關(guān)注價(jià)值導(dǎo)向 突出知識(shí)本質(zhì)體現(xiàn)思維廣度與深度 引導(dǎo)教學(xué)
——2019年中考數(shù)學(xué)(北京卷)試題解析

王亮亮

(北京教育考試院 100083)

1 引言

2019年中考數(shù)學(xué)試卷延續(xù)了2015-2018年“穩(wěn)中有變，變中求新”的特點(diǎn)，在全面考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)之上，擴(kuò)大選材范圍，突出對(duì)支撐學(xué)科體系重點(diǎn)知識(shí)的考查，關(guān)注價(jià)值導(dǎo)向，突出知識(shí)本質(zhì)，體現(xiàn)思維廣度與深度.以考查數(shù)學(xué)思維為核心，注重知識(shí)整體性與知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的考查，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成與發(fā)展過程及靈活運(yùn)用的考查.

試卷延續(xù)了“立德樹人，引導(dǎo)教學(xué)，服務(wù)學(xué)生發(fā)展”的理念.試卷選材大氣，將社會(huì)主義核心價(jià)值觀和數(shù)學(xué)之美自然地融入試題中，讓學(xué)生在解答過程中感受民族自豪感，體會(huì)數(shù)學(xué)之美.試題立意，以核心概念為抓手，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力為目標(biāo)，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，從數(shù)學(xué)的角度思考問題和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有獲得感，引導(dǎo)教學(xué)回歸知識(shí)本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)思維，做到學(xué)以致用.試題設(shè)問方式易于學(xué)生入手，層次分明，適度綜合，體現(xiàn)應(yīng)用，讓不同水平的學(xué)生都有充分發(fā)揮的空間.

2 試題解析

2.1 關(guān)注育人功能 體現(xiàn)積極導(dǎo)向

數(shù)學(xué)試卷選取合適的素材，將社會(huì)主義核心價(jià)值觀自然融入到試題中，發(fā)揮試題的育人功能.如第21題，以國家創(chuàng)新指數(shù)排名為背景，著重考查學(xué)生讀取、分析數(shù)據(jù)，獲取信息的能力，讓學(xué)生感受到我國的創(chuàng)新發(fā)展水平以及中國創(chuàng)新在世界中的位置.同時(shí)，讓學(xué)生在數(shù)據(jù)分析與推斷的過程中，了解黨和國家提出“決勝全面建成小康社會(huì)”奮斗目標(biāo)和“加快建設(shè)創(chuàng)新型國家”戰(zhàn)略任務(wù)的意義，體現(xiàn)出了國家創(chuàng)新在國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的重要地位.

2.2 關(guān)注四基要求 體現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”試題的命制注重對(duì)數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等基礎(chǔ)知識(shí)的考查，在考查的過程中，突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查.

例1在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合).對(duì)于任意矩形ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中，

①存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；

②存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；

③存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；

④至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形.

所有正確結(jié)論的序號(hào)是____.

解析此題考查特殊平行四邊形(矩形、菱形和正方形)之間的關(guān)系.題目設(shè)計(jì)體現(xiàn)出了對(duì)知識(shí)掌握的整體性要求，不要把知識(shí)割裂開來看，而是從整體上看知識(shí)之間的聯(lián)系性，這樣才能深刻理解并掌握基礎(chǔ)知識(shí).

例2已知銳角∠AOB.如圖，

(1)在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作PQ，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；

(2)分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交PQ于點(diǎn)M，N；

(3)連接OM，MN.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

(A)∠COM=∠COD;

(B)若OM=MN，則∠AOB=20°;

(C)MN∥CD;

(D)MN=3CD.

解析題目設(shè)計(jì)延續(xù)了2018年試題的特點(diǎn)，不僅要讓學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，考查尺規(guī)作圖中的邏輯推理.

2.3 關(guān)注教學(xué)過程 體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一是讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，理解知識(shí)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想.今年數(shù)學(xué)試題的設(shè)計(jì)關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過程，將學(xué)生日常學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)濃縮于試題中，在學(xué)習(xí)過程中理解知識(shí)本質(zhì).

小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段PC，PD，AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.

下面是小騰的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整:

(1)對(duì)于點(diǎn)C在AB上的不同位置，畫圖、測(cè)量，得到了線段PC，PD，AD的長(zhǎng)度的幾組值，如下表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00

在PC，PD，AD的長(zhǎng)度這三個(gè)量中，確定________的長(zhǎng)度是自變量，________的長(zhǎng)度和________的長(zhǎng)度都是這個(gè)自變量的函數(shù)；

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)PC=2PD時(shí)，AD的長(zhǎng)度約為________cm.

解析試題以函數(shù)學(xué)習(xí)的全過程為背景，考查函數(shù)概念，學(xué)生在研究幾何圖形中的各元素之間關(guān)系的過程中，首先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)C的不同位置，經(jīng)歷畫圖、測(cè)量、列表的過程，分析量與量之間的關(guān)系，判斷自變量和因變量，確定函數(shù)關(guān)系；再經(jīng)歷描點(diǎn)和畫函數(shù)圖象的過程，探究變量之間的關(guān)系；最后利用建立的函數(shù)模型解決問題.引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注積極地?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)，關(guān)注知識(shí)本質(zhì)，通過直觀地操作活動(dòng)和多層次地思維活動(dòng)，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，并加深理性認(rèn)識(shí).通過此試題的設(shè)置，在引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)教學(xué)更加關(guān)注函數(shù)的主線與本質(zhì).函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)與變化的數(shù)學(xué)模型，它來源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，緊密聯(lián)系實(shí)際，從實(shí)際中抽象出函數(shù)的有關(guān)概念，又運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題，這是貫穿于函數(shù)的主線.對(duì)于函數(shù)的本質(zhì)要把握好兩個(gè)實(shí)質(zhì)：兩個(gè)變量互相聯(lián)系，對(duì)于自變量確定的每一個(gè)確定的值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都唯一確定.

2.4 關(guān)注思維品質(zhì) 體現(xiàn)思維廣度與深度

數(shù)學(xué)思維是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，試題通過對(duì)數(shù)學(xué)思維的廣度與深度的考查，考查學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)的思維過程.

(1)依題意補(bǔ)全圖1；

(2)求證：∠OMP=∠OPN；

(3)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接QP.寫出一個(gè)OP的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)M總有ON=QP，并證明.

圖1

備用圖

解析本題主要從運(yùn)動(dòng)與變化的角度，結(jié)合函數(shù)圖象，考查學(xué)生從特殊到一般、從直觀到抽象、從感性到理性的思維過程.如第27題，第一次設(shè)計(jì)探究條件型問題，學(xué)生需要探尋問題成立的條件，考查學(xué)生在經(jīng)歷猜想、嘗試等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題.試題關(guān)注學(xué)生在解決一個(gè)綜合性問題的過程中，既有操作、猜想發(fā)現(xiàn)和提出問題，又有演繹、證明分析和解決問題，考查學(xué)生的思維廣度與深度.另外，該題取材于課本中的基本圖形，通過從運(yùn)動(dòng)變化和圖形變換的角度進(jìn)行再設(shè)計(jì)，挖掘了教材中知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，用綜合的方法把知識(shí)串在一起，發(fā)揮了教材促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的功能，同時(shí)豐富的試題背景，提供給學(xué)生多角度思考問題的機(jī)會(huì)，提供給學(xué)生展示自我的舞臺(tái).試題難度設(shè)置適中，來源于教材，站位又高于教材，讓老師思考題目與教材試題的相互關(guān)系.

2.5 關(guān)注實(shí)踐能力 體現(xiàn)應(yīng)用價(jià)值

現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量有關(guān)的問題，通過建立數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)的方法予以解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.今年數(shù)學(xué)試卷擴(kuò)大試題選材范圍，加強(qiáng)與學(xué)生生活實(shí)際的聯(lián)系，注重考查知識(shí)的運(yùn)用和實(shí)踐，考查了學(xué)生做事能力.

例5小云想用7天的時(shí)間背誦若干首詩詞，背誦計(jì)劃如下：

①將詩詞分成4組，第i組有xi首，i=1，2，3，4；

②對(duì)于第i組詩詞，第i天背誦第一遍，第(i+1)天背誦第二遍，第(i+3)天背誦第三遍，三遍后完成背誦，其它天無需背誦，i=1，2，3，4；

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1組x1x1x1第2組x2x2x2第3組第4組x4x4x4

③每天最多背誦14首，最少背誦4首.

解答下列問題：

(1)填入x3補(bǔ)全上表；

(2)若x1=4，x2=3，x3=4，則x4的所有可能取值為________；

(3)7天后，小云背誦的詩詞最多為________首.

解析試題以背誦詩詞為背景，考查學(xué)生探求解決實(shí)際問題的最優(yōu)方案的能力，體現(xiàn)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問題的能力.

北京市中考數(shù)學(xué)學(xué)科的改革還在不斷地進(jìn)行探索與完善之中，文章若有不妥之處，請(qǐng)批評(píng)指正.