基于隨機(jī)波動(dòng)率條件下三叉樹模型的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)研究

諸興鵬

摘要：如何對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)是債券發(fā)行人及投資者都關(guān)注的問題。目前將隨機(jī)波動(dòng)率與三叉樹模型相結(jié)合，對(duì)可贖回可回售可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)的研究還很少。本文將Heston模型的隨機(jī)波動(dòng)率路徑與三叉樹模型相結(jié)合，推導(dǎo)出隨機(jī)波動(dòng)率條件下三叉樹模型在可贖回可回售可轉(zhuǎn)換債券中的定價(jià)過程，再以鼎信轉(zhuǎn)債數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。結(jié)果表明，隨機(jī)波動(dòng)率條件下的三叉樹模型更貼近實(shí)際，其計(jì)算精度高于傳統(tǒng)的定價(jià)模型。

關(guān)鍵詞：Heston模型 ?三叉樹模型 ?可轉(zhuǎn)換債券 ?定價(jià)方法

隨著中國(guó)資本市場(chǎng)的發(fā)展，上市公司融資手段逐漸豐富，目前主要通過增資擴(kuò)股和發(fā)行企業(yè)債券進(jìn)行再融資。但目前股票市場(chǎng)相對(duì)低迷，經(jīng)濟(jì)下行壓力增加，投資者對(duì)新股的認(rèn)購(gòu)積極性有所下降;若是購(gòu)買債券，可能又擔(dān)心違約風(fēng)險(xiǎn)。在此情況下，上市公司通過發(fā)行新股和企業(yè)債券進(jìn)行融資的難度有所增加。可轉(zhuǎn)換債券作為一種兼具股性與債性的混合金融產(chǎn)品，很適合作為當(dāng)前形勢(shì)下的再融資工具。

可轉(zhuǎn)換債券是由公司發(fā)行的債券，債券持有人有權(quán)在未來某些時(shí)刻將債券轉(zhuǎn)換為公司股票。因此，可轉(zhuǎn)換債券也可被視為一種內(nèi)嵌股票看漲期權(quán)的金融產(chǎn)品。為防止公司股票突然暴漲導(dǎo)致可轉(zhuǎn)換債券的股性收益過大，進(jìn)而增加公司融資成本，債券發(fā)行人在發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券時(shí)大多會(huì)內(nèi)嵌一個(gè)贖回權(quán)，即債券發(fā)行人有權(quán)在某些條件下按事先約定的價(jià)格向債券持有人購(gòu)買其所持有的債券。此外，為更好地吸引投資者，還可將債券內(nèi)嵌一個(gè)回售權(quán)，即債券持有人有權(quán)在某些條件下按照約定的價(jià)格向債券發(fā)行人出售其所持有的債券，從而將投資者的最大損失鎖定在一定范圍內(nèi)。無論是對(duì)于發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行融資的企業(yè)，還是對(duì)于那些要對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行合理估值并以此進(jìn)行投資及決策的投資者來說，債券發(fā)行價(jià)格都至關(guān)重要。因此，對(duì)于可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)進(jìn)行研究是非常必要的。

文獻(xiàn)綜述

在可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)方面，國(guó)內(nèi)外已有很多研究。JohnC.Hull（2014）假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，將股票價(jià)格為零視作公司違約，公司違約概率為 ，以二叉樹方法對(duì)債券進(jìn)行定價(jià)。Ingersoll（1977）提出一種以Morton模型為基礎(chǔ)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)方法，將公司股權(quán)、可轉(zhuǎn)換債券及其他與資產(chǎn)價(jià)值相關(guān)的債券作為資產(chǎn)方面的待定權(quán)益。當(dāng)資產(chǎn)價(jià)值超出負(fù)債價(jià)值時(shí)，債券持有人才能得到全部付款，再運(yùn)用Morton模型得出可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值。在國(guó)內(nèi)學(xué)者中，蔣志遠(yuǎn)、張順明、李江峰（2013）對(duì)付息的可贖回可回售可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行研究，以基于單因子無套利模型的擴(kuò)展Black-Scholes模型（以下“B-S模型”）進(jìn)行定價(jià)研究，并對(duì)確認(rèn)的各參數(shù)進(jìn)行彈性分析。在研究方法上，PhelimBoyle（1986）以上升和下跌對(duì)稱為前提，對(duì)二叉樹模型進(jìn)行改進(jìn)得到三叉樹模型，并進(jìn)行數(shù)值推導(dǎo)。國(guó)內(nèi)學(xué)者多運(yùn)用隨機(jī)波動(dòng)率模型和三叉樹模型進(jìn)行期權(quán)研究，由于三叉樹模型比二叉樹模型更符合實(shí)際，節(jié)點(diǎn)也更多，計(jì)算精度會(huì)高于二叉樹模型。宮文秀、高凌云（2016）運(yùn)用三叉樹模型推導(dǎo)出以金融期權(quán)本身作為標(biāo)的的復(fù)合期權(quán)定價(jià)模型，并對(duì)模型相關(guān)變量進(jìn)行敏感性分析。因此，三叉樹模型適用于對(duì)一些較為復(fù)雜的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。但目前將隨機(jī)波動(dòng)率與三叉樹模型結(jié)合起來，并對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)的研究還很少，多是分別對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率與三叉樹方法的單一研究。武斌、王玉蘭（2016）在隨機(jī)波動(dòng)率和隨機(jī)利率條件下通過風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。何偉康（2017）將波動(dòng)率不確定性與B-S模型相結(jié)合，得出基于B-S模型的可轉(zhuǎn)換債券內(nèi)嵌看漲期權(quán)的解析值。王力（2018）將巨災(zāi)債券與可轉(zhuǎn)換債券相結(jié)合，在二叉樹模型的基礎(chǔ)上研究建立了帶發(fā)行人破產(chǎn)條件的巨災(zāi)可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型。謝百帥、張衛(wèi)國(guó)、廖萍康、陳雅娜（2013）在三叉樹模型的基礎(chǔ)上研究建立了帶破產(chǎn)違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型，并比較了有效差分法與三叉樹法在可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)方面的效果。研究發(fā)現(xiàn)，三叉樹法在定價(jià)效率方面更有優(yōu)勢(shì)。由此可見，對(duì)于可轉(zhuǎn)換債券的研究不僅有利于上市公司融資，還有利于中國(guó)金融市場(chǎng)的發(fā)展。

可贖回可回售可轉(zhuǎn)換債券模型設(shè)計(jì)

（一）可贖回可回售可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)機(jī)制

在進(jìn)行可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)時(shí)，要考慮三個(gè)參數(shù)：贖回價(jià)格 、轉(zhuǎn)換價(jià)格 、回售價(jià)格 。此外，下文中T為債券期限， 為股票價(jià)格，M為轉(zhuǎn)股數(shù)。

可贖回可回售可轉(zhuǎn)換債券是一個(gè)內(nèi)嵌贖回權(quán)、回售權(quán)、股票看漲期權(quán)的混合金融產(chǎn)品。贖回權(quán)基于債券發(fā)行人可按約定價(jià)格 向債券持有人購(gòu)買債券的約定，債券持有人持有的債券價(jià)值為 。回售權(quán)指?jìng)钟腥丝砂醇s定價(jià)格 向債券發(fā)行人出售債券，債券持有人持有的債券價(jià)值為 。內(nèi)嵌的股票看漲期權(quán)是指當(dāng)股票價(jià)格高于轉(zhuǎn)換價(jià)格時(shí)，債券持有人將可轉(zhuǎn)換債券全部轉(zhuǎn)換為股票，債券價(jià)值為 。同時(shí)，考慮贖回權(quán)與回售權(quán)，當(dāng)股票價(jià)格上漲至 時(shí)，債券價(jià)值為 ;當(dāng)股票價(jià)格上漲至 時(shí)，債券價(jià)值為 ;當(dāng) ，債券價(jià)值等于可轉(zhuǎn)換債券的債性價(jià)值;當(dāng)股票價(jià)格下跌至 時(shí)，若債券持有人將持有的債券全部出售給發(fā)行人，則債券價(jià)值鎖定為 。

（二）隨機(jī)波動(dòng)率條件下的三叉樹模型

傳統(tǒng)的B-S模型假設(shè)波動(dòng)率為常數(shù)，而實(shí)際上波動(dòng)率是隨時(shí)間變化的函數(shù)。J.C.Hull和A.White將B-S的方差率改為期權(quán)期限內(nèi)方差率的均值，并證明當(dāng)波動(dòng)率隨機(jī)并與資產(chǎn)價(jià)格無關(guān)時(shí)，歐式期權(quán)價(jià)格等于B-S模型價(jià)格以平均方差率在期權(quán)期限內(nèi)分布上的積分，并給出了級(jí)數(shù)形式的近似解，這也意味著期權(quán)期限內(nèi)的平均方差率依舊服從風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，可將平均方差率視為標(biāo)的資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)中隨時(shí)間變化的隨機(jī)波動(dòng)率。Heston則給出了隨機(jī)波動(dòng)率模型的解析結(jié)果。本文所用隨機(jī)波動(dòng)率路徑即為Heston模型的波動(dòng)率路徑。

Heston模型中波動(dòng)率滿足：

Euler-Maruyama離散化處理結(jié)果為：

其中， 為標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)波動(dòng)率， 為波動(dòng)率的均值回歸速度， 為波動(dòng)率均值， 為波動(dòng)率的波動(dòng)率， 與 為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， 為 與 的相關(guān)系數(shù)。

可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)過程可視為對(duì)一個(gè)美式看漲期權(quán)的定價(jià)。目前，學(xué)界對(duì)美式看漲期權(quán)的定價(jià)主要通過擴(kuò)展的B-S模型和二叉樹模型實(shí)現(xiàn)。本文所用的三叉樹模型是對(duì)二叉樹模型的一種擴(kuò)展。在二叉樹模型中，樹形的每個(gè)節(jié)點(diǎn)上資產(chǎn)價(jià)格的變化僅為上升和下降兩種，而實(shí)際上資產(chǎn)價(jià)格的變化還會(huì)有不變的情形。三叉樹模型就是考慮在資產(chǎn)價(jià)格不變的情形下，將未來資產(chǎn)價(jià)格變化分為上升、不變、下降三種情況，這樣劃分將更加符合實(shí)際。此外，在考慮 為時(shí)間函數(shù)的這一更符合實(shí)際的情形下，使用三叉樹模型來計(jì)算可以使計(jì)算結(jié)果更為精確。

在使用隨機(jī)波動(dòng)率條件下的三叉樹模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，首先假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。在每段時(shí)間 后，價(jià)格上漲、價(jià)格不變、價(jià)格下跌的概率分別為 ，上漲幅度和下跌幅度分別為 和 。

參數(shù) 要確保波動(dòng)率相吻合，隨機(jī)波動(dòng)率是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，確認(rèn)隨機(jī)波動(dòng)率需要進(jìn)行大量計(jì)算。因此，本文運(yùn)用蒙特卡羅模擬法確定隨機(jī)波動(dòng)率 。 蒙特卡羅估計(jì)為：

將方程組求解結(jié)果利用泰勒展開式進(jìn)行化簡(jiǎn)，其結(jié)果為：

三叉樹模型計(jì)算結(jié)果的精確性依賴于步數(shù)。以步數(shù)和上漲下跌幅度生成樹的節(jié)點(diǎn)，從樹尾倒推至樹的起點(diǎn)，在每一節(jié)點(diǎn)上都需要計(jì)算行權(quán)價(jià)值與繼續(xù)持有的價(jià)值?？哨H回可回售可轉(zhuǎn)換期權(quán)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上除計(jì)算轉(zhuǎn)換價(jià)值與持有價(jià)值外，還需判斷是否已符合贖回和回售條件。為更詳細(xì)地說明定價(jià)過程，本文在此考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的兩步三叉樹過程：

令可轉(zhuǎn)換債券面值為100，票面利率為 ，無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，年限為兩年，每一步代表1年。將可轉(zhuǎn)換債券視為一個(gè)美式看漲期權(quán)，則在三叉樹每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上都需要考慮股票價(jià)格 與贖回價(jià)格 、轉(zhuǎn)換價(jià)格 、回售價(jià)格 的關(guān)系。假設(shè)： ，由于考慮付息因素，則在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，以債券不被轉(zhuǎn)換為前提來計(jì)算債券價(jià)值，未來債券所需支付券息的貼現(xiàn)值都應(yīng)被考慮在內(nèi)。例如，當(dāng)價(jià)格在第一步上漲至 時(shí)，在這一時(shí)點(diǎn)上的債券價(jià)值為 ，這一價(jià)值低于 ，債券不會(huì)被贖回;但當(dāng)這一時(shí)點(diǎn)上的股票價(jià)格高于贖回價(jià)格、轉(zhuǎn)換后的價(jià)值大于債券不被轉(zhuǎn)換的價(jià)值時(shí)，則債券將被強(qiáng)制贖回，這一時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值將是 。最后，對(duì)樹形結(jié)構(gòu)進(jìn)行倒推得到債券價(jià)格K，再將節(jié)點(diǎn)上的價(jià)值與券息以無風(fēng)險(xiǎn)利率r進(jìn)行貼現(xiàn)。

實(shí)證分析

本文分別選取鼎信通訊在2016年10月11日至2018年12月19日期間每個(gè)交易日的收盤價(jià)，以及鼎信轉(zhuǎn)債在2018年10月22日至2018年12月19日期間每個(gè)交易日的收盤價(jià)，對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率條件下的三叉樹模型在可轉(zhuǎn)換債券上的定價(jià)進(jìn)行實(shí)證分析。

為說明波動(dòng)率在實(shí)務(wù)中是隨時(shí)間變化的函數(shù)，本文選擇隨機(jī)波動(dòng)率來描述股票的波動(dòng)性而非假定波動(dòng)率為常數(shù)，這樣更具合理性，再運(yùn)用SPSS軟件對(duì)鼎信通訊股票價(jià)格及其對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析。圖1是鼎信通訊股價(jià)、對(duì)數(shù)收益率的正態(tài)Q-Q圖以及顯示正態(tài)曲線的直方圖。由圖1可見，鼎信通訊股價(jià)和對(duì)數(shù)收益率存在明顯的尖峰厚尾特征。圖2為對(duì)鼎信通訊股價(jià)與對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行K-S檢驗(yàn)后得到的結(jié)果。結(jié)果顯示，鼎信通訊股價(jià)與對(duì)數(shù)收益率的雙側(cè)顯著性均小于0.05，表明其分布不服從正態(tài)分布。因此，常數(shù)波動(dòng)率無法充分刻畫鼎信通訊的動(dòng)態(tài)性，使用隨機(jī)波動(dòng)率可以更好地進(jìn)行定價(jià)研究。

本文以連續(xù)計(jì)算復(fù)利的上海銀行間同業(yè)拆借利率（Shibor）作為無風(fēng)險(xiǎn)利率。對(duì)于隨機(jī)波動(dòng)率 選擇M=2000的蒙特卡羅模擬估計(jì)結(jié)果。模型所用參數(shù)見表1。

在模型中，債券期限為5年。為方便計(jì)算，以五步三叉樹模型進(jìn)行定價(jià)。由于模型計(jì)算結(jié)果是完整的5個(gè)年度的可轉(zhuǎn)換債券價(jià)格，而鼎信轉(zhuǎn)債上市已有一段時(shí)間，其價(jià)值并不是完整的5個(gè)年度價(jià)值，因此還需對(duì)鼎信轉(zhuǎn)債的價(jià)格進(jìn)行修正。以鼎信轉(zhuǎn)債價(jià)格加上債券發(fā)行日現(xiàn)值與當(dāng)日現(xiàn)值的差額作為債券實(shí)際價(jià)值，再分別以B-S模型、二叉樹模型和隨機(jī)波動(dòng)率條件下的三叉樹模型對(duì)鼎信轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)。定價(jià)結(jié)果見表2（考慮到篇幅，本文僅展示2018年10月22日至2018年11月26日的部分?jǐn)?shù)據(jù)）。

均方誤差可反映估計(jì)量與被估計(jì)量之間的差異度，是評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)的最一般標(biāo)準(zhǔn)。均方誤差越小，代表估計(jì)量與被估計(jì)量之間的差異度越小。本文在此通過比較運(yùn)用不同模型計(jì)算所得價(jià)格的均方誤差，得到可靠性最強(qiáng)的模型價(jià)格（見表3）。

由表3可見，本文運(yùn)用隨機(jī)波動(dòng)率條件下的三叉樹模型計(jì)算所得可轉(zhuǎn)換債券價(jià)格的均方誤差為0.915409，分別小于二叉樹模型下的均方誤差1.584981和B-S模型下的均方誤差1.094625。這說明運(yùn)用隨機(jī)波動(dòng)率條件下的三叉樹模型對(duì)可贖回可回售可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)更符合實(shí)際，其測(cè)量精度要高于傳統(tǒng)的定價(jià)模型。

結(jié)論

本文通過將隨機(jī)波動(dòng)率與三叉樹模型相結(jié)合，對(duì)可贖回可回售可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)，并以鼎信轉(zhuǎn)債數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)其定價(jià)結(jié)果更加精確，這也證明了這一定價(jià)方法優(yōu)于傳統(tǒng)的二叉樹模型和B-S模型。

可轉(zhuǎn)換債券兼具股性與債性特征，是一種有效的再融資工具，具有較大的發(fā)展空間。但上市公司在發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行再融資時(shí)，應(yīng)注意發(fā)行規(guī)模及發(fā)行時(shí)機(jī)的選擇。張松（2018）通過對(duì)37家上市公司發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券后一段時(shí)間內(nèi)股價(jià)變動(dòng)的研究發(fā)現(xiàn)，在中國(guó)、美國(guó)、英國(guó)等金融監(jiān)管體系健全的國(guó)家，可轉(zhuǎn)換債券的發(fā)行對(duì)公司股價(jià)具有顯著的負(fù)向影響，且發(fā)行規(guī)模越大，對(duì)二級(jí)市場(chǎng)的沖擊越大，股價(jià)下降幅度也越大。因此，上市公司在選擇發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行再融資時(shí)，應(yīng)選擇合理的發(fā)行規(guī)模和發(fā)行時(shí)機(jī)。一般來說，應(yīng)選擇在股票市場(chǎng)上漲階段發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券。對(duì)于投資者來說，可在股市低迷的情況下利用本文所述模型對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行合理估值，從而挑選出價(jià)值被嚴(yán)重低估的可轉(zhuǎn)換債券。

作者單位：新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院

責(zé)任編輯：周舟? 印穎

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