“畫(huà)”出精彩的作圖世界
—— 談中考幾何作圖題的復(fù)習(xí)

余海斌

一、提出問(wèn)題

縱觀2014、2015、2016年的舟山市中考數(shù)學(xué)卷，均未出現(xiàn)作圖題。正當(dāng)作圖題漸漸淡出大家的視線時(shí)，2017年的舟山市中考數(shù)學(xué)卷在第19題出現(xiàn)了一道作圖題。作圖要求是這樣的：用尺規(guī)做出三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓圓心作圖掌握的很好，考生對(duì)內(nèi)切圓半徑作圖痕跡沒(méi)能很好的作出，考生為了作圖痕跡描黑花了不少時(shí)間。《2019年浙江省初中畢業(yè)升學(xué)考試說(shuō)明》例卷中“僅用無(wú)刻度直尺，且不能用直尺中的直角”，這道作圖題不是一道單一的尺規(guī)作圖題，是幾何推理與作圖相融合的新型作圖題。用來(lái)考察學(xué)生的幾何探究能力、解決問(wèn)題的能力。怎樣基于學(xué)情，有效地進(jìn)行中考數(shù)學(xué)的作圖復(fù)習(xí)擺在了我們的眼前。

二、知識(shí)整理

“創(chuàng)新畫(huà)（作）圖”題代表了中考數(shù)學(xué)的一個(gè)新變化，它在傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖題基礎(chǔ)上，既保留了尺規(guī)作圖的嚴(yán)密的邏輯推理的要求，同時(shí)還需要結(jié)合幾何推理，對(duì)所要作的圖形進(jìn)行作圖原理的推究和作圖方法的探索。我們的幾何作圖復(fù)習(xí)往往是放在第一輪的復(fù)習(xí)中。對(duì)這階段的復(fù)習(xí)我們的要求是起點(diǎn)低、落到實(shí)處。于是，怎樣把這些知識(shí)有效地整合，高效地進(jìn)行復(fù)習(xí)成為我們幾何作圖復(fù)習(xí)中首要考慮的問(wèn)題。

三、方法突破

嘗試用擬開(kāi)放題的形式予以復(fù)習(xí)。擬題為：請(qǐng)從下列條件中選出兩個(gè)作為已知條件，作出一個(gè)等腰三角形。（1）腰AB的長(zhǎng)；（2）底邊BC的長(zhǎng)；（3）頂角平分線的長(zhǎng)：（4）底邊上的高的長(zhǎng)；（5）底邊上的中線的長(zhǎng)；（6）周長(zhǎng)；（7）面積。此題建議用小組合作的形式進(jìn)行復(fù)習(xí)，先讓學(xué)生組合出7×6÷2＝21種可能，再把能作出等腰三角形的18種情況，組內(nèi)分配進(jìn)行解決，最后由一位同學(xué)把組內(nèi)的做法予以整理匯總并進(jìn)行交流。同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行分類要求，對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)只要求解決（1）（2）、（1）（3）、（2）（3）這類的做法即可，對(duì)于基礎(chǔ)中等的同學(xué)要求解決除（1）（7）、（3）（6）、（6）（7）以外的15種做法，對(duì)于基礎(chǔ)好的同學(xué)把重心放在（1）（7）、（3）（6）、（6）（7）的作法解決上。這樣做的好處是讓每一位同學(xué)都有事可做，都能量力而行。充分體現(xiàn)了“不同的人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)，不同的人在課堂上得到不同的滿足”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理念。

七年級(jí)我們?cè)鴮W(xué)過(guò)“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，常利用它來(lái)解決兩條線段和最小的相關(guān)問(wèn)題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：

如圖1，已知，A，B在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點(diǎn)，使得PA+PB最小.我們只要作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，（如圖2所示）根據(jù)對(duì)稱性可知，PB＝PB＇。因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于求AP+PB′最小，顯然當(dāng)A、P、B′在一條直線上時(shí)AP+PB′最小，因此連接AB＇，與直線l的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P。有很多問(wèn)題都可用類似的方法去思考解決。

探究：

（1）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，P是BD上一動(dòng)點(diǎn)。連接EP，CP，則EP+CP的最小值是____________；

（2）如圖4，平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x軸上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)該是_____________；

（3）如圖5，A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各求作一點(diǎn)B，C，組成△ABC，使△ABC周長(zhǎng)最小。（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

四、感悟反思

1.立足教材，課標(biāo)與考綱 在我們的幾何作圖復(fù)習(xí)中，要樹(shù)立“考綱引領(lǐng)，用好課本”的意識(shí)，我們要在領(lǐng)悟考綱的前提下以教材為主，認(rèn)真再次鉆研教材，研讀教材，要堅(jiān)持讓學(xué)生帶著問(wèn)題上幾何作圖復(fù)習(xí)課，不時(shí)地問(wèn)學(xué)生，幾何作圖“考什么”、“怎么考”。

2.面向全體，分層教學(xué) 在我們的幾何作圖復(fù)習(xí)中，我們還是要有統(tǒng)一認(rèn)識(shí)。對(duì)于優(yōu)秀學(xué)生，我們教師要幫助他們完善幾何知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法體系，同時(shí)提高他們作圖的速度與準(zhǔn)確度。對(duì)于基礎(chǔ)較差的同學(xué)，尤其是后20%的學(xué)生，我們的任務(wù)是幫他們?cè)俅卫斫饣靖拍詈突咀鲌D方法，手把手地教他們作圖。

3.充分利用學(xué)習(xí)型小組的力量 在我們的幾何作圖復(fù)習(xí)中，其實(shí)更適合的是小組合作學(xué)習(xí)。在完成幾何作圖后，組員之間可以相互比對(duì)、觀察，找出同組中的最佳作圖，還可以建議各小組的組員利用幾何作圖的知識(shí)進(jìn)行改題和編題，力爭(zhēng)能把舊知識(shí)編出新題型，讓我們的作圖題“舊貌換新顏”，也能提高學(xué)生對(duì)幾何作圖復(fù)習(xí)課的興趣。

在幾何作圖的復(fù)習(xí)中，我們教師要適時(shí)讓學(xué)生領(lǐng)悟聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，從直觀到推理、從推理到論證、由靜止到運(yùn)動(dòng)，循序漸進(jìn)地在學(xué)生思維訓(xùn)練上下功夫。知識(shí)點(diǎn)猶如一盤(pán)散沙，只有串成美麗的項(xiàng)鏈，才會(huì)價(jià)值連城。我們教師也該為成為別具匠心的“教書(shū)匠”而思索、奮進(jìn)。