謀定而后動(dòng)
——挖掘特性，巧求線段最值

江蘇省阜寧縣北汛初級(jí)中學(xué) 蔡子洋

作為初中數(shù)學(xué)中的大篇幅——幾何圖形，在初中數(shù)學(xué)中頻繁出現(xiàn)，綜合性也比較強(qiáng)，常常結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論以及轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想去考察，對(duì)應(yīng)著解決這類問題的方法也比較多。本文將引領(lǐng)學(xué)生們?nèi)ネ诰蚨恳蛩?，巧求線段的最值，打開學(xué)生的思維之門，提高解題的效率。

一、謀定點(diǎn)線，打開思維

學(xué)生們經(jīng)常會(huì)在幾何圖形中遇到點(diǎn)、線按照某些條件在運(yùn)動(dòng)，表面上看，這些點(diǎn)或者線在不斷地變化，但是如果學(xué)生們能靜下心來仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，準(zhǔn)確地抓住其中不變的點(diǎn)或者線，結(jié)合“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“垂線段最短”等定理，棘手的問題往往會(huì)迎刃而解，這也是打開思維的突破口。因此，學(xué)生們?cè)诮鉀Q線段最值的問題中，要試著去找尋定點(diǎn)、定線，巧妙地解決問題。

例1：如圖1所示，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，連接CF，將線段CF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接EG，則在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，求EG的最小值。

圖1

圖2

點(diǎn)撥：此題是典型的幾何圖形點(diǎn)運(yùn)動(dòng)類題型，本題的關(guān)鍵點(diǎn)就是將求EG的最小值轉(zhuǎn)化成求線段MF的最小值，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，借用“垂線段最短”這個(gè)定理準(zhǔn)確解題。因此，欲求線段最小值，學(xué)生們一定要想到“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“垂線段最短”等定理，謀定而后動(dòng)，巧求最值。

二、巧添輔助，“圓”來如此

在初中數(shù)學(xué)中，垂直關(guān)系是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)研究的對(duì)象之一，出題者也是在借助兩線垂直的特殊關(guān)系來挖掘圖形中蘊(yùn)含的最值問題。因此，學(xué)生們?cè)谇蠼膺@類問題時(shí)就可以從關(guān)系入手，結(jié)合題目條件以及圖形的特征等來構(gòu)造添加輔助圓，這是解決此類問題的有效方法之一。

例2：如圖3所示，E是正方形ABCD的邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AH⊥BE于 點(diǎn)H。若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段DH的最小值是多少？

圖3

圖4

點(diǎn)撥：本題中通過構(gòu)造輔助圓，巧妙地化解了線段的最小值問題。本題中，若存在垂直關(guān)系，可以通過構(gòu)造輔助圓，基于“兩點(diǎn)之間線段最短”的定理化解棘手的問題。

三、固定角度，明確方向

在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生們?cè)谇蠼鈳缀螆D形問題時(shí)有時(shí)候會(huì)遇到有關(guān)角度的問題，這類問題也比較活躍，往往能考查學(xué)生們的思維。其實(shí)在帶有角度的求線段最值問題也有相應(yīng)的解題策略，就是利用固定角去求解，明確角的方向，也會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的奧妙，這也是解決線段最值的一把金鑰匙。

圖5

點(diǎn)撥：在本題中，解題的關(guān)鍵點(diǎn)就是找尋了一個(gè)固定的角度，即∠EAF，結(jié)合圓的知識(shí)，巧妙地求解了線段的最值問題。因此，學(xué)生們要記住，在遇到角度問題的時(shí)候，可以想著往固定角度的方向去突破思維，找到解題的切入口。

總之，在求解初中數(shù)學(xué)中幾何圖形下的線段最值問題時(shí)，學(xué)生們一定要認(rèn)真思考，想到上述解法，本文中講解到的只是些許，還有更多的解題策略與方法，需要學(xué)生們?cè)诮忸}的過程中不斷地探索與總結(jié)，找出題中的定性信息，合理運(yùn)用這些定性信息，謀定而后動(dòng)，就可以巧妙地求解出線段的最值。