淺析地球經(jīng)緯網(wǎng)和單位經(jīng)緯線長度

任正瑛

摘 要：單位經(jīng)線長度是指經(jīng)線跨越每1度、每1分、每1秒緯度的長度，單位緯線長度是指緯線跨越每1度、每1分、每1秒經(jīng)度的長度。了解地球經(jīng)緯度的定義和性質(zhì)，在標(biāo)準(zhǔn)球體模型中我們很容易掌握地球經(jīng)緯網(wǎng)的特征和性質(zhì)，并推算出地球單位經(jīng)緯線的長度。但地理學(xué)中的經(jīng)緯度，是以特殊的角度來定義的，經(jīng)緯線的真實(shí)長度受到地球真實(shí)形狀和地形的影響，因此，在不同的地球坐標(biāo)系中，地球的單位經(jīng)緯線長度并不相等。地球上，不同地點(diǎn)的單位經(jīng)緯線長度變化遵循什么規(guī)律，值得地理學(xué)愛好者認(rèn)真研究和探討。

關(guān)鍵詞：地球;經(jīng)緯度;經(jīng)緯線;長度

一、地球經(jīng)緯線和經(jīng)緯度概述

1、地球經(jīng)線和經(jīng)度

經(jīng)線也稱子午線，是人們?yōu)榱朔奖愦_定地理位置而假設(shè)出來的，指示南北方向的輔助線。高中地理教材中是這樣描述經(jīng)線和經(jīng)度的：經(jīng)線是地球表面連接南北兩極的大圓線上的半圓弧;任兩根經(jīng)線的長度相等，相交于南北兩極點(diǎn);每一根經(jīng)線都有其相對應(yīng)的數(shù)值，稱為經(jīng)度。1884年的國際地理大會(huì)將經(jīng)過格林尼治天文臺(tái)的經(jīng)線定為經(jīng)度的起點(diǎn)，即“本初子午線”，本初子午線以東叫東經(jīng)，本初子午線以西叫西經(jīng);將東經(jīng)180°（與西經(jīng)180°重合），定為“國際日期變更線”，該線兩側(cè)日期相差一日;東經(jīng)用“E”表示，西經(jīng)用“W”表示，每條東經(jīng)線與背面的一條西經(jīng)線共同構(gòu)成一條經(jīng)線圈，經(jīng)度之和為180°。每一度經(jīng)度分為60分，每一分分為60秒;不同的經(jīng)線具有不同的地方時(shí)，偏東的地方時(shí)要比較早，偏西的地方時(shí)要遲。地理學(xué)里，經(jīng)度的標(biāo)準(zhǔn)定義是：通過某地的經(jīng)線面與本初子午面所成的二面夾角。如圖1中，甲、丙同處在東經(jīng)20°經(jīng)線面上，經(jīng)度均為20°W。

2、地球緯線和緯度

緯線也是為了方便確定地理位置而假設(shè)出來的，指示東西方向輔助線。它是地球表面某點(diǎn)隨地球自轉(zhuǎn)所形成的軌跡，它們都相互平行，并與經(jīng)線垂直。緯線的長度不等，赤道為最長的緯線，從赤道向兩極緯線圈逐漸縮小，到南、北兩極縮小為點(diǎn)。每一根緯線都有其相對應(yīng)的數(shù)值，稱為緯度。地理學(xué)里，緯度的標(biāo)準(zhǔn)定義是：過球面上某點(diǎn)作法線（與地面垂直的線），緯度是該法線與赤道平面的線面角（線與面的夾角），其數(shù)值在0至90度之間。位于赤道以北的緯線叫北緯，記為N;位于赤道以南的點(diǎn)的緯度稱南緯，記為S，起點(diǎn)面是赤道平面，北緯度的最大值為90°N，即北極點(diǎn)，南緯度的最大值為90°S ，即南極點(diǎn)。赤道、南回歸線、北回歸線、南極圈和北極圈是特殊的緯線。如圖1中，甲、乙的地面法線與赤道平面的夾角均為40°，緯度均為40°N。（如圖1）

3、地球經(jīng)緯網(wǎng)

經(jīng)度和緯度都是一種角度。經(jīng)度是經(jīng)線平面與本初子午線平面之間的夾角，緯度是與地面法線與赤道平面之間的夾角。在地球儀上，由經(jīng)線和緯線組成了經(jīng)緯網(wǎng)，覆蓋全球。將經(jīng)緯網(wǎng)地球儀展開，就形成了一幅展開的平面地圖，各地顯示比例與圖1的投影圖相比是有差別的。利用圖中確定的地理坐標(biāo)體系，人們可以確定地球任意一點(diǎn)的方向和位置，便于精確定位（如圖2）。

如果將地球視作標(biāo)準(zhǔn)的球體，地面某點(diǎn)的經(jīng)度等于球心連線和本初子午線平面的夾角;地面某點(diǎn)的緯度等于球心連線和赤道平面之間的夾角，此時(shí)的地球經(jīng)緯網(wǎng)具有如下特點(diǎn)：

（1）一個(gè)經(jīng)度和一個(gè)緯度一起確定地球上一個(gè)地點(diǎn)的精確位置。

（2）所有的經(jīng)線圈都是一樣長，且等于地球赤道周長。

（3）赤道是緯度的起點(diǎn)，也是最長的緯線，其長度向兩極逐漸縮短，直到兩極點(diǎn)的緯線長度為零。

（4）由于一個(gè)地點(diǎn)的經(jīng)度一般與它于協(xié)調(diào)世界時(shí)之間的時(shí)差相應(yīng)，每天有24小時(shí)，而一個(gè)圓圈有360度，因此地球每小時(shí)自轉(zhuǎn)15度，經(jīng)線每相隔15度，地方時(shí)相差1小時(shí)。通過對地方時(shí)的測量，一個(gè)人可以算得出他所在的地點(diǎn)的經(jīng)度，為了計(jì)算這個(gè)數(shù)據(jù)，他需要一個(gè)指示協(xié)調(diào)世界時(shí)的鐘和需要觀察對太陽經(jīng)過子午圈的時(shí)間。

二、標(biāo)準(zhǔn)球體下的經(jīng)緯線長度和單位經(jīng)緯線長度

1、標(biāo)準(zhǔn)球體下的經(jīng)緯線長度

我們知道，地球的平均半徑為6371公里，將地球視為標(biāo)準(zhǔn)球體，根據(jù)圓的周長公式，我們很容易算赤道的長度約為40030公里（真實(shí)的赤道周長約為40075公里）。由于地球緯度長度由赤道向兩極逐漸減小，因此，地球赤道兩側(cè)的其它緯線周長小于赤道周長，且相距赤道越遠(yuǎn)周長越小。

如圖3左側(cè)所示，我們將經(jīng)過B點(diǎn)的水平圓弧定義為赤道，它的理論長度為40030公里，將經(jīng)過A點(diǎn)的圓弧定義為目標(biāo)緯線，AB處在同一條經(jīng)線上（即AB垂直于A、B兩點(diǎn)處在的緯度），連接AO和BO，AO垂直于地面，A點(diǎn)的緯度值即為AO與BO之間的夾角θ。用OAB平面截出地球剖面圖如圖3右側(cè)所示，OB為赤道的半徑，AO為經(jīng)過A點(diǎn)緯線的半徑，可知：AO∥OB，∠AOO=90°，OA=OB，所以AO=OAcosθ= OBcosθ。根據(jù)周長公式C=2πr，經(jīng)過A的緯線長度為“赤道周長×cosθ”，所以：過A點(diǎn)緯線周長等于赤道周長乘以A點(diǎn)緯度的余弦。

將地球視為標(biāo)準(zhǔn)球體，根據(jù)經(jīng)線的定義，可以判斷每一條經(jīng)線圈的長度相等，每條經(jīng)線等于赤道周長的一半，即約等于20015公里。

2、標(biāo)準(zhǔn)球體下的單位經(jīng)緯線長度

（1）跨單位緯度的經(jīng)線長度（簡稱單位經(jīng)線長度），即經(jīng)線跨越每1度（或每1分、每1秒等）緯度的長度。如圖1所示的地球經(jīng)緯度，甲、丙兩點(diǎn)處在同一條經(jīng)線上，且兩點(diǎn)緯度跨40度，單位緯度長度是指甲丙之間每相距1個(gè)單位緯度產(chǎn)生的距離。我們知道標(biāo)準(zhǔn)球體模型下，經(jīng)線的長度是相等的，那么單位緯度長度也很方便計(jì)算，即用經(jīng)線總長乘以一定的均分系數(shù)即可，如下表所示。

（2）跨單位經(jīng)度的緯線長度（簡稱單位緯線長度），即緯線跨越每1度（或每1分、每1秒等）經(jīng)度的長度。如圖1所示的地球經(jīng)緯度，甲、乙兩點(diǎn)處在同一條緯線上，且兩點(diǎn)經(jīng)度跨40度，單位緯線長度是指甲乙之間每相距1個(gè)單位經(jīng)度產(chǎn)生的距離。由于緯線長度南北半球?qū)ΨQ相等，且與緯度的余弦值成正比，通過查余弦值表，可以計(jì)算出不同緯度的緯線長度，再乘以一定的均分系數(shù)，即可算出不同緯度地區(qū)單位經(jīng)度的緯線長度。下表列出了幾個(gè)代表性緯線上單位經(jīng)度的緯線長度。

三、地球?qū)嶋H情況的復(fù)雜性

人類很早就知道了地球呈球形。2000年多年前，亞里士多德通過觀察不同地區(qū)北極星的位置，發(fā)現(xiàn)大地是弧形的;1519至1522年，葡萄牙人麥哲倫的船隊(duì)完成了人類歷史上第一次環(huán)球航行，它以無可辯駁的事實(shí)向全人類證明了地球是球形的說法。但是地球并非是規(guī)則的球形，這一點(diǎn)直到大地測量術(shù)取得發(fā)展后，才慢慢被發(fā)現(xiàn)，而這一結(jié)果的發(fā)現(xiàn)與測量單位經(jīng)緯度的長度有關(guān)。我國唐代杰出天文學(xué)家一行和尚，在世界上首次推算出單位經(jīng)線長度（當(dāng)時(shí)的測量結(jié)果比真實(shí)情況稍有偏差），1730年，西方科學(xué)界根據(jù)各地測量的單位經(jīng)緯線長度并不一致，對地球的真正形狀產(chǎn)生了爭論，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家莫佩爾蒂運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，在恩師約翰·伯努利的悉心指導(dǎo)下，論定地球不可能是標(biāo)準(zhǔn)球體，而是近扁球形的。他的學(xué)術(shù)對手法國天文學(xué)家雅克·卡西尼則認(rèn)為地球是長球形的。為了平息這場爭論，1736年，他們同時(shí)率領(lǐng)一支遠(yuǎn)征隊(duì)去北極附近和赤道附近測量單位經(jīng)緯度的長度，結(jié)果發(fā)現(xiàn)地球的確不是標(biāo)準(zhǔn)球體，而是“兩極稍扁、赤道略鼓”的不規(guī)則球體。

此外，由于全球各地地形的不同，地球表面離地心的距離非常復(fù)雜，它必定對大地測量的精準(zhǔn)度產(chǎn)生影響。在衛(wèi)星遙感和定位技術(shù)成熟后，經(jīng)過精確測量，并劃定大地平均水準(zhǔn)面后（為了減少地形對地球半徑的影響），人們發(fā)現(xiàn)：從遠(yuǎn)距離看上去，地球形狀像一只梨子：它的赤道部分鼓起，是它的“梨身”，北極有點(diǎn)放尖，像個(gè)“梨蒂”，南極有點(diǎn)凹進(jìn)去，像個(gè)“梨臍”，整個(gè)地球像個(gè)梨形的旋轉(zhuǎn)體，因此人們稱地球?yàn)椤袄嫘蔚厍颉?。從地心到北極或南極的距離，大約6356.9公里（兩極的差極小，可以忽略）;從地心到赤道的距離，大約6377.8公里;地球平均半徑大約6371.4公里 ，這個(gè)數(shù)字是地心到地球表面所有各點(diǎn)距離的平均值。據(jù)此可計(jì)算出地球赤道周長大約為40075千米，比用地球平均半徑計(jì)算出來的結(jié)果大約增加45公里。

四、地理坐標(biāo)系統(tǒng)和經(jīng)緯度大地測量術(shù)

1、三大地理坐標(biāo)系統(tǒng)

地理坐標(biāo)分為天文坐標(biāo)系、大地坐標(biāo)系與地心坐標(biāo)系。

天文坐標(biāo)系是以鉛垂線為基準(zhǔn)、以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面建立的坐標(biāo)系。它以天文經(jīng)緯度（λ，ψ）表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，其中天文經(jīng)度λ是觀測點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的二面角，天文緯度ψ定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。天文坐標(biāo)系形成得較晚，但對其它坐標(biāo)系有校正作用。

大地坐標(biāo)系是以橢球面法線為基準(zhǔn)線，以參考橢球面為基準(zhǔn)面建立的坐標(biāo)系，它以大地坐標(biāo)（L，B，h）表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，其中大地經(jīng)度L為參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的二面角，大地緯度B為參考橢球面上某點(diǎn)的法線與赤道平面的夾角，h為大地高，即從觀測點(diǎn)沿橢球法線方向到橢球面的距離。大地坐標(biāo)系成熟于20世紀(jì)半期，我國目前常用坐標(biāo)系就是大地坐標(biāo)系 （CGCS2000）。

地心坐標(biāo)系是與地球真實(shí)情況固定在一起的參考坐標(biāo)系，它以球心為原點(diǎn)建立標(biāo)準(zhǔn)球體坐標(biāo)系，與地球固連在一起，與地球同步運(yùn)動(dòng)，以（L，B）來表示點(diǎn)的位置，其中L為地心經(jīng)度，與大地經(jīng)度一致，B為地心緯度，指觀測點(diǎn)與球心連線與赤道面之間的夾角。地心坐標(biāo)系是天文坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系之間融合而成的坐標(biāo)系，產(chǎn)生時(shí)間較晚，但與航空航天密切相關(guān)。

2、經(jīng)緯度大地測量術(shù)

人們很早就發(fā)現(xiàn)，在地球上任何地點(diǎn)，只要有一只精確的鐘表、一根竹竿和一把卷尺，就可簡易地測出當(dāng)?shù)氐慕?jīng)緯度。方法如下：為了計(jì)算方便，我們?nèi)≈袊鴸|北所地，并在春分日當(dāng)天測量（太陽直射點(diǎn)在赤道上）。在水平地面上垂直地插上竹竿并固定住，假設(shè)竹竿的影子最短時(shí)是中午13點(diǎn)20分，此時(shí)桿長與影長之比為1，則可知該地是北緯45°（tanα=1，則α=45°）。由于我國采用的北京時(shí)間位于東八區(qū)（中心經(jīng)線為120°E，中午12點(diǎn)時(shí)太陽入射角最高，竿影最短），此地太陽入射角度最高是13點(diǎn)20分，說明地處東八區(qū)偏早1小時(shí)20分的時(shí)區(qū)，經(jīng)度每1小時(shí)減15°，4分鐘減1°，說明此地經(jīng)度為東經(jīng)100°。后來，人們根據(jù)一年中太陽直射點(diǎn)變化規(guī)律，可以參照以上方法，在任意時(shí)點(diǎn)推算出當(dāng)?shù)氐慕?jīng)緯度，從而建立地球的經(jīng)緯網(wǎng)，延用至今，這個(gè)經(jīng)緯坐標(biāo)系屬于大地坐標(biāo)系。

五、單位經(jīng)緯線長度的修正

2000多年前，古希臘天文學(xué)家托勒密根據(jù)前人測量結(jié)果，繪制了一份標(biāo)有經(jīng)緯度的地中海地圖，對地中海沿岸重要城市等8000多個(gè)地方標(biāo)識(shí)了經(jīng)緯度，這份地圖被航行在地中海中的一些船只用于定位和確定航程。但經(jīng)過航海家的反復(fù)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)這幅地圖并不實(shí)用，許多航線的距離存在偏差，從而發(fā)現(xiàn)地球的單位經(jīng)緯線長度并非完全相等。

下圖4是地球沿某條經(jīng)線剖開后的地表示意圖，該經(jīng)線經(jīng)過B點(diǎn)。為了便于研究，我們將赤道隆起部分放大，即OB>OA。我們畫出地表的法線CG、DF，分別與赤道OB相交于G點(diǎn)和F點(diǎn)。根據(jù)大地坐標(biāo)系和緯度的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)的緯度實(shí)際上是∠1的度數(shù)，D點(diǎn)的緯度實(shí)際上是∠2的度數(shù)。如果∠2是∠1的兩倍，即從赤道上的B點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)測量的緯度，是到達(dá)C點(diǎn)時(shí)測量的緯度的2倍，顯而易見，所經(jīng)過的弧BC和弧CD并不一樣長。

由于赤道的地球半徑更長，C點(diǎn)處的法線必然更加偏離球心（G點(diǎn)比F點(diǎn)更加向右側(cè)偏離），所以弧BC<弧CD，即地表隆起幅度越大，單位經(jīng)線長度越短，而單位緯線長度就越長。由于地中海沿岸城市地處北緯200至450之間，各地的地球半徑并不相等，航海家依照托勒密地圖在大海上航行，他們認(rèn)為緯度相差n倍，距離就應(yīng)該相差n 倍，必然會(huì)發(fā)生“圖實(shí)不符”的現(xiàn)象，這也是莫佩爾蒂在測量北極的單位經(jīng)緯線長度時(shí)，發(fā)現(xiàn)北極有些地區(qū)的單位經(jīng)線長度高于赤道附近的單位經(jīng)線長度的原因。

圖4? 赤道附近單位經(jīng)緯度測量偏差分析

我們再在弧AB的內(nèi)側(cè)，畫出以O(shè)A為半徑的標(biāo)準(zhǔn)圓。使得∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，可以看出從地表上的B點(diǎn)向A點(diǎn)移動(dòng)，單位緯度的長度之差在逐步減小。如果我們把赤道隆起和地形相聯(lián)系，同樣可以看出海拔高度也會(huì)對單位經(jīng)緯線長度產(chǎn)生影響，因此大地坐標(biāo)系與其它坐標(biāo)系有較大的差別。在現(xiàn)代測量技術(shù)出現(xiàn)后，科學(xué)家根據(jù)地球的平均海拔給地球表面建立了平均水準(zhǔn)線，并運(yùn)用衛(wèi)星定位系統(tǒng)對經(jīng)緯坐標(biāo)進(jìn)行修正，地球三大地理坐標(biāo)系統(tǒng)現(xiàn)在均已不受地面海拔的影響。

經(jīng)過科學(xué)家的測量，在廣泛運(yùn)用的大地坐標(biāo)系中，不同緯度地區(qū)的實(shí)際單位經(jīng)緯線長度如上表3所示。將表3與表1、表2進(jìn)行比照，可以看出：

1、真實(shí)的地球，低緯度區(qū)域跨單位緯線長度，比以地球平均半徑為半徑的標(biāo)準(zhǔn)球體的單位緯線長度要長，在45°N和45°S附近差距最大，跨1度經(jīng)度的緯線長度差距可達(dá)到0.3公里;在高緯度區(qū)差距逐漸縮短，兩極極點(diǎn)附近一定短于標(biāo)準(zhǔn)球體的單位緯線長度。

2、真實(shí)的地球，低緯度區(qū)域的單位經(jīng)線長度，比以地球平均半徑為半徑的標(biāo)準(zhǔn)球體的單位經(jīng)線長度要短，赤道附近跨1度緯度的經(jīng)線長度差距可達(dá)到0.62公里，相差比例達(dá)到5‰，且緯度越低差距越大，在45°N和45°S附近差距幾乎為零;高緯度區(qū)域的單位經(jīng)線長度，比以地球平均半徑為半徑的標(biāo)準(zhǔn)球體的單位經(jīng)線長度要長，兩極附近跨1度緯度的經(jīng)線長度差距可達(dá)到0.5公里，相差比例接近5‰，且緯度越高差距越大。

由于地球形狀的不規(guī)則，天體測量所得的信息（如衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)）并不能在地面等距離地測出位置。慶幸的是，在衛(wèi)星遙感和定位系統(tǒng)出現(xiàn)后，科學(xué)家利用衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)對全球的經(jīng)緯度系統(tǒng)進(jìn)行了嚴(yán)格確定，目前全球定位系統(tǒng)（GRS80）已經(jīng)對地表任一處經(jīng)緯度進(jìn)行了精確定位，避免了再運(yùn)用大量實(shí)測來修正理論計(jì)算的復(fù)雜過程。

六、結(jié)論

根據(jù)以上分析，假定地球是標(biāo)準(zhǔn)球體，地球經(jīng)線長度相等且等于赤道長度，緯線隨緯度增加而增加，且等于赤道長度乘以緯度余弦值。而根據(jù)地球真實(shí)形狀，利用地球赤道半徑、極半徑和平均半徑，可以計(jì)算出赤道長度，確定每跨1度經(jīng)線赤道的單位長度。由于赤道地區(qū)的地球半徑稍長，在大地測量時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)：赤道地區(qū)單位經(jīng)線長度比理論值要少，相差比例達(dá)到峰值5‰，單位緯線長度比理論值要多;在45°N和45°S附近，單位經(jīng)線長度與理論值相近，單位緯線長度比理論值要多，相差比例達(dá)到峰值2‰;在兩極地區(qū)，單位經(jīng)線長度比理論值多，相差比例達(dá)到峰值5‰，單位緯線長度比理論值要少，相差比例達(dá)到峰值5‰。上述的差距變化遵循漸變規(guī)則，在計(jì)算時(shí)可以粗略估算出來。

隨著高科技的發(fā)展，人們對確定目標(biāo)位置的準(zhǔn)確性提出了更高的要求，在精確定位時(shí)，我們需要注意不同的坐標(biāo)系統(tǒng)之間的互換規(guī)則。不同的導(dǎo)航設(shè)備和地理坐標(biāo)往往有系統(tǒng)差別，例如，現(xiàn)代大地測量學(xué)常用天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)，地圖學(xué)則以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)，而在小比例尺制圖中，通常采用地心經(jīng)緯度。注意這些細(xì)小差別，科學(xué)地進(jìn)行坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換，并對不同系統(tǒng)中的單位經(jīng)緯線長度進(jìn)行驗(yàn)算比較，才能確保坐標(biāo)系完全一致，做到“圖實(shí)相符”，從而使定位更加精確。