腔量子電動力學(xué)系統(tǒng),通過可控的原子系綜環(huán)境,實驗上實現(xiàn)了開放量子系統(tǒng)動力學(xué)過程中量子態(tài)的加速演化[22].鑒于糾纏相干光場便于制備和操控[23,24],本文以雙模糾纏相干光場作為調(diào)節(jié)對象[25,26],利用一個二能級原子與其中一模式光場發(fā)生共振相互作用,探究如何通過雙模糾纏相干光場來操控二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)的最大演化速率問題.但迄今為止,哪一種量子速率極限時間能更好地、普適地、嚴(yán)格地適用于任意系統(tǒng)量子態(tài)動力學(xué)過程,還是值得繼續(xù)深入研究的重要問題.Deffner和Lutz[7]所給出的量子速率極限時間和Campaioli等[9]推導(dǎo)的量子速率極限時間得到了人們的廣泛關(guān)注.我們首先針對本文的二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)的動力學(xué)過程,比較上面兩種量子速率極限時間哪個能更好地表征量子態(tài)最大演化速率;基于較好的量子速率極限時間來分析雙模糾纏相干光場參數(shù)對原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的操控.研究發(fā)現(xiàn):2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間能更好地分析二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的調(diào)控問題.與原子發(fā)生相互作用光場的相干參數(shù)在一定范圍內(nèi)能調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學(xué)過程中的最大演化速率.當(dāng)與原子發(fā)生相互作用光場的相干參數(shù)不能很好地利用該參數(shù)來操控量子態(tài)的最大演化速率時,鑒于雙模糾纏相干光場的糾纏性,可以通過調(diào)節(jié)未與原子發(fā)生相互作用的另一光場的相干參數(shù)來遠(yuǎn)程操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學(xué)過程中所能達(dá)到的最大演化速率.

2 理論模型與體系的波函數(shù)

其中

為了更好地研究二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)在動力學(xué)過程中的演化速率,我們需要通過對光場a和b的自由度求跡,得到原子體系在動力學(xué)過程中的約化密度矩陣,

其中

接下來可以根據(jù)近年來普遍關(guān)注的量子速率極限時間來表征二能級原子體系量子態(tài)在動力學(xué)過程中的量子演化速率問題.

3 量子速度極限時間

量子體系演化過程中所能達(dá)到的最大演化速率通?？梢杂昧孔铀俾蕵O限時間來表征,量子速率極限時間是兩量子態(tài)間演化所需的最短時間的一個緊的界.近年來,人們廣泛關(guān)注如何給出表征量子態(tài)最大演化速率的一個普適的、便于計算的、更緊的最短時間的界.基于不同的兩量子態(tài)間距離的度量方法以及不同的動力學(xué)演化信道方式,已經(jīng)給出了很多種不同量子速率極限時間的定義.我們主要針對兩種便于計算并且經(jīng)常被用來表征不同體系量子態(tài)最大演化速率的量子速率極限時間來分析.考慮系統(tǒng)初始量子態(tài)和其目標(biāo)演化態(tài)ρs(τ),t為初始態(tài)到目標(biāo)態(tài)的實際演化時間,2013年,Deffner 和 Lutz[7]用幾何方法將 MT型界和M-L型界統(tǒng)一,并定義了描述量子系統(tǒng)初始量子態(tài)為純態(tài)情形的量子速率極限時間:

為了更準(zhǔn)確地表征二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)在相干光場中的動力學(xué)演化速率問題,首先需要比較上面兩種量子速率極限時間在本文動力學(xué)過程的松緊性.考慮雙模糾纏相干光場的其一模式與二能級原子相互作用,利用(7)和(8)式分別計算出二能級原子初始量子態(tài)到目標(biāo)演化態(tài)動力學(xué)過程的不同量子速率極限時間.兩種量子速率極限時間是初始量子態(tài)參數(shù)q、雙模糾纏相干光場參數(shù)(a,b)、光場與原子間耦合參數(shù)g和實際演化時間t等的復(fù)雜函數(shù),數(shù)值分析這些參數(shù)對兩種量子速率極限時間的影響.這里值得我們指出的是糾纏相干光場參數(shù)a和b的取值范圍,由于在時不正交,而在 |α|>2 和時近似正交;本文旨在利用雙模糾纏相干態(tài)的糾纏性來調(diào)控二能級原子量子態(tài)的演化速率,故下文中為方便起見,主要考慮雙模糾纏相干光場的參數(shù)為正實數(shù)且滿足

為了進(jìn)一步證實Campaioli等[9]的量子速率極限時間為最短演化時間更緊,圖2給出了二能級原子初始處于最大相干性為1的狀態(tài)θ=3π/4 時,給定不同的實際演化時間τ=1 和τ=5,兩種量子速率極限時間與實際演化時間的比值τQSL/τ隨雙模糾纏相干光場參數(shù)a和b的變化規(guī)律.Campaioli等[9]的量子速率極限時間表達(dá)式(8)與Deffner和Lutz[7]提出的表達(dá)式(7)在糾纏相干光場參數(shù)a和b的變化范圍內(nèi)均為τQSL/τ<1,并且我們同樣可以得到Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間表達(dá)式(8)更緊.并且通過比較圖2(a)和圖2(c),以及圖2(b)和圖2(d),實際演化時間τ=5 時Campaioli等[9]的量子速率極限的界仍然比Deffner和Lutz[7]提出的要緊,但是兩者量子速率極限時間的差別相對減小(與τ=1 情形相比較).通過進(jìn)一步數(shù)值模擬分析,發(fā)現(xiàn)在增大實際演化時間t時,在τ>6 之后,兩種量子速率極限時間的圖形基本重合.也就是說,在二能級原子系統(tǒng)的動力學(xué)過程中,若考慮從原子初始態(tài)到經(jīng)過較長時間實際演化的目標(biāo)態(tài),Campaioli等[9]給出表達(dá)式(8)和Deffner和Lutz[7]提出的表達(dá)式(7)在表征原子體系動力學(xué)過程的最大演化速率問題方面是等價的.根據(jù)上面的分析,我們采用2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間表達(dá)式(8)來分析二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)演化速率的調(diào)控問題.

4 量子態(tài)最大演化速率的參數(shù)調(diào)控

基于量子速率極限時間概念,為了清晰地分析二能級原子系統(tǒng)與光場相互作用下量子態(tài)動力學(xué)過程中所能達(dá)到的最大演化速率問題,首先考慮兩束處于糾纏相干光場中未參與相互作用光場b的相干參數(shù)β=0 的情形,這時整個系統(tǒng)描述為處于薛定諤貓態(tài)的光場a與二能級原子相互作用,光場b與原子系統(tǒng)量子態(tài)的動力學(xué)行為無任何影響.下面研究光場a的相干參數(shù)a對原子初始態(tài)到目標(biāo)演化態(tài)ρs(τ)動力學(xué)過程的量子速率極限時間的影響.圖3給出了對于不同實際演化目標(biāo)態(tài)ρs(τ)而言,原子系統(tǒng)量子態(tài)的量子速率極限時間與實際演化時間的比值τQSL/τ隨光場a的相干參數(shù)a的變化規(guī)律曲線.

最后,當(dāng)目標(biāo)態(tài)對應(yīng)的實際演化時間較長時(τ=15 ),在β=0 時,光場a的相干參數(shù)a對量子速率極限時間的影響較小,不能很好地利用參數(shù)a來操控量子態(tài)的演化速率(如圖3中τ=15對應(yīng)曲線).通過引入雙模糾纏光場中未參與相互作用光場b的相干參數(shù)b來操控經(jīng)過較長演化時間后原子系統(tǒng)量子態(tài)的演化速率.對于雙模糾纏相干光場初態(tài)為的情形,由圖5(a)可知,隨著b的增加τQSL/τ增大;對于雙模糾纏相干光場初態(tài)為時,圖5(b)給出隨著b的增加τQSL/τ同樣也是增大的.可見對于所考慮的目標(biāo)態(tài)對應(yīng)的實際演化時間較長時,原子系統(tǒng)量子態(tài)演化過程中所能達(dá)到的最大演化速率被減小,減小了量子態(tài)動力學(xué)過程中演化速率被加速提升的空間.綜上所述,當(dāng)原子與單模相干光場a相互作用時,光場參數(shù)不能很好地來操控量子態(tài)的演化速率時,我們可以引入另外一個單模相干光場b形成雙模糾纏相干光場,這時兩光場模式間的糾纏可以實現(xiàn)光場b遠(yuǎn)程調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)的動力學(xué)過程所能達(dá)到的最大演化速率.

5 結(jié) 論

基于腔量子電動力學(xué)理論,考慮將雙模糾纏相干光場中某一光場模式與一個二能級原子發(fā)生共振相互作用的理論模型,利用量子速率極限時間概念我們主要探究如何操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學(xué)過程中所能達(dá)到的最大演化速率問題.鑒于Deffner和Lutz[7]所給出的量子速率極限時間和Campaioli等[9]推導(dǎo)的量子速率極限時間得到了人們的廣泛關(guān)注,本文首先比較了兩種量子速率極限時間表征量子態(tài)最大演化速率的優(yōu)越性,得到2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間表達(dá)式(8)在描述二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)演化所需的最短時間的界時更緊.本文主要基于Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間分析了雙模糾纏相干光場的參數(shù)對原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的操控,得到了一些有意義的結(jié)論:與原子發(fā)生相互作用光場的相干參數(shù)在一定范圍內(nèi)能調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學(xué)過程中的最大演化速率;當(dāng)與原子發(fā)生相互作用光場的相干參數(shù)不能很好地利用該參數(shù)來操控量子態(tài)的最大演化速率時,鑒于雙模糾纏相干光場奇妙的糾纏性,可以通過調(diào)節(jié)未與原子發(fā)生相互作用的另一模式光場的相干參數(shù)來遠(yuǎn)程操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學(xué)過程中所能達(dá)到的最大演化速率.