吳晨
【摘 要】本文通過(guò)具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,結(jié)合已有知識(shí),探究并證明正弦定理,通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程,以及例題講解細(xì)化正弦定理的應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】三角形;邊角關(guān)系;正弦定理
一、教學(xué)內(nèi)容分析
1.教材內(nèi)容及地位
三角函數(shù)是基本初等函數(shù),是一種重要的數(shù)學(xué)模型,在數(shù)學(xué)和生產(chǎn)生活中具有重要作用,解三角形則是三角函數(shù)知識(shí)的延伸。通過(guò)對(duì)任意三角形的探索,能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得到并掌握正弦定理、余弦定理,從而應(yīng)用其解決一些簡(jiǎn)單的與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。
2.教學(xué)重點(diǎn)
通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究,證明正弦定理,并用它們解決有關(guān)問(wèn)題。
3.教學(xué)難點(diǎn)
將銳角三角形、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,證明猜想。
二、教學(xué)目標(biāo)分析
1.通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的思考,直觀感受測(cè)量問(wèn)題中需要進(jìn)一步研究任意三角形邊與角的關(guān)系,激發(fā)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的積極性。
2.通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究、小組討論,知道正弦定理的證明過(guò)程,體會(huì)由特殊到一般及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。
3.會(huì)敘述正弦定理,能總結(jié)出應(yīng)用正弦定理可以解決的解三角形問(wèn)題,體驗(yàn)方程思想在解三角形問(wèn)題時(shí)的重要作用。
三、學(xué)生學(xué)情分析
學(xué)生通過(guò)初中的學(xué)習(xí),已經(jīng)掌握了相關(guān)邊角關(guān)系的定性結(jié)果,在高中必修四中又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識(shí),但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定困難。教師在教學(xué)中要恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生,并通過(guò)小組合作的方式,自主探究正弦定理的證明過(guò)程,從而提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性,并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。
四、教學(xué)策略分析
1.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)
以三張圖片展現(xiàn)具體測(cè)量實(shí)例,引出解決問(wèn)題的具體辦法——深化三角形的邊角關(guān)系,實(shí)現(xiàn)目標(biāo)1。
2.探索證明
以直角三角形為例,推導(dǎo)出■=■=■,并大膽猜想其在一般三角形中也成立,學(xué)生分組探究,加以證明,并總結(jié)定理,實(shí)現(xiàn)目標(biāo)2。
3.應(yīng)用舉例
通過(guò)例題,總結(jié)出正弦定理的兩個(gè)主要應(yīng)用,體會(huì)正弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)3。
五、教學(xué)過(guò)程分析
1.創(chuàng)設(shè)情境,引入課題
問(wèn)題1:(1)我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事,那月亮離我們到底有多遠(yuǎn)呢?(2)湖南衛(wèi)視的一檔節(jié)目《奇妙的朋友》中有一個(gè)任務(wù)是測(cè)量長(zhǎng)頸鹿的身高,怎樣測(cè)量更方便呢?(3)在無(wú)法到達(dá)河對(duì)岸的情況下,如何測(cè)得河的寬度呢?
【設(shè)計(jì)意圖】以身邊的實(shí)例激發(fā)學(xué)生研究問(wèn)題的興趣,經(jīng)過(guò)引導(dǎo),將問(wèn)題歸結(jié)為三角形的邊角關(guān)系。
問(wèn)題2:在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些與三角形邊角有關(guān)的結(jié)論呢?
【設(shè)計(jì)意圖】初中已學(xué)習(xí)過(guò)“大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角”這一定性結(jié)論,而具體的距離、高度等是數(shù)量,教師需引導(dǎo)學(xué)生探究任意三角形中角A、B、C與邊a、b、c之間的定量關(guān)系。
2.小組合作探究,探索定理
問(wèn)題3:哪種三角形特殊?在初中我們學(xué)過(guò)哪些與直角三角形有關(guān)的結(jié)論呢?
【設(shè)計(jì)意圖】從直角三角形出發(fā),發(fā)現(xiàn)并證明■=■=■成立。大膽猜想這一結(jié)論對(duì)斜三角形也成立。
活動(dòng)1:分組討論,證明上式在銳角三角形中成立。
活動(dòng)2:類(lèi)比銳角三角形中證明上式成立的方法,證明其在鈍角三角形中也成立。
【設(shè)計(jì)意圖】轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位,這里通過(guò)將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,應(yīng)用三角函數(shù)定義表示出高線,進(jìn)而證明該結(jié)論也對(duì)銳角三角形成立;學(xué)生通過(guò)分組討論,應(yīng)用類(lèi)比思想加以證明,體驗(yàn)從大膽猜想到小心求證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程,進(jìn)而得到正弦定理。
問(wèn)題4:誰(shuí)能給大家總結(jié)一下正弦定理的內(nèi)容?
【設(shè)計(jì)意圖】檢測(cè)目標(biāo)3。
3.典例精講
問(wèn)題5:已知邊長(zhǎng)a、角A、角B,能求邊長(zhǎng)b、c及角C嗎?已知邊長(zhǎng)b、角A、角C,能求邊長(zhǎng)a、c及角B嗎?以上的解唯一嗎?
【設(shè)計(jì)意圖】引出解三角形的定義,并總結(jié)出應(yīng)用正弦定理可以解決的一類(lèi)問(wèn)題,即已知角角邊、角邊角解三角形,發(fā)現(xiàn)其恰好為初中學(xué)習(xí)過(guò)的三角形全等的判定定理之中的兩條,使得學(xué)生的知識(shí)框架更為完整。
例1:在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形。
例2:在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形。
變式:在△ABC中,已知b=10,c=5■,C=60°,解三角形。
【設(shè)計(jì)意圖】檢測(cè)學(xué)生對(duì)正弦定理的理解程度,并考查能否運(yùn)用方程思想完成解答。由此總結(jié)出正弦定理的兩個(gè)應(yīng)用:(1)已知兩角及任意一邊,可以求出其他兩邊和另一角;(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,可以求出三角形的其他的邊和角。又通過(guò)變式講解,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確什么情況下三角形的解是唯一的,什么情況下三角形的解不確定,為下節(jié)課做鋪墊。
4.總結(jié)知識(shí),優(yōu)化結(jié)構(gòu)
課堂小結(jié):由學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課學(xué)到的正弦定理的內(nèi)容及主要應(yīng)用。
【設(shè)計(jì)意圖】理清本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn),使學(xué)生明確知道本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么以及該如何應(yīng)用。
5.作業(yè)設(shè)計(jì)
課后探究:
(1)正弦定理的其它證明方法。
(2)已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角,三角形解的情況。
(3)■=■=■的比值等于什么?
作業(yè):
教科書(shū)第4頁(yè)練習(xí)1、2。
六、教學(xué)評(píng)價(jià)與反思
需要教師的精心設(shè)計(jì),平衡高中課堂學(xué)習(xí)時(shí)間的有限性與對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng),。在本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)中,運(yùn)用問(wèn)題解決教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生思考,能夠充分還給學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的時(shí)間,使其以小組討論的形式,運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想證明出正弦定理。學(xué)生積極性很高,能通過(guò)親身體驗(yàn)透徹理解正弦定理并清除分析相關(guān)問(wèn)題,在后續(xù)的例題講解中學(xué)生作答流暢,基本完成了預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。
【參考文獻(xiàn)】
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