擬凸優(yōu)化問題近似解的最優(yōu)性條件

徐智會， 陳瑞婷， 高 英

(重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶401331)

凸性在最優(yōu)性理論、數(shù)理經(jīng)濟和工程技術(shù)中有極其重要的作用．自20世紀60年代以來，凸函數(shù)的概念已被推廣到不同類型的廣義凸函數(shù)，并在廣義凸性條件下，研究其最優(yōu)性和對偶理論［1－20］，例如擬凸函數(shù)［1］和 E－凸函數(shù)［2］等．其中，擬凸函數(shù)作為一類特殊的廣義凸函數(shù)，在經(jīng)濟學領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．Mangasrian［1］提出擬凸和偽凸的概念并研究其性質(zhì)．楊新民等［3－5］介紹了擬凸函數(shù)的某些特殊性質(zhì)．對于凸函數(shù)來說，次微分是給出凸優(yōu)化問題最優(yōu)性條件的基本工具，這方面的結(jié)果已經(jīng)非常成熟．針對擬凸函數(shù)，文獻［1］介紹了 Greenberg－Pierskalla次微分、星型次微分、Gutiérrez次微分和Plastria次微分的概念，并研究了它們的性質(zhì)．在此次微分的基礎(chǔ)上，很多學者開始研究擬凸優(yōu)化問題解的最優(yōu)性條件［7－12］．但擬凸優(yōu)化問題近似解的最優(yōu)性條件研究至今并未涉及．注意到最優(yōu)化問題近似解理論研究的重要性，本文在擬凸函數(shù)4種次微分的基礎(chǔ)上，提出擬凸函數(shù)4種近似次微分的概念，從而利用近似次微分給出擬凸數(shù)值優(yōu)化問題近似解的最優(yōu)性必要和充分條件．

1 預(yù)備知識

則稱f為S上的凸函數(shù)．

定義 1．2［5］若 f(x)在 S 上滿足x，x∈S，

12

則稱f為S上的擬凸函數(shù)．

本文考慮如下擬凸優(yōu)化問題

嚴格下水平集為

定義 1．3［19］當f為凸函數(shù)時，次微分定義為

定義 1．4［6］擬凸函數(shù) f:SR，在 x處的

0Greenberg－Pierskalla次微分定義為

星型次微分定義為

Gutiérrez次微分定義為

Plastria下次微分定義為

由定義可知

并且當f在［f＜f(x0)］上是上半連續(xù)時，有

定義 1．5［19］集合C在x0處的法錐定義為

定義 1．6 設(shè) ε≥0，x0∈S，若 f(x0)－ε≤f(x)，x∈S，稱 x0為問題(1)的 ε－近似解．

定義 1．7 設(shè) δ＞0，ε≥0，x0∈S，f:X→R，若存在 x0的一個鄰域內(nèi) U(x0，δ)，使得 x0為 f在U(x0，δ)上的ε－近似解，則稱x0為f在X上的局部ε－近似解．

為了給出問題(1)近似解的最優(yōu)性條件，定義擬凸函數(shù)f的近似水平集和近似次微分的概念．

定義 1．8 設(shè) ε≥0，x0∈S，f的近似下水平集為

嚴格近似下水平集為

定義 1．9 設(shè) ε≥0，x0∈S，擬凸函數(shù) f的 2種近似次微分定義為

注 1．1 當［f＜f(x0)－ε］=?時，規(guī)定*εf(x0)=X*．

定義 1．10［10］設(shè) ε≥0，集合 C 在 x0處的近似法錐定義為

當集合C=［f＜f(x0)－ε］時，○＊εf(x0)=Nε(C，x0)．對應(yīng)于定義 1．4 中的＜f(x0)和≤f(x0)，可定義如下近似次微分．

由定義可知

當ε=0時，上述4種次微分分別可退化到定義1．4中4種次微分，且(2)式可退化為文獻［8］中的如下關(guān)系

當 ε＞0時，有

注1．2 在文獻［8］中給出結(jié)論，當f是凸函數(shù)時，若x0不是f在X上的最優(yōu)解，且 R+(dom f－x0)=X，則有*f(x0)=(0，+∞ )f(x0)，即y∈*f(x0)，存在 λ∈(0，+∞)，y1∈f(x0)，有 y=λy1．對于給出的擬凸函數(shù)的近似次微分*εf(x0)和凸函數(shù)的 ε－次微分εf(x0)，當 ε＞0時，在無任何條件下，關(guān)系式(0，+∞)εf(x0)∈*εf(x0)成立，事實上，對任意的 t＞0，x0∈X，x0*∈εf(x0)，由定義有

故對任意的 x∈［f＜f(x0)－ε］有

即tx*0∈*εf(x0)，故(0，+∞)εf(x0)∈*εf(x0)．但反包含關(guān)系在條件x0不是f在X上的最優(yōu)解，且R+(dom f－x0)=X 下，*εf(x0)∈(0，+∞)ε×f(x0)也不一定成立，見如下例子．

2

注 1．3 與注1．2說明類似，有再結(jié)合(2)式有

注 1．4 當 ε=0 時，有 R+＜f(x0)=*f(x0)［6］，但當 ε＞0 時，只能保證 R+ε＜f(x0)∈*εf(x0)．事實上，因為對任意的y0*∈＜εf(x0)，由定義有

從而對任意的t≥0有

故ty0*∈*εf(x0)，即 R+＜εf(x0)∈*εf(x0)．但反包含關(guān)系不一定成立．例如 f(x)=x，取 x0=0，ε=1時有

引理 1．1［7］設(shè)A、B 是 X 中的非空凸子集，若A∩B=?，則存在超平面分離A和B．

2 擬凸優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件

本節(jié)在給出近似水平集與近似次微分的基礎(chǔ)上，給出問題(1)近似解的最優(yōu)性條件．

定理 2．1 設(shè) x0∈S，ε≥0，若

且〈y0*，x－x0〉［－ε，ε］，x∈Sx0，則 x0為問題(1)上的ε－近似解．

證明 設(shè)x0不是問題(1)的ε－近似解，則存在x∈Sx0，使得f(x) ＜ f(x0)－ ε，故由y*0∈*εf(x0)有〈y*0，x － x0〉＜ ε，又因為 y*0∈－Nε(S，x0)，故有〈y*0，x－x0〉≥－ε，從而有

這與條件矛盾．因此x0為問題(1)上的ε－近似解．推論 2．1 設(shè) x0∈S，ε≥0，若任意的

有〈y0*，x－x0〉［－ε，ε］，x∈Sx0，則 x0是問題(1)的ε－近似解．

由定理2．1得x0是問題(1)的ε－近似解．

推論 2．2 設(shè) x0∈S，ε≥0，f在［f＜f(x0)－ε］上是上半連續(xù)函數(shù)，若

使得〈y*0，x－x0〉［－ε，ε］，x∈Sx0，則 x0是問題(1)的ε－近似解．

證明 與定理2．1的證明類似．

推論 2．3 設(shè) x0∈S，ε≥0，f在［f≤f(x0)－ε］上是上半連續(xù)函數(shù)，若

使得〈y*0，x－x0〉［－ε，ε］，x∈Sx0，則 x0是問題(1)的ε－近似解．

由推論2．2得x0是問題(1)的ε－近似解．

注 2．5 定理 2．1、推論 2．1～2．3 的逆命題不一定成立，見如下例子．

下面符合定理 2．1、推論 2．1～2．3 中的〈y*0，x－x0〉［－1，1］:

但是定理 2．1、推論 2．1～2．3 中的逆命題并不一定成立．取x0=0，ε=1時，經(jīng)計算得x0是問題(1)的ε－近似解．下面不滿足定理 2．1、推論 2．1～2．3 中的〈y0*，x－x0〉［－ε，ε］:

定理2．2 設(shè) ε≥0，x0是問題(1)的 ε－近似解，但x0不是f在全空間X上的局部ε－近似解，f在［f＜f(x0)－ε］是上半連續(xù)的，則存在 y*0∈X{0}，使得

證明 令G=［f＜f(x0)－ε］，x0是問題(1)的ε－近似解，則．顯然 S∩G=?，又由f的擬凸性及 f在是上半連續(xù)的，知 G為開凸集，S也為凸集．由引理1．1可知，存在y0*∈X*{0}，r∈R，使得

在(3)式右端取 ω=x0，則〈y0*，μ－x0〉≤r≤0≤ε，μ∈G，這表明y*0∈*εf(x0)．

另一方面，x0不是f在全空間X上的局部ε－近似解，存在{μn}G，使得 μn→x0．由(3)式左邊可知，再由 μn→x0可知r≥0，所以r=0．從而(3)式右端退化為

即〈－y0*，ω－x0〉≤0≤ε，則 y*0∈(－Nε(S，x0))．結(jié)合前面結(jié)果有y*0∈*εf(x0) ∩ (－ Nε(S，x0))．

下面的例子說明x0不是f在全空間X上的局部ε－近似解這一條件必不可少．

S=R，取 x0=0，ε=，則x是f在S上的近似解，f

0也是在全空間X上的局部 ε－近似解，且 f在［f＜f(x0)－ε］是上半連續(xù)的．經(jīng)計算

推論 2．4 設(shè) x0∈S，ε≥0，f在［f＜f(x0)－ε］上是上半連續(xù)，f在 x0處 G－可微，若對x∈Sx0，有－f'(x0)∈－Nε(S，x0)且〈－f'(x0)，x－x0〉［－ε，ε］，則x0是問題(1)上的ε－近似解．

證明 顯然－f'(x0)∈○＊εf(x0)，于是滿足推論2．1 的條件，證畢．

定理 2．3 設(shè) ε≥0，x0∈S，f在 X 上的局部ε－近似解是全局 ε－近似解．令 inf(S)＞inf(X)+ε，f在［f＜inf(S)－ε］上是上半連續(xù)的，則≤εf(x0)=＜εf(x0)．

＜f (x0)∈≤εf(x0)．對任意的 y*0∈＜εf(x0)，由定義得

任取 x∈［f≤f(x0)－ε］，由上式可知，只需證明:當f(x)=f(x0)－ε時有

事實上，由條件inf(S)＞inf(X)+ε可知，x0不是f在X上的全局ε－近似解，從而由條件可知x0不是f在X 上的局部 ε－近似解．取 xn→x，使得 f(xn)＜f(x0)－ε，則有

因為f在［f＜inf(S)－ε］上是上半連續(xù)的，故上式兩端取極限得

綜上可知 y*0∈≤εf(x0)．證畢．

當ε＞0時，以上結(jié)論不能推廣到ε－近似解．事實上，在例 2．2 中，S0=［－1，0］，取 C=S=［－1，1］，則 C∩S0=［－1，0］．當 x0=0 時，有

當 x1=－1時，有

這表明，對于 x0，x1∈C∩S0，

3 結(jié)論

本文針對擬凸函數(shù)給出了4種近似次微分的概念，研究了它們之間的關(guān)系．利用近似次微分給出了擬凸優(yōu)化問題近似解的必要和充分條件，并通過實例說明其合理性．在本文基礎(chǔ)上，還可以將擬凸數(shù)值優(yōu)化問題推廣到多目標擬凸優(yōu)化問題，利用近似次微分研究近似弱有效解、近似有效解的充分必要條件和對偶理論．