基于數(shù)學理解性學習的習題課教學①
——從學習者差異原則談起

陳玉娟 季建生

(江蘇省常州高級中學 213003)

理解性學習是和我們常說的機械學習、死記硬背的學習相對立的概念,指“學生通過學習獲得深刻概念性理解的發(fā)展和恰當運用知識的能力”[1].美國國家研究理事會的一份報告《學習與理解：改進美國高中的數(shù)學和科學先修學習》中提出理解性學習的七個原則,本文就其中的學習者差異原則,結合筆者的教學實踐談談數(shù)學習題課的教學,請同行不吝賜教.

1 課前,調(diào)查設計需先行

習題課是新授課的遞進,主要是幫助學生運用已學知識,形成某些數(shù)學的解題技巧,加深對數(shù)學知識的理解,培養(yǎng)數(shù)學思維和數(shù)學意識[2].常規(guī)的習題課教師常常會用整節(jié)課師生共同討論習題.事實上班級學生是存有差異的,學習差異者原則承認學生處理不同符號系統(tǒng)的偏好和不同能力[3].為此,課前教師應調(diào)查、統(tǒng)計、搜集學生學習過程中各方面的情況.

人們常說“拋磚引玉”,從本質(zhì)上說,例題是“磚”,是載體,其目的是要引出“學生思維”這塊“玉”.為此,筆者在關于“橢圓定點、定值及范圍問題”的教學中,依據(jù)教學目標和要求,結合班級學生一段時間內(nèi)出現(xiàn)的困惑及錯誤,按從低到高的難度,歸類、設計下面3類例題,適時安排習題課.(課前給予學生例題,由課代表組織學生根據(jù)自己的學情,對應于3個例題自主成立3個學習小組.)

圖1

圖2

圖3

2 課中,載體內(nèi)容需優(yōu)選

華東師范大學副教授陳家剛教授提出：“對應于學習者差異原則的教學設計應該利用多元表征,相應設計不同的教學活動”.筆者認為,先進課程理念下的數(shù)學習題課因由“關注學生學習結果”轉(zhuǎn)向“關注學生學習活動”.所謂“玉不琢不成器”,要對“玉”用“習題”這把刻刀進行雕琢.“工欲善其事必先利其器”,習題選擇、搭配的重要性不言而喻.為此,筆者擇典型、分層次、有差異地組織以下教學活動解決相關問題.

2.1 以學為主,逐步鋪設臺階,目的性和層次性相結合組織第1組學生活動

普通高中數(shù)學課程標準的核心理念是課堂教學要以學生為主體,以促進人的發(fā)展為本.第1組學生普遍基礎薄弱,例題1的難度并不大,關鍵在于動態(tài)的處理和參數(shù)的設立.已知信息中出現(xiàn)兩個動點和一條動直線,目標是證明與動點相關的定值問題.為此,筆者從學生的實際出發(fā),設計兩個相似類型的典型引例,為他們鋪設思維的臺階.

因為題設中只有一個動點,學生很快找到突破口,設“點參”P解決問題.

圖4

圖5

2.2 先學后教,加強變式訓練,啟發(fā)性和針對性相結合組織第2組學生活動

“施教之功,貴在引路,妙在開竅”.要開啟學生通竅之門,就要讓學生先學,教師根據(jù)學情進行引導、點撥,提高針對性和實效性.為此,筆者針對第2組學生設計如下的教學活動.

首先,引導學生分析例2中題設與目標的關鍵信息：已知動直線過定點(右焦點F),要探求滿足條件“CF平分∠ACB”的定點C,該條件就是兩者間的聯(lián)系源,其實質(zhì)是CA,CB斜率互為相反數(shù),這是本題思維的突破口.

然后,通過本小組學生自主探究,逐步完善,得出如下解答：

因為PF平分∠APB,

最后,教師設計針對性變式訓練,為學生的思維發(fā)展提供階梯,實現(xiàn)“在堅實基礎上的有所發(fā)展”[4].需要提出的是,其間要給予學生充分思考和探索的時間和空間,讓學生在“自審、自評”的過程中暴露問題,動腦、動手學在先,這樣,其求知內(nèi)驅(qū)力會大大增強.

圖7

2.3 以學定教,構建學習共同體,全面性和選擇性相結合組織第3組學生活動

傳統(tǒng)學校教育學習被看成是個人追求,目標是把課本和教師的知識傳遞給學生.這種學校文化阻礙學生相互討論,共同解決問題,因而常常妨礙知識的分享.學習共同體理念則強調(diào)具有不同專長的學習者和教師結成共同體,圍繞學習任務進行互動和協(xié)作,學習者清晰表達自己的思維,教師提供相應指導,學習者之間互相幫助,從而支撐學習者個人知識的發(fā)展[5].

例3的已知信息中共有4個動點,4條動直線,目標是兩個動點間距離的范圍.其中有兩個聯(lián)系源,分別是兩個垂直關系.考慮到第3組學生的數(shù)學基礎和素養(yǎng)比較高,筆者就充分給予機會表現(xiàn)他們的知識和技能,此時教師的引導作用在于有的放矢的“甄別選用”和“相機誘導”.下面選用了他們集思廣益得出的其中3種解決方案.

方法1設k參,利用方程思想,通過“交軌”法尋求動點的Q軌跡.

設直線AB方程為y=kx+m①,代入橢圓方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,

設點A(x1,y1),B(x2,y2),

得(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=0.

所以(1+k2)(2m2-4)-4m2k2+m2(1+2k2)=0，

即 3m2=4(1+k2)②.

方法2設k參,利用數(shù)形結合思想,通過圓的定義直接尋求動點Q的軌跡.

所以OA2+OB2=AB2,OQ·AB=OA·OB.

方法3設點參,利用消元轉(zhuǎn)化思想,由定義直接探求動點Q的軌跡.

設點A(x1,y1),B(x2,y2),

學習共同體需設計便于學生以團隊形式互動和協(xié)作,獲得和發(fā)展技能的課堂環(huán)境.提供機會使學生與教師或同伴就學科內(nèi)容進行拓展性的對話交流,挑戰(zhàn)彼此觀點,重建思維[6].

3 課后,總結評價需跟進

先進課程理念下的數(shù)學習題課應由“注重考試分數(shù)的終結性評價”轉(zhuǎn)向“注重促進人的發(fā)展的過程性評價”.為此,教師還應根據(jù)學習者差異設計恰當?shù)膶W習評價,使具有不同學習風格的學生有各種機會表現(xiàn)他們的知識和技能.

筆者采取的方案是“小題大做”！我們加入“數(shù)學寫作”學校聯(lián)盟.習題課后教師組織、指導學生在反思、感悟的基礎上進行總結提煉,形成文字,指導學生數(shù)學寫作.積極參與聯(lián)盟的第一屆寫作競賽活動,高二全年級參與,共征集論文80余篇,擇優(yōu)選送了10篇參與評選,共獲得二等獎3篇,三等獎3篇的好成績，極大提高了學生數(shù)學學習的興趣和自信.筆者認為這也是一種超越分數(shù)之上的體現(xiàn)新穎性和創(chuàng)新性的學習評價方式.

結束語

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》提出為每個學生提供適合的教育.而適合的前提是有選擇,可選擇.筆者認為在習題課教學中,教師應設計符合學生不同發(fā)展能力、知識基礎、愛好和認知風格的課程材料.為不同思維特性的學生提供不同組合的問題,對于同一思維類型的人,針對學習者的能力和興趣設計不同層次的問題.嘗試讓不同的人學習不同的數(shù)學.只有這樣才能體現(xiàn)“為理解而教,為理解而學”,才能幫助學生將學習遷移去解決新的問題,真正實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展.