反序上下解條件下二階多點邊值問題

李海艷， 王 敏

(1．四川大學(xué)錦城學(xué)院，四川成都611731; 2．成都工業(yè)學(xué)院人事處，四川成都611730)

0 引言

微分方程邊值問題在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的研究．關(guān)于微分方程的邊值問題解的存在性也得到了廣大學(xué)者的關(guān)注［1－14］．尋求邊值問題解的方法非常豐富，其中上下解方法結(jié)合單調(diào)迭代技術(shù)是求解邊值問題的有力工具．單調(diào)迭代方法可以用于逆序上下解的情形，即凡是反極大值原理成立的邊值問題都可以采用這種方法，典型的有奇異邊值問題、周期邊值問題和 Neumann 問題［15－17］．

受文獻［16－17］的啟發(fā)，本文運用反序上下解方法結(jié)合單調(diào)迭代技巧和壓縮映像原理研究了如下的多點邊值問題:

n－2其中，ωi∈［0，+!)，且滿足 0 ＜ ∑i=1ωi＜ 1，(i=1，2，…，n－2)，0＜ξ1＜ξ2＜…＜ξn－2＜1，

1 相關(guān)引理及其證明為了研究問題(1)，考察邊值問題

其中，φ∈C(I)，a為任意常數(shù)．本文假設(shè):

引理 1．1 邊值問題

具有如下的格林函數(shù)

由此可得

在格林函數(shù)的第一個式子中，令t=0，由邊界條件u(0)=0，可得 q1=0．

即有i=1

將上面2組等式聯(lián)立可得

綜上，可得格林函數(shù)G(t，s)，證畢．

注1 若(C1)成立，則容易驗證對任意的t，s∈［0，1］，G(t，s)≥0，并且有

對，有

且R≥N．

引理 1．2 u∈C2(I)是邊值問題(2)的解，當(dāng)且僅當(dāng)u∈C(I)是下面積分方程的解．

證明 假設(shè)G(t，s)是方程

的格林函數(shù)，且u0(t)是方程

的一個解，則邊值問題(2)等價于

假設(shè)u0(t)=p1cost+p2s int，結(jié) 合可得

因此，邊值問題(2)等價于

即u∈C2(I)是邊值問題(2)的解，當(dāng)且僅當(dāng)u∈C(I)是下面積分方程

的解．證畢．

引理 1．3 假設(shè)u∈C2(I)滿足

則 u(t)≤0，t∈I．

證明 令 φ(t)= －u″(t)－Nu(t)，則 φ(t)≥0，t∈I．

考慮邊值問題(2)，其中 a≥0．由引理 2．2可知，邊值問題(2)等價于

定義 1．1［18］令 E 為 Banach空間，P 為 E 中的一個錐，若存在M＞0，使當(dāng)θ≤x≤y(θ為E中的零元)，恒有‖x‖≤M‖y‖，則稱P為正規(guī)錐．

引理 1．4［18］令 E為一個半序 Banach空間，{xn}E是一個單調(diào)序列且為相對緊集，則序列{xn}收斂．

引理1．5［18］令E為一個半序Banach空間，xn≤yn(n=1，2，…，n);若 xn→x*，yn→y*，有x*≤y*．

2 存在性結(jié)果

考察下面的邊值問題

結(jié)合引理1．2，可知邊值問題(4)等價于積分方程

定義算子F:C(I)→C(I)有

顯然算子F:C(I)→C(I)是全連續(xù)算子．

引理 2．1 u∈C2(I)是邊值問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u是算子F的不動點．

定義 2．1(比較定理) α0∈C2(I)稱為邊值問題(1)的一個下解，若

類似地，β0∈C2(I)稱為邊值問題(1)的一個上解，若

定理 2．1 假設(shè)(C1)成立，設(shè) β0和 α0分別是邊值問題(1)的一個上解和下解，并且 β0(t)≤α0(t)(t∈I)，且 f滿足

(C2)f(t，x) － f(t，y) ≤ N(x － y)，t∈ I，β0(t) ≤y≤x≤α0(t)，則邊值問題(1)在［β0，α0］中具有最小解u*(t)和最大解u*(t)，且βn(t)→u*(t)，αn(t)→u*(t)(n→!)關(guān)于 t∈I一致，這里

證明 根據(jù)引理2．1，只需證明算子F在［β0，α0］中有最小不動點和最大不動點．

當(dāng) β0≤u1≤u2≤α0時(即 β0(t)≤u1(t)≤u2(t)≤α0(t)，t∈I)，由算子 F 的定義有故由(C2)和注 1，有 f(s，u1(s))－Nu1(s)≥f(s，u2(s))－Nu2(s)，G(t，s)≥0，即 Fu1≤Fu2，因此 F是增算子．

下證 β0≤Fβ0，F(xiàn)α0≤α0．

令 Fβ0=β1，v=β0－β1，由算子 F 的定義

再注意到β0是上解，由上解的定義可知

即－v″－Nv≥0．

再由引理 1．3，有 v(t)≤0，即 β0－β1=β0－Fβ0≤0，從而 β0≤Fβ0．

類似地，可證 Fα0≤α0．由以上證明及(C2)可得

再由{βn}，{αn}F(［β0，α0］)，易知{βn}，{αn}是單調(diào)序列，且為相對緊集，由引理1．4可知存在u*，u*∈C(I)，使得 βn→u*，αn→u*(n→!)．

由 F 的連續(xù)性，u*=Fu*，u*=Fu*(n→!)，故u*、u*為F的不動點．

下證u*、u*分別是邊值問題(1)在D中的最小解和最大解．

假設(shè) w∈［β0，α0］是 F 的不動點，則 β0≤w≤α0．由于 F 為增算子，則有 Fβ0≤Fw≤Fα0，即 β1≤w≤α1，依次可知 βn≤w≤αn．不等式兩端取極限，結(jié)合引理1．5，可得 u*≤w≤u*，即 u*、u*分別是算

3 主要結(jié)論

子F的最小不動點和最大不動點，因此，u*、u*分別是邊值問題(1)的最小解和最大解．證畢．

定理 2．2 假設(shè)(C1)和(C2)成立，且f滿足:(C3)存在常數(shù) X且 0＜X＜N，若 R≥N，有f(t，x)－f(t，y)≥X(x－y);

(C4)存在常數(shù)X且 N－R＜X＜N，若 R＜N，有 f(t，x)－f(t，y)≥X(x－y)．

則邊值問題(1)在 C(I)∩［β0，α0］中具有唯一解．

證明 只需證明算子 F在 C(I)∩［β0，α0］中具有唯一不動點．根據(jù)假定，得

于是，由壓縮映像原理知F在C(I)∩［β0，α0］中具有唯一不動點．證畢．

本文研究反序上下解條件下二階多點邊值問題解的存在性和唯一性．根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，定義了算子F，當(dāng)算子F映序區(qū)間入序區(qū)間時，利用反序上下解方法研究該類問題不動點的存在性．引入增算子，給出單調(diào)迭代序列，證明了最大解和最小解的存在性，并運用壓縮映像原理討論解的唯一性．