數(shù)形結(jié)合的誤區(qū)與對(duì)策探析

摘 要：數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生明察數(shù)形結(jié)合的誤區(qū)，明確克服誤區(qū)的有效對(duì)策，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化，完善數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)解題的精確性、嚴(yán)密性。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；誤區(qū)；對(duì)策

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要思想，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚就強(qiáng)調(diào)“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛”。我們要引導(dǎo)學(xué)生明察自己在學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的誤區(qū)，科學(xué)使用“數(shù)形結(jié)合”，以形助數(shù)、以數(shù)輔形，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)解題的精確性、規(guī)范性、嚴(yán)密性，完善和發(fā)展自身的數(shù)學(xué)思想。

一、 運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想中的常見誤區(qū)

（一） “形”與“數(shù)”不相匹配、不精確

數(shù)形結(jié)合必須“數(shù)”與“形”匹配，方能相得益彰，實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)、以形想數(shù)，促進(jìn)數(shù)形轉(zhuǎn)化。但有的學(xué)生在繪制圖形時(shí)的不精確，就會(huì)導(dǎo)致借助圖形解讀“數(shù)”時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例1：方程sinπx=x4的解的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解：將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)。在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y1=sinπx和y2=x4的圖象（如圖）。

已知y1與y2在第一象限共有4個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)閮烧叨际顷P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)，所以可得在第三象限，兩者也有4個(gè)交點(diǎn)。所以y1與y2共有8個(gè)交點(diǎn)，所以根據(jù)圖像得答案為D。

該生之所以錯(cuò)解此題，就是因?yàn)樵诋嫼瘮?shù)圖像時(shí)由于觀察不仔細(xì)或者圖像不夠準(zhǔn)確，使得函數(shù)圖像畫錯(cuò)，并且在錯(cuò)的基礎(chǔ)上，忽視了原點(diǎn)也作為兩者交點(diǎn)的事實(shí)，最終得到了錯(cuò)誤的答案。

（二） 忽視題目條件，“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”不等價(jià)

數(shù)形結(jié)合，就是用數(shù)表示形，用形顯示數(shù)，兩者必須是統(tǒng)一的。有些學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，忽視了題目中的相關(guān)條件，片面地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化，結(jié)果導(dǎo)致數(shù)轉(zhuǎn)形不等價(jià)而解題錯(cuò)誤。

例2：已知sin2α+sin2β=2sinα+2sinβ-1，求t=sinα+sinβ的取值范圍

解：先把已知等式化為（sinα-1）2+（sinβ-1）2=1。

令u=sinα，v=sinβ，則（u，v）的軌跡為圓心為（1，1），半徑為1的圓。函數(shù)t=u+v即函數(shù)v=-u+t。該函數(shù)與圓必有交點(diǎn)。故由圖像可知t的取值范圍為2-2≤t≤2+2。

該生錯(cuò)解原因就在于“在令u=sinα，v=sinβ時(shí)，忽視了u和v的取值范圍，即-1≤u≤1，-1≤v≤1”，從而導(dǎo)致作圖出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此得到錯(cuò)誤答案。

（三） 盲目使用數(shù)形結(jié)合，設(shè)置解題障礙

數(shù)形結(jié)合的目的是為了讓解答試題更為簡潔、更為準(zhǔn)確，并非為了運(yùn)用原理而進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”。有些學(xué)生認(rèn)為所有可以使用數(shù)形結(jié)合的試題都需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原理，就造成在解題中盲目使用數(shù)形結(jié)合，反而導(dǎo)致解題更為麻煩，影響解題效率甚至解答質(zhì)量。

例3：求y=（x2+2）/（x-1）的取值范圍。

解：由于函數(shù)的形式與斜率公式較為相像。故取點(diǎn)a（x，x2），點(diǎn)b（1，-2）。則y為兩點(diǎn)之間的斜率。可知點(diǎn)a在函數(shù)y=x2上，所以作出函數(shù)圖像，題目轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)y=x2上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)b（1，-2）的連線的斜率的變化范圍。

設(shè)過點(diǎn)b（1，-2）的直線為y=k（x-1）-2，將其帶入函數(shù)y=x2中，可得x2-kx+k+2=0。

要求x存在，所以Δ=k2-4（k+2）≥0。故可得，k的取值范圍為k≥2+23或k≤2-23，即斜率y的取值范圍為y≥2+23或y≤2-23

數(shù)形結(jié)合方法在解答此題中并沒有起到“減負(fù)”的作用，反而加大了解答難度，耗費(fèi)更多的時(shí)間，其效果反而不如普通方法簡單。

二、 科學(xué)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的有效對(duì)策

（一） 制“形”謹(jǐn)慎，追求精準(zhǔn)

“形”要輔“數(shù)”，必須精準(zhǔn)，方能顯效，因此我們在進(jìn)行由數(shù)到形的變換繪制圖形時(shí)，一定要謹(jǐn)慎，確保圖像的準(zhǔn)確性；尤其在在圖像上一些不容易確定的點(diǎn)的關(guān)系上，可輔以數(shù)值的計(jì)算，來保證數(shù)形結(jié)合方法的準(zhǔn)確性和可靠性。

比如對(duì)上述例1我們可以這樣解答：

將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)。在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y1=sinπx和y2=x4的圖象（右圖）；并且在x=4.5時(shí)，經(jīng)過計(jì)算可得y1=1，y2=1.125，y2>y1，所以兩者不相交。由圖像可得兩個(gè)函數(shù)在第一象限有3個(gè)交點(diǎn)，又由于兩者均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以在第三象限還有三個(gè)交點(diǎn)，再加上兩者在原點(diǎn)也有交點(diǎn)，所以兩者一共有7個(gè)交點(diǎn)，故答案選C。

（二） 仔細(xì)扣題，數(shù)形等價(jià)

在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的方法時(shí)，一定要仔細(xì)審題，緊扣題中的數(shù)形條件，確保數(shù)形轉(zhuǎn)換的等價(jià)性；要把題中隱含的或容易被忽略的條件，全都反映到圖上，使答案準(zhǔn)確無誤。

比如例2的正確解答過程就是：

把已知等式化為（sinα-1）2+（sinβ-1）2=1。令u=sinα，v=sinβ，并且-1≤u≤1，-1≤v≤1。則（u，v）的實(shí)際軌跡為一小段圓弧。函數(shù)t=u+v必與該圓弧有交點(diǎn)，則由圖可知t的取值范圍為2-2≤t≤1。

（三） 科學(xué)思維，合理運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解答的科學(xué)思維與方法，但并非唯一的途徑，我們在運(yùn)用時(shí)要克服盲目、濫用的思想，要對(duì)試題進(jìn)行科學(xué)思維，選擇解答試題最契合、最有效的原理與思維，方能四兩撥千斤、化腐朽為神奇，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的神奇與快樂。

比如例3并不必須使用數(shù)形變換，在原式經(jīng)過簡單變換后便可得到，更為簡潔、高效，如下：

式子y=（x2+2）/（x-1）可變形為（x-1）y=x2+2，繼續(xù)變形為x2-yx+2+y=0，有Δ=y2-4（y+2）≥0。故可得y的取值范圍為y≥2+23或y≤2-23。

總之，我們在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識(shí)與能力，總結(jié)數(shù)形結(jié)合的規(guī)律和方法，才能有效提高自身數(shù)學(xué)解題上的能力，保障在高考數(shù)學(xué)中解題質(zhì)量與效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐金霞.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用探討[J].當(dāng)代教研論叢，2017（6）：58.

[2]司春炎.莫入“數(shù)形結(jié)合”的誤區(qū)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（13）：115.

作者簡介：

陳健，福建省寧德市，福建省寧德市第五中學(xué)。