高中數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)中的問(wèn)題、成因及對(duì)策①

黃桂君 田冬軍 鐘志華

(1.江蘇省高郵中學(xué) 225600； 2.喀什大學(xué) 844008； 3.南通大學(xué) 226019)

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)語(yǔ)言既是數(shù)學(xué)思維的載體，又是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn).斯托利亞爾提出:“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)”.[1]能否運(yùn)用恰當(dāng)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有邏輯地表達(dá)、交流體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低．可見(jiàn)，學(xué)會(huì)正確、合理地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)基本而重要的任務(wù).但從高中教學(xué)實(shí)際情況看，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)還存在種種問(wèn)題．本文結(jié)合實(shí)例分析高中數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)中存在的問(wèn)題、成因及對(duì)策.

2 主要問(wèn)題

2.1 書(shū)寫(xiě)較隨意

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于數(shù)學(xué)符號(hào)的大量出現(xiàn)，許多學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)往往記憶不清晰、書(shū)寫(xiě)較隨意，丟三落四、張冠李戴．例如，將分段函數(shù)寫(xiě)成：

2.2 表述不規(guī)范

2.3 意義不了解

如果說(shuō)前兩種問(wèn)題是數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)中存在的淺層次問(wèn)題，那么“意義不了解”則是數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)中存在的深層次問(wèn)題．在數(shù)學(xué)教學(xué)中許多教師往往很少讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)所代表的數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，學(xué)生只能靠死記硬背來(lái)掌握表示這些數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，由于記憶不深或經(jīng)常不用就會(huì)出現(xiàn)遺忘或混淆．比如，教學(xué)函數(shù)概念時(shí)，筆者曾經(jīng)讓學(xué)生回憶初中函數(shù)定義，但一連喊了幾個(gè)學(xué)生都不會(huì)說(shuō)(因?yàn)榭荚嚥豢?，只有極個(gè)別學(xué)生勉強(qiáng)說(shuō)個(gè)大意．然后要求他們用對(duì)應(yīng)的思想、集合的語(yǔ)言嘗試重新闡述函數(shù)的定義，[8]學(xué)生不預(yù)習(xí)不看著書(shū)就幾乎不會(huì)說(shuō)．更讓人驚訝的是，許多學(xué)生甚至在函數(shù)一章學(xué)完以后也無(wú)法準(zhǔn)確地說(shuō)出函數(shù)的概念．筆者曾經(jīng)做了一個(gè)簡(jiǎn)單的調(diào)查，在2016年寒假結(jié)束前隨機(jī)抽取某重點(diǎn)中學(xué)高一兩個(gè)班，要求學(xué)生口述并書(shū)寫(xiě)初、高中函數(shù)的定義，結(jié)果每個(gè)班約有八成的學(xué)生說(shuō)不出或不能完整地寫(xiě)出函數(shù)的定義，更不要提初高中函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系了，但有關(guān)函數(shù)的題目照做不誤.

可見(jiàn)，許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解還僅僅停留在識(shí)記性理解和操作性理解的層次，還沒(méi)有達(dá)到意義性理解的層次．[2]

2.4 思維不嚴(yán)謹(jǐn)

沒(méi)有充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)語(yǔ)言產(chǎn)生的思維過(guò)程固然會(huì)造成數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解的困難，但僅有思維而思維不嚴(yán)謹(jǐn)同樣也會(huì)造成數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解和運(yùn)用的困難．常見(jiàn)的書(shū)寫(xiě)證明時(shí)漏寫(xiě)條件或以直觀代替證明就屬于這種現(xiàn)象．比如，有學(xué)生在證明“如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱BB1上．求證：直線DE∥平面A1C1F”(2016年江蘇第16題一部分)時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)不寫(xiě)或不寫(xiě)全“DE?平面A1C1F”與“A1C1?平面A1C1F”這兩個(gè)條件就直接得到DE∥平面A1C1F的情況．歸根結(jié)底是學(xué)生對(duì)直線與平面平行判定定理的理解不深，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到推理必須遵循充足理由律這一邏輯規(guī)則．(因?yàn)樵谶@些學(xué)生看來(lái)既然圖中已經(jīng)很清楚了，就沒(méi)有必要再“啰嗦”了).

2.5 轉(zhuǎn)換不靈活

數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)存在的另一深層次問(wèn)題是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表征方式單一、難以靈活地在各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言不僅形式多樣(通常有符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言這三種)，而且同一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以采用不同的表達(dá)方法．這就容易導(dǎo)致學(xué)生難以理解、使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言．比如許多學(xué)生一見(jiàn)到“?x1，x2∈A，則(f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min”這樣的問(wèn)題就發(fā)懵．在解答“定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)<0恒成立，且f(4)=1，若f(x+y)≤1，則x2+y2+2x+2y的最小值是多少？”這道題時(shí)，不善于進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換，不知道要將“定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)<0恒成立”這句話轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減”，不能將條件“f(4)=1與f(x+y)≤1”轉(zhuǎn)化為“f(x+y)≤f(4)”這一形式然后再利用性質(zhì)“函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減”進(jìn)一步將“f(x+y)≤f(4)”轉(zhuǎn)化為“x+y≥4”這一新的形式．可見(jiàn)，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力十分必要.

3 問(wèn)題成因

3.1 忽視數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的記憶教學(xué)

智力由記憶力、注意力、觀察力、想象力、思維力五種因素構(gòu)成，其中，記憶力是對(duì)事物識(shí)記和保持的能力，是把關(guān)于事物的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)銘刻在頭腦中，沒(méi)有記憶，知識(shí)就會(huì)如過(guò)眼煙云、轉(zhuǎn)瞬即逝.心理學(xué)研究表明，任何新知識(shí)只有建立在已有知識(shí)基礎(chǔ)上，并納入其系統(tǒng)之中，才能保證形成新的知識(shí)系統(tǒng)．因此，如果沒(méi)有記憶的參加，我們將無(wú)法很好的利用已有知識(shí)去學(xué)習(xí)新知識(shí)．在高中，許多學(xué)生就是因?yàn)楹鲆晹?shù)學(xué)符號(hào)記憶而出現(xiàn)不了解各個(gè)概念的符號(hào)表示，不了解數(shù)學(xué)符號(hào)的具體意義及在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)公式時(shí)或模棱兩可、或張冠李戴等問(wèn)題.

面狀影響因子將多年測(cè)土配方數(shù)據(jù)、野外采樣化驗(yàn)數(shù)據(jù)、土壤普查數(shù)據(jù)、DEM數(shù)據(jù)等通過(guò)地統(tǒng)計(jì)分析與空間鏈接屬性附加的方法，賦予數(shù)據(jù)后，根據(jù)情況應(yīng)用最大最小值法或均值度法賦予分值。在對(duì)面狀影響因子賦值時(shí)，為了更準(zhǔn)確的將因素分值賦予定級(jí)單元，本研究考慮了兩種方法。

比如在解答“設(shè)M={y|y=3-x2}，N={y|y=x2-1}，則M∩N=”這一問(wèn)題時(shí)，常常有學(xué)生誤認(rèn)為答案為{1}，究其緣由，學(xué)生受初中二次函數(shù)思維定勢(shì)的影響，一看到M={y|y=3-x2}就想到二次函數(shù)及其圖象，將求M∩N理解為求兩條二次曲線的交點(diǎn)，聯(lián)立解方程，由3-x2=x2-1解得x2=2，代入求得y=1．沒(méi)有認(rèn)識(shí)到集合M={y|y=3-x2}與N={y|y=x2-1}表示的是y軸上的某個(gè)區(qū)間，M∩N實(shí)質(zhì)為兩個(gè)二次函數(shù)的值域的交集.

3.2 忽視學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的訓(xùn)練

在人們的潛意識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)解題，即做題目.弗來(lái)登塔爾認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是“做數(shù)學(xué)”，好像學(xué)數(shù)學(xué)就不需要“說(shuō)數(shù)學(xué)”．事實(shí)上，不僅“做數(shù)學(xué)”十分重要，“說(shuō)數(shù)學(xué)”也十分重要．但現(xiàn)在的學(xué)生往往只會(huì)“做題目”，而不會(huì)“說(shuō)數(shù)學(xué)”——數(shù)學(xué)表達(dá).學(xué)生不善于數(shù)學(xué)表達(dá)雖然原因很多，但主要原因還是教師，許多教師壓根兒就沒(méi)有這方面的意識(shí)，他們認(rèn)為高考就考解題、不考概念，在概念教學(xué)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)訓(xùn)練上多花功夫太不值得．其實(shí)，他們忘了磨刀不誤砍柴工這一道理，沒(méi)有真正搞清楚數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)思維之間的關(guān)系，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體和工具，沒(méi)有數(shù)學(xué)語(yǔ)言就沒(méi)有數(shù)學(xué)思維．結(jié)果許多訓(xùn)練就變成了沒(méi)有真正理解概念以后的亡羊補(bǔ)牢．比如，許多教師講授函數(shù)概念的方法就是先將函數(shù)的定義直接很快地投影一下，然后就通過(guò)諸如：判斷下列對(duì)應(yīng)是否構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)：

(1)A={x|x是矩形}，B={x|x是圓}，對(duì)于任意的x∈A，x→x的外接圓；

(2)A=B=N*，對(duì)于任意的x∈A，x→|x-2|；

等大量題目一點(diǎn)一滴、反反復(fù)復(fù)地彌補(bǔ)學(xué)生對(duì)函數(shù)定義中“兩個(gè)非空數(shù)集”，“A中每一個(gè)元素”，“B中有唯一元素”，“從A到B”等關(guān)鍵詞理解的缺位．當(dāng)然，這樣做不能說(shuō)一點(diǎn)效果都沒(méi)有，但效果肯定很差，充其量只能說(shuō)是事倍功半．這就像寫(xiě)一個(gè)字或畫(huà)一幅畫(huà)，如果沒(méi)有事先的精心構(gòu)思，而是臨時(shí)一筆一畫(huà)反復(fù)描涂，那就很容易顧此失彼、很難有效率可言.

3.3 沒(méi)有充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程

記憶固然可以促進(jìn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的掌握，但記憶效果往往很有限，而且隨著時(shí)間推移記憶會(huì)逐漸淡忘甚至遺忘．張載認(rèn)為：“書(shū)多閱而好忘者，只因理未精耳．理精，則須記了無(wú)去處也．”因此，要真正理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言就必須讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)語(yǔ)言所表征的數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程．目前，很多數(shù)學(xué)教師的法寶就是“快講多練”，他們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)時(shí)，很少會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程，而是像魔術(shù)師那樣不斷變出新概念、新名詞讓學(xué)生無(wú)休止地死記硬背，繼而沒(méi)完沒(méi)了地解題訓(xùn)練．結(jié)果學(xué)生既不知道為什么要學(xué)習(xí)，也不知道知識(shí)從哪里來(lái)、到哪里去，學(xué)生完全淪為知識(shí)的容器和解題的機(jī)器，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成了枯燥無(wú)味、毫無(wú)樂(lè)趣的苦海．比如學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，學(xué)生既不知道初中學(xué)了函數(shù)高中為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)，也不知道初高中函數(shù)概念之間到底有何區(qū)別與聯(lián)系，更不知道函數(shù)概念產(chǎn)生與發(fā)展的歷史，只知道要記住這個(gè)規(guī)定、那個(gè)要點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最根本的東西——興趣已經(jīng)完全堙沒(méi)在死記硬背和枯燥訓(xùn)練的數(shù)學(xué)海洋之中.

3.4 不善于運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行思維

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，而用數(shù)學(xué)的思維分析世界最重要的就是要盡可能地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)分析世界.如果這個(gè)問(wèn)題在義務(wù)教育階段還不突出的話，那么在高中階段立刻凸顯出來(lái)，因?yàn)楦咧须A段進(jìn)行數(shù)學(xué)思維更多依賴(lài)的是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言而不是文字語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言．A.Luria指出，“在不具有詞語(yǔ)的情況下，人類(lèi)只能處理那些他們能夠直接感知和操作的事物，借助于語(yǔ)言的幫助，他們則可以處理那些并沒(méi)有直接感知到的事物以及構(gòu)成了上代人經(jīng)驗(yàn)的事物，從而就在人類(lèi)的世界中加入了一個(gè)新的維度．”[3]維果斯基也認(rèn)為，“思維不僅用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)；思維是通過(guò)言語(yǔ)才開(kāi)始產(chǎn)生并存在的．思維和語(yǔ)言在某種程度上用不同于知覺(jué)的方式反映現(xiàn)實(shí)，兩者是開(kāi)啟人類(lèi)意識(shí)本質(zhì)的鑰匙．”[4]由此可見(jiàn)，用數(shù)學(xué)的思維分析世界首先要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，離開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)思維就成了“空轉(zhuǎn)的輪子”．認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，也就不難理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)的重要性了.

3.5 數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換能力比較薄弱

4 解決對(duì)策

4.1 加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的記憶教學(xué)

雖然我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中反對(duì)死記硬背，但必要的記憶不可或缺，因?yàn)樵S多數(shù)學(xué)符號(hào)都是數(shù)學(xué)家早就規(guī)定好的并且經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期使用已得到大家的公認(rèn)，這些符號(hào)非記不可．孔子說(shuō)過(guò)：“日知其所無(wú)，月無(wú)亡(忘)其所能，可謂好學(xué)也已矣”，大家耳熟能詳?shù)摹皩W(xué)而時(shí)習(xí)之”、“溫故知新”等，可見(jiàn)記憶的重要性．但記憶除了機(jī)械記憶外，還有理解記憶.我們反對(duì)機(jī)械記憶，特別反對(duì)死記硬背數(shù)學(xué)的思維過(guò)程、解題過(guò)程．在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)中雖然機(jī)械記憶不可避免，但教師可以充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，創(chuàng)造各種巧妙的方法幫助學(xué)生在充分理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶．比如通過(guò)重復(fù)、運(yùn)用變式、借助口訣、理解意義等途徑幫助學(xué)生加強(qiáng)記憶．比如教學(xué)完全平方公式時(shí)可編寫(xiě)“首平方又末平方，二倍首末在中央．和的平方加再加，先減后加差平方”這樣的口訣，既朗朗上口，又便于記憶；又比如對(duì)于指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于零且不等于1，函數(shù)的符號(hào)為什么用“f”等概念的記憶，如果能講出這樣規(guī)定背后的道理，那么學(xué)生就比較容易理解，可以避免死記硬背；再比如通過(guò)各種三角公式之間的相互推導(dǎo)理解和記憶三角公式，借助正六邊形記憶六個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系顯然要比單純記憶效果要好得多.

4.2 加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的訓(xùn)練

正所謂“學(xué)重要的在于說(shuō)”，即表達(dá).數(shù)學(xué)表達(dá)首先反映了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的內(nèi)在需要．維果斯基認(rèn)為，“思維和語(yǔ)言之間的關(guān)系不是一件事情而是一個(gè)過(guò)程，是從思維到語(yǔ)言和從語(yǔ)言到思維的連續(xù)往復(fù)運(yùn)動(dòng)．在這個(gè)過(guò)程中，思維與語(yǔ)言的關(guān)系經(jīng)歷了變化，這些變化本身在功能意義上可以被視為一種發(fā)展．”[5]這說(shuō)明思維的運(yùn)動(dòng)、成長(zhǎng)和發(fā)展自始至終都離不開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)思維的外在表現(xiàn)形式．其次，數(shù)學(xué)表達(dá)又是師生之間、生生之間相互交流與合作的需要．歐拉認(rèn)為，“無(wú)論一個(gè)人運(yùn)用抽象的能力有多強(qiáng)，同時(shí)還在頭腦中融入了一般的思想，但如果沒(méi)有書(shū)面或口頭語(yǔ)言作為幫助，他就不可能取得重大進(jìn)展．……對(duì)于人類(lèi)來(lái)說(shuō)，語(yǔ)言唯一的目的就是在人類(lèi)之間相互傳遞他們的感知．……人類(lèi)確實(shí)需要語(yǔ)言，這是與其他人溝通的需要，同時(shí)也是培養(yǎng)、磨練他們自己思想的需要．”[6]再次，數(shù)學(xué)表達(dá)有助于學(xué)習(xí)者進(jìn)行自我評(píng)價(jià)．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要獨(dú)立思考，但絕不是閉門(mén)造車(chē)．由于數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性、綜合性，一個(gè)人的理解往往會(huì)存在一定的片面性甚至錯(cuò)誤，而如果能夠通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)把自己的理解講出來(lái)，那么就可以通過(guò)聽(tīng)者的反應(yīng)了解和評(píng)價(jià)自己的理解是否片面或錯(cuò)誤．由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要充分尊重學(xué)生的主體地位，想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生暢所欲言，在交流的過(guò)程中促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的深化和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的提高．比如在解決“若關(guān)于x的方程sin2x-4cosx+(a-1)=0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，甲乙兩位學(xué)生通過(guò)下面的主動(dòng)表達(dá)與交流，不僅學(xué)到意想不到的思路和方法，而且提高了數(shù)學(xué)表達(dá)能力，增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

甲：把x看成自變量，a看成函數(shù)，就是要求函數(shù)a=1-sin2x+4cosx的值域.

乙：為什么？

甲：方程有一個(gè)解x，代入方程就有一個(gè)a值出現(xiàn).

乙：a的值與x的值又不是一個(gè)對(duì)一個(gè)的，我還是不太懂．……

他們來(lái)問(wèn)我，我對(duì)乙說(shuō)，從最簡(jiǎn)單的想法出發(fā)，你怎么考慮？乙說(shuō)已知條件告訴我們方程有解，我想解方程．我說(shuō)當(dāng)然可以呀，動(dòng)筆試一試.

師：這能說(shuō)原方程有解嗎？

師：怎樣才能說(shuō)明有解呢？

師：很好！問(wèn)題不是解決了嗎？

乙：驚喜！(意外嘗試成功)

乙：那甲的解法是為什么？

師：你的解法是最基本的方法．甲是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=t2+4t(t=cosx∈[-1,1])與y=a的圖像有交點(diǎn)的問(wèn)題.

師：結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)a的取值范圍的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)y=t2+4t(t∈[-1,1])的函數(shù)值的取值范圍，也就是甲所說(shuō)的思想方法.

4.3 讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程

朱熹說(shuō)過(guò)：“誦讀者，所以助其思量，常教此心在上面流轉(zhuǎn)．若只是口里讀，心理不思量，看如何也記不細(xì)．”“讀了又思，思了又讀，自然有意．若讀而不思，而不知其味；思而不讀，縱使曉得，終是卼臲不安．……，若讀得熟，而思得精，自然心與理一，永遠(yuǎn)不忘．”可見(jiàn)記憶與思維之間的辯證關(guān)系：記憶是思維的基礎(chǔ)，思維是記憶的條件．只有思維與記憶協(xié)同工作，在記憶基礎(chǔ)上理解，在思維參與下記憶，才能“心與理一，永遠(yuǎn)不忘”．因此，要想讓學(xué)生長(zhǎng)期、牢記地記住所學(xué)的知識(shí)，就必須讓學(xué)生在深入思考的基礎(chǔ)上真正理解．具體來(lái)說(shuō)，就是要讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，知道知識(shí)從哪里來(lái)，到哪里去.比如，對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生如果充分了解函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展歷史，就能厘清初高中函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，就能消除“既然初中已經(jīng)學(xué)了函數(shù)，高中為什么還要再學(xué)函數(shù)”的疑惑，就不需要死記硬背而可以通過(guò)理解記憶掌握函數(shù)概念．再比如三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，如果直接給出定義，學(xué)生往往不能理解這樣定義的道理，只能采取死記硬背的辦法來(lái)學(xué)習(xí)．如果讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)世界中存在許多圓周運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，為了描述這些圓周運(yùn)動(dòng)，需要建立數(shù)學(xué)模型，這種模型反映的是圓周上的點(diǎn)隨轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化的函數(shù)關(guān)系，而點(diǎn)的位置又由橫、縱坐標(biāo)表示，這樣自然就要研究圓周上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)隨轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化的函數(shù)關(guān)系，……．經(jīng)歷這樣的知識(shí)形成過(guò)程，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義就比較容易理解了.

4.4 培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言思維的習(xí)慣

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界．[7]用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，除了從數(shù)學(xué)的角度觀察世界外，更多的是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把觀察的結(jié)果表示為數(shù)學(xué)問(wèn)題；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界則是借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、演算并由此解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界則是把這些思維過(guò)程、思維結(jié)果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)的過(guò)程．可見(jiàn)，“三會(huì)”中哪一方面都離不開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言．正因?yàn)槿绱?，在?shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)努力創(chuàng)造條件培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言思維的習(xí)慣．比如，在概念的教學(xué)中，教師應(yīng)在對(duì)一類(lèi)事物共同本質(zhì)屬性觀察的基礎(chǔ)上盡可能創(chuàng)造條件讓學(xué)生經(jīng)歷從文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的過(guò)程；在命題的教學(xué)中充分引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)圖形、圖像觀察基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述圖形、圖像的性質(zhì)；在數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)思維的過(guò)程中讓學(xué)生養(yǎng)成講話準(zhǔn)確、書(shū)寫(xiě)精煉的習(xí)慣，做到能用數(shù)學(xué)符號(hào)解決的問(wèn)題盡可能采用數(shù)學(xué)符號(hào)，少用甚至不用文字語(yǔ)言．比如，教學(xué)函數(shù)單調(diào)性概念，[8]首先圖形語(yǔ)言直觀刻畫(huà)——由左向右看呈上升或下降趨勢(shì)；然后文字語(yǔ)言定性刻畫(huà)——函數(shù)值隨著自變量值的增大而增大或減??；最后符號(hào)語(yǔ)言定量刻畫(huà)——用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言對(duì)圖形觀察和文字?jǐn)⑹鲞M(jìn)行形式化．在形式化過(guò)程中，教師不是直接向?qū)W生呈現(xiàn)定義，而是先提問(wèn)學(xué)生能否由1<2<3<…<99<100，f(1)f(2.3)>…>f(2.9)>f(3)，那么函數(shù)f(x)是否還在[1,100]內(nèi)單調(diào)遞增？如何確切地進(jìn)行表述？讓學(xué)生認(rèn)識(shí)定義函數(shù)單調(diào)性時(shí)一定要對(duì)任意兩個(gè)自變量及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較，從而自然而然地得到“如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2，當(dāng)x1

4.5 加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練