數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

□王永超

本文主要對(duì)數(shù)形結(jié)合的主要內(nèi)容和作用加以分析,通過(guò)實(shí)際考察與學(xué)習(xí)、觀察發(fā)現(xiàn),有很多學(xué)生對(duì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合非常陌生,還有部分同學(xué)知道數(shù)形結(jié)合,但不知道什么樣的題型適合用數(shù)形結(jié)合，所以在這里進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。數(shù)形結(jié)合不僅是一種技巧,更是借助數(shù)學(xué)的精確性來(lái)闡明圖形圖象的某些特性。本文介紹了一些數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,通過(guò)對(duì)具體應(yīng)用的分析,加深讀者對(duì)數(shù)形結(jié)合的印象。

一、在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一大教學(xué)板塊[2],函數(shù)知識(shí)的抽象性非常高,學(xué)生在理解和掌握過(guò)程中都會(huì)遇到一些問(wèn)題。這時(shí)候用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生,結(jié)合形象的圖形來(lái)理解函數(shù)知識(shí),學(xué)生就會(huì)非常輕松地理解,并且更快地理解題意。

例1，如下圖函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像所示:下列選項(xiàng)( )，最可能是函數(shù)y=g(x)·f(x)的圖像。

分析 ∵有圖像可知函數(shù)y=g(x)·f(x)的定義域圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),

∴能夠排除C,D兩個(gè)選項(xiàng)

∵當(dāng)x為非常小的正數(shù)時(shí),f(x)>0且g(x)<0

(兩數(shù)相乘“同號(hào)為正,異號(hào)為負(fù)”)

∴g(x)·f(x)<0

故選A選項(xiàng)。

二、在不等式中的應(yīng)用

在解決不等式問(wèn)題時(shí),有很多方法,其中有一種方法就是利用數(shù)形結(jié)合,巧妙地處理無(wú)法直接計(jì)算的數(shù)量,將不等式所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系通過(guò)畫圖直觀地表達(dá)出來(lái),從而使原問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例2，對(duì)不等式|x+a|+|x|<2求解(其中a為實(shí)參數(shù))。

解 把原不等式變形為|x+a|<2-|x|

在坐標(biāo)片面上作函數(shù)y=|x+a|,y=2-|x|的圖像,前者是以(-a,0)為端點(diǎn),斜率為±1的向上的兩組平行射線；后者是以(0,2)為端點(diǎn),斜率為±1的向下的兩條射線(如圖1所示)。

圖1

設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB)分別為上述兩函數(shù)圖像的交點(diǎn),且xA>xB容易求得

從函數(shù)的圖像可知,當(dāng)a≤2或a≥2時(shí),原不等式無(wú)解；

當(dāng)-2

三、在線性規(guī)劃中的應(yīng)用

線性規(guī)劃在數(shù)學(xué)中扮演著重要的角色,這里對(duì)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行討論分析,可以從中非常清晰地看出數(shù)形結(jié)合的重要性。

解 如圖將以下直線x-3y+2=0,x+2y-8=0,x=1,在平面直角坐標(biāo)系中表示出來(lái).通過(guò)觀察,圖中的陰影部分符合題意,并且原點(diǎn)(0,0)不屬于圖中的陰影部分,只有當(dāng)x=0,y=0時(shí),z=x+y=0,即點(diǎn)(0,0)在直線l0;x+y=0上。作一條平行l(wèi)0的直線l:x+y=s,s∈R,由圖2可知,當(dāng)l在l0的右上方時(shí),點(diǎn)(x,y)滿足題意,s隨直線l往右而變大。

圖2

由圖象可知,

當(dāng)直線l通過(guò)點(diǎn)A(4,2)時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的s最大,

當(dāng)直線l通過(guò)點(diǎn)B(1,1)時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的s最小,

所以,zmax=4+2=6,zmin=1+1=2

此題完全是利用圖象求解,通過(guò)畫函數(shù)圖象確定所選區(qū)域,再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的圖象找到最大值。

四、在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

在處理幾何問(wèn)題的時(shí)候,常常利用數(shù)形結(jié)合去處理有關(guān)問(wèn)題[3],鉆研點(diǎn)、線、曲線的種種聯(lián)系以及相關(guān)性質(zhì),使二者緊密結(jié)合起來(lái),讓數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)得以充分體現(xiàn),從而使問(wèn)題得到合理的解決。

圖3

b2x2+(b2+5)y2=b2(b2+5),

聯(lián)立直線與橢圓方程消去y得

解決此類問(wèn)題時(shí)要充分利用圖形和平面直角坐標(biāo)系,使二者緊密結(jié)合起來(lái),讓數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)得以充分體現(xiàn),從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,并得到合理解決。

五、在概率論中的應(yīng)用

概率在生活中很常用,在大學(xué)的概率論中也學(xué)習(xí)很多關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí),下面來(lái)看一下概率論中是如何實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的。

例5，甲乙兩人相互商定在下午6時(shí)到7時(shí)之間在該地方見(jiàn)面,并約定先到達(dá)的人應(yīng)等待后到達(dá)的人20min,超過(guò)時(shí)間即可先行離去.求兩人能見(jiàn)面的概率[5]。

解 用x表示甲,用y表示乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間(以min為單位),在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系(如圖4所示)。

圖4

根據(jù)題意,先畫出圖形,再根據(jù)圖形的幾何意義找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以及函數(shù),最后找到所求概率。本題的意義所在就是給出一個(gè)范圍,根據(jù)對(duì)應(yīng)的范圍內(nèi)求出想要的數(shù)的概率,也用圖象清晰地表明計(jì)算結(jié)果。

六、結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)數(shù)形結(jié)合的了解,簡(jiǎn)述了一些數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用方法,進(jìn)一步了解了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的地位及其重要性。總之,要充分挖掘有意義的內(nèi)容,將數(shù)形結(jié)合滲透于具體的問(wèn)題中,正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題帶來(lái)了很多的方便,同時(shí)數(shù)形結(jié)合有利于提高思維的深刻性,讓思維更開(kāi)闊,為以后其他方面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合與學(xué)習(xí)休戚相關(guān),希望更多的人能重視數(shù)形結(jié)合[6]。