直觀助思考 思辨破難題
——2017年新課標(biāo)Ⅰ導(dǎo)數(shù)壓軸題剖析及啟示

孫 泰

(北京豐臺(tái)二中 100071)

導(dǎo)數(shù)大題是新課標(biāo)卷的壓軸大作，教學(xué)中如何突破這道難關(guān)？現(xiàn)實(shí)中，歸類題型的“套路”派和借用高等數(shù)學(xué)公式、定理的“高觀點(diǎn)”派教學(xué)方式較為普遍，取得一定的效果，但都遇到了瓶頸，甚至埋下了隱患. 本文以2017年新課標(biāo)Ⅰ導(dǎo)數(shù)題為例，談?wù)勛约旱南敕?，與大家交流學(xué)習(xí)，旨為高三解題教學(xué)做一些探索.

1 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

2 策略剖析

“對(duì)于任何學(xué)科的教學(xué)，最終都應(yīng)當(dāng)把培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科直觀作為重要的價(jià)值取向”[1]，史寧中先生這段話指明了解題教學(xué)的重要方向，那就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題始于直觀，終于理念.

策略1幾何直觀探方向，代數(shù)直觀妙解題

由(Ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，從幾何直觀的角度分析函數(shù)圖象下降，不可能與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)不會(huì)存在兩個(gè)零點(diǎn).

所以要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，必有0

分析f(x0)=ae2x0+(a-2)ex0-x0=ae2x0+aex0+(-2)ex0-x0，代數(shù)直觀，從組成解析式每部分的值的正負(fù)入手，其中含參數(shù)部分ae2x0+aex0>0，不含參數(shù)部分(-2)ex0<0，-x0>0，只需要找到超越不等式(-2)ex0-x0≥0的一個(gè)解，又0-2-x0=0，轉(zhuǎn)化超越不等式存在解問(wèn)題為一次方程的根的問(wèn)題，得x0=-2.至此洞悉標(biāo)準(zhǔn)答案背后的秘密，得來(lái)全不費(fèi)工夫.

直觀感知圖象趨勢(shì)，x→+∞時(shí)，ae2x→+∞,(a-2)ex→-∞,-x→-∞，不易判斷f(x)的符號(hào)，遇到困難.

如何找到呢？

代數(shù)直觀，簡(jiǎn)化函數(shù)，難點(diǎn)在于函數(shù)解析式由超越指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)組合而成，不好處理，利用ex>x(x>0)放縮為可解方程，統(tǒng)一為超越形式

f(x0)=ae2x0+(a-2)ex0-x0

>ae2x0+(a-2)ex0-ex0

策略2代數(shù)直觀巧變換，幾何直觀助解題.

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x零點(diǎn)問(wèn)題的代數(shù)變換方向有：

令h(x)=1-x-ex，

則h′(x)=-1-ex<0，又h(0)=0，

當(dāng)x∈(-∞,0),h(x)>0；

當(dāng)x∈(0,+∞),h(x)<0.

所以g(x)max=g(0)=1.

直觀感知圖象趨勢(shì)，x→-∞時(shí)，ex→0,x→-∞，因此g(x)→-∞；x→+∞時(shí)，e2x→+∞,ex→+∞,x→+∞，不能直接判斷，要么函數(shù)變形

h′(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)，h′(x)<0，

分析函數(shù)g(x)=a(ex+1)的圖象，參數(shù)a的幾何意義是由函數(shù)y=ex+1到g(x)=a(ex+1)的伸縮變換系數(shù).

如圖，當(dāng)a=0時(shí)及a<0時(shí)，圖象直觀看得清楚，代數(shù)論證也不困難.

當(dāng)a>0時(shí)，從幾何直觀開(kāi)始.

當(dāng)0

先證明函數(shù)g(x)與h(x)圖象在(-∞,0)上有一個(gè)交點(diǎn).

至此得到函數(shù)g(x)與h(x)圖象在(-∞,0)上有一個(gè)交點(diǎn).嚴(yán)謹(jǐn)嗎？正確嗎？對(duì)于一般函數(shù)g(x)與h(x)在(-∞,0)上都是增函數(shù)，這個(gè)我們借助直觀而運(yùn)用的“定理”對(duì)嗎？當(dāng)g(x)=x且h(x)=x+sinx發(fā)現(xiàn)這個(gè)“定理”不正確.此題觀察圖象會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)與h(x)圖象一凸一凹，遞增的速度一快一慢，直觀應(yīng)當(dāng)正確，如何表述明白呢？建模構(gòu)造差函數(shù)，研究單調(diào)性質(zhì)，利用零點(diǎn)判定定理可以論證的清清楚楚了.

再證明函數(shù)g(x)與h(x)圖象在(0,+∞)上有一個(gè)交點(diǎn).

先從幾何直觀出發(fā)，借助圖象尋找那個(gè)困難的x0>0且g(x0)-h(x0)>0，

由于不知道差函數(shù)的單調(diào)特征，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明還要構(gòu)造差函數(shù)研究.

變換3.設(shè)t=ex，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題等價(jià)于g(t)=at2+(a-2)t-lnt的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，換元法，實(shí)現(xiàn)函數(shù)結(jié)構(gòu)的變換，成功與否的關(guān)鍵是變換后的函數(shù)是否簡(jiǎn)單、熟悉了.

換元后的函數(shù)由二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)組成，研究函數(shù)g(t)=at2+(a-2)t-lnt,

當(dāng)a≤0，g′(t)<0，則g(t)單調(diào)遞減；

換元后函數(shù)g(t)由二次型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)成，一動(dòng)一靜凸凹有別，導(dǎo)函數(shù)熟悉、親切.

對(duì)于此函數(shù)同上面函數(shù)類型相似的變換，得到一系列解決方法，不贅述.

3 教學(xué)啟示

3.1 回歸教材，筑牢根基，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)

課本是試題的根本來(lái)源，高考試題題在卷面上，根在課本內(nèi)，高考命題原則是：考查基礎(chǔ)，立足穩(wěn)定的基礎(chǔ)上創(chuàng)新，那么靠什么保證基礎(chǔ)，靠什么決定穩(wěn)定，不是試題不變，題型不變，而是課本，課本中不僅有穩(wěn)定的知識(shí)，經(jīng)典的方法，引申的結(jié)論，同時(shí)蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.回歸課本，不是拘泥于課本，單一的回顧知識(shí)、方法，而是站在整體的高度詮釋系統(tǒng)的知識(shí)，讓不同的知識(shí)交匯，建構(gòu)起知識(shí)的立體網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生思維騁馳在四通八達(dá)的立體高速公路上，最終到達(dá)數(shù)學(xué)的巔峰.

3.2 深化思想，提高能力，優(yōu)化思維品質(zhì)

教學(xué)重視知識(shí)、技能、方法的同時(shí)，要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想、經(jīng)歷數(shù)學(xué)的思維分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程，以數(shù)學(xué)思想為魂，統(tǒng)領(lǐng)復(fù)習(xí)，這樣才能參透通性通法，而不是陷入同型同法的簡(jiǎn)單重復(fù)和模仿，解題僵化，縱使刷題無(wú)數(shù)，遇到新問(wèn)題，還是遭遇無(wú)法解決的囧地.如在函數(shù)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)方程、數(shù)學(xué)建模、轉(zhuǎn)化化歸思想和極限思想的運(yùn)用，加強(qiáng)空間想象能力、抽象概括能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、推理論證能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的提升，加強(qiáng)形象思維、抽象思維(形式思維和辯證思維)、直覺(jué)思維和創(chuàng)造思維培養(yǎng).

3.3 落實(shí)素養(yǎng)，積累經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建深度學(xué)習(xí)

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本涵義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)教學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能使他們逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理. 不可忽視教學(xué)活動(dòng)中，不斷積累、濃縮、升華基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)既有形象性、可視性又有整體性的數(shù)學(xué)直觀(幾何直觀、代數(shù)直觀)，形成直觀—抽象—推理—直觀的螺旋發(fā)展模式，真正進(jìn)入深度學(xué)習(xí). 而現(xiàn)實(shí)教學(xué)，解題中遇到難以突破的關(guān)口，諸如套用題型“通性通法”，蒙混過(guò)關(guān)，借用高等數(shù)學(xué)公式、定理工具，表面完美解決，實(shí)則不解其意，這樣的教學(xué)，以分?jǐn)?shù)為目標(biāo)，到頭來(lái)終是難得高分，更可惜的是斷送學(xué)生面對(duì)思維受阻，山窮水復(fù)疑無(wú)路，不斷探索，攻堅(jiān)克難百折不撓后，柳暗花明又一村的寶貴心路體驗(yàn)，養(yǎng)成追求簡(jiǎn)捷與形式優(yōu)美的思維方式和行為習(xí)慣的機(jī)會(huì).

4 結(jié)束語(yǔ)

著名數(shù)學(xué)家柯朗在《什么是數(shù)學(xué)》一書(shū)開(kāi)篇寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求. 它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個(gè)別性，雖然不同的傳統(tǒng)強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，然而正是這些互相對(duì)立的力量的相互作用以及它們綜合起來(lái)的努力才構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、用途和它的崇高價(jià)值”，這段激蕩人心的文字啟示我們展示數(shù)學(xué)基本要素和人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅是高效的教學(xué)，更是愉悅我們心智的精神饕餮，學(xué)會(huì)思考的教學(xué)才最有價(jià)值.