淺析線性代數(shù)教學(xué)中的辯證法思想

□李 中 林全文 肖勁森

線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容，是大學(xué)理工科各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)其它后續(xù)課程必不可少的工具，也是在自然科學(xué)和網(wǎng)絡(luò)信息、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理各領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。它的主要內(nèi)容包括行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變換等。目前除了數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)的高等代數(shù)課時(shí)較充裕外，非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)課時(shí)普遍較少，課程被重視程度不夠。由于教師必須在規(guī)定的課時(shí)內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，沒(méi)時(shí)間像中學(xué)那樣講解大量的習(xí)題，導(dǎo)致許多學(xué)生對(duì)線性代數(shù)內(nèi)容掌握不牢固。因此，學(xué)生普遍反映線性代數(shù)課程比較抽象，特別是概念抽象難理解。加上學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)內(nèi)容都經(jīng)過(guò)了大量的反復(fù)練習(xí)，題海戰(zhàn)術(shù)成為學(xué)生根深蒂固的觀念，反而對(duì)大學(xué)較快的授課進(jìn)度和習(xí)題做得少產(chǎn)生抵觸情緒。因此在線性代數(shù)的教學(xué)中深入挖掘豐富的唯物辯證法思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)態(tài)度和學(xué)習(xí)興趣有著極大的作用。

一、具體與抽象

具體與抽象是一對(duì)常用的哲學(xué)范疇，具體是指可直接感知的事物，尚未經(jīng)過(guò)概括的感性對(duì)象；抽象是指從具體事物中總結(jié)出來(lái)的某類事物共性的描述，抽象不能脫離具體而獨(dú)自存在。具體與抽象這一辯證關(guān)系給人們提供了由感性具體進(jìn)到理性抽象和再由理性抽象進(jìn)到理性具體相結(jié)合的認(rèn)識(shí)方法，是人類認(rèn)識(shí)世界的科學(xué)方法。線性代數(shù)中n元線性方程組的求解方法正是通過(guò)具體的二元和三元線性方程組的高斯消去法推導(dǎo)而得到的，再應(yīng)用于具體的多元線性方程組的求解。

解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：

二、正與反

辯證唯物主義認(rèn)為，正與反既是相互對(duì)立的，又是相互聯(lián)系的，還可以相互轉(zhuǎn)化的一對(duì)矛盾，它們是對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。很多數(shù)學(xué)命題，從正面論證不成立時(shí)，往往只要舉一個(gè)反例即可。舉反例就是用一個(gè)具體的例子指出某命題不成立，數(shù)學(xué)中利用反例來(lái)判斷一個(gè)命題是假命題往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。

例如在講矩陣的乘法不滿足交換律時(shí)，可以用以下例子作為反例加以說(shuō)明。

解AB≠BA.

三、普遍與特殊

矛盾普遍性和特殊性是描述矛盾存在的特點(diǎn)的范疇，是共性和個(gè)性、一般和個(gè)別的關(guān)系。人們認(rèn)識(shí)事物，總是由特殊到普遍，又由普遍到特殊。例如，在線性代數(shù)的第一章行列式中，先從用消元法解二元線性方程組引入二階行列式的定義，接著引入三階行列式的定義，進(jìn)而引入n階行列式的定義。在講n階行列式的計(jì)算時(shí)，給出二階、三階行列式的計(jì)算法以及上(下)三角形行列式、范德蒙德行列式等一些特殊行列式的計(jì)算，利用行列式性質(zhì)，將某些n階行列式轉(zhuǎn)化為這些特殊行列式后即可計(jì)算。一般的n階行列式的計(jì)算是利用“行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和”及行列式的其它性質(zhì)將n階行列式降階，利用二階或三階行列式得以計(jì)算。

線性代數(shù)中除了具體與抽象、正與反、特殊與普遍的辯證關(guān)系外，還蘊(yùn)含著許多豐富的辯證思想，例如有限與無(wú)限、現(xiàn)象與本質(zhì)、定向思維與逆向思維、局部觀點(diǎn)與整體觀點(diǎn)等。在線性代數(shù)的教學(xué)中,深刻剖析線性代數(shù)中蘊(yùn)含的辯證思想,不僅可以使學(xué)生加深對(duì)線性代數(shù)概念與理論的理解,而且有助于發(fā)展和提高學(xué)生的辯證思維能力,對(duì)提高學(xué)生的實(shí)際工作能力會(huì)起到至關(guān)重要的作用。