大學(xué)視角下的中學(xué)數(shù)學(xué)(導(dǎo)數(shù))

李尚志

(北京航空航天大學(xué) 100083)

例1(2017理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅲ第21題)函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

解(1)f(1)=0.要使f(x)≥0在定義域(0,+∞)內(nèi)成立，

(2)由(1)知道lnx≤x-1對(duì)x>0成立.

記t=x-1，則x=1+t.ln(1+t)≤t對(duì)t>-1成立.因此

因此m>2.只能m=3.

大學(xué)視角第(1)小題的做法是很常規(guī)的基本方法，得出的不等式

f(x)=x-1-lnx≥0,即lnx≤x-1(?x>0)

卻是攻克第(2)小題的關(guān)鍵.本題的第(1)小題不是為了為難學(xué)生，反而為了提示他們利用以上不等式得到

幫助做第(2)題.

不過(guò)，我一看到第(2)題首先想到的不是對(duì)數(shù)不等式lnx≤x-1,而是指數(shù)不等式ex≥1+x.直接得到

不需要借助對(duì)數(shù)繞圈子.

借題發(fā)揮 自然對(duì)數(shù)為什么最自然

我第一次見到e，是中學(xué)課本上講對(duì)數(shù)的最后一句話：“科學(xué)上通常用一個(gè)無(wú)理數(shù)e=2.71828…作為對(duì)數(shù)的底，叫做自然對(duì)數(shù).”為什么不用最自然的10為底，偏要用一個(gè)無(wú)理數(shù)？當(dāng)時(shí)覺(jué)得一點(diǎn)都不自然.

1.幸運(yùn)斜率為何幸運(yùn)

中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)在學(xué)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并且成為高考中必考內(nèi)容.導(dǎo)數(shù)用來(lái)干什么？一個(gè)重要用途是判定函數(shù)的遞增、遞減、極值.還有一個(gè)簡(jiǎn)單而重要的用途是求切線方程.

圖1

由圖看出：曲線y=lnx始終在切線y=x-1下方.始終有x-1≥lnx,x-1-lnx≥0.這正是例1第(1)小題的答案.如果y=alnx在點(diǎn)(1，0)的切線斜率a≠1,曲線y=alnx與直線y=x-1在點(diǎn)(1，0)相交而不相切，曲線在這點(diǎn)穿越直線y=x-1,不可能始終在直線y=x-1下方，不能保持x-1-alnx≥0.

將平面上所有的圖形關(guān)于直線y=x作軸對(duì)稱變換，則右下方的對(duì)數(shù)曲線y=lnx及其切線y=x-1翻轉(zhuǎn)到左上方的x=lny及其切線x=y-1，也就是變成指數(shù)曲線y=ex及其切線y=1+x，指數(shù)曲線始終在切線的上方，不等式ex≥1+x對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立.

指數(shù)曲線y=ex在點(diǎn)(0，1)的切線斜率也可用指數(shù)函數(shù)f(x)=ex求導(dǎo)公式(ex)′=ex得到：f′(0)=e0=1，切線方程為y=1+x.

為什么對(duì)數(shù)曲線y=lnx在點(diǎn)(1，0)的切線斜率正好是1，指數(shù)曲線y=ex在(0，1)的切線斜率也正好是1？為什么如此幸運(yùn)？

不是天上掉下來(lái)的幸運(yùn).是我們選擇了對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax和指數(shù)函數(shù)y=ax的底a=e,才贏得了如此幸運(yùn).

我們來(lái)計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax在x=1的導(dǎo)數(shù)f′(1).

=logae,

要使f′(1)=logae=1,只能選a=e，得到的對(duì)數(shù)記為lnx,稱為自然對(duì)數(shù)，它在(1,0)的切線方程為y=x-1.

如果換成常用對(duì)數(shù)f(x)=lgx=log10x,則使f′(1)=lge≈0.43429,切線方程為y=0.43429x-1.你認(rèn)為比y=x-1更自然嗎？

再來(lái)計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax在任意x>0的導(dǎo)數(shù)

再來(lái)計(jì)算指數(shù)函數(shù)y=f(x)=ax在x的導(dǎo)數(shù)

令u=at-1，則t=loga(1+u).當(dāng)t→0時(shí)u→0，

因此

取a=e,則(ex)′=ex,f′(0)=e0=1，曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)的切線方程為y=1+x.如圖1.

2.對(duì)數(shù)表怎樣編出來(lái)的

7640÷2784=10b÷10c=10b-c,

由x=10y算指數(shù)y就是求對(duì)數(shù)y=log10x,x叫做真數(shù).以10為底的對(duì)數(shù)log10x簡(jiǎn)記為lgx，稱為常用對(duì)數(shù)，需要編出對(duì)數(shù)表，由真數(shù)x查對(duì)數(shù)y=lgx.還需要反對(duì)數(shù)表由對(duì)數(shù)y=lgx查真數(shù)x=10y.

怎樣編對(duì)數(shù)表？算出10的正整數(shù)次冪10y=x.則y=lgx.例如

x110100y=lgx012

這個(gè)對(duì)數(shù)表基本上沒(méi)什么用：x值從1跳到10間隔太大，2，3，…，9全都沒(méi)有，更別說(shuō)2.784，7.640了.怎么改進(jìn)？假如能夠算出10的1萬(wàn)次方根q=100.0001,將q的9999個(gè)正整數(shù)次冪λm(1≤m≤9999)插入1與10之間的大間隔，分割成10000個(gè)微小間隔.則lgq=0.0001，lg(qm)=0.0001m.這個(gè)對(duì)數(shù)表的精確度就很高了：

x1qq2…qm…q999910y=lgx00.00010.0002…0.0001m…0.99991

x=1.0001m11.00011.0002…2.718146…102.74436m012…10000…2302710096lgx≈m2302700.0000430.000087…0.43427…10.43844lnx≈m1000000.00010.0002…1…2.30271.0096

x2.783892.78417…3.58707…7.64001…10m1023910240…12774…20335…23027lgx0.444650.44470…0.55474…0.88309…1lnx1.02391.0240…1.2774…2.0335…2.3027

=lg7.640-lg2.784

=0．88309-0．44465=0．43844

?7640÷2784≈2．744．

=(3+0．88309)÷7=0．55473

簡(jiǎn)而言之：用1．0001的冪編出的對(duì)數(shù)表中，當(dāng)x=1．0001m，則

(1)冪指數(shù)m=log1.0001x是1．0001的對(duì)數(shù)．

3．三角函數(shù)的幸運(yùn)斜率

代入得

答案：C．

例2看起來(lái)不涉及導(dǎo)數(shù)，其中關(guān)鍵的不等式sinx

什么是正弦和正切?如圖2．以角AOB的頂點(diǎn)O為圓心畫單位圓,弧AB的弧長(zhǎng)x表示∠AOB．作直角三角形ODB，OAT．則

|DB|=sin∠AOB=sinx，

|AT|=tan∠AOB=tanx.

圖2

直角三角形DAB的直角邊長(zhǎng)|DB|<斜邊長(zhǎng)|AB|<弧長(zhǎng)AB．也就是sinx弧長(zhǎng)AB=x．更確切的證明是利用面積不等式：S△OAB

?sinx

由此不等式得到

作DB和圓弧AB關(guān)于OA的軸對(duì)稱圖形DC，AC．當(dāng)∠BOC所對(duì)弧長(zhǎng)BC=2x→0，

用弦長(zhǎng)|BC|=2sinx代替弧長(zhǎng)的相對(duì)誤差

由此得到，f(x)=sinx與g(x)=tanx在x=0的導(dǎo)數(shù)

曲線y=sinx與y=tanx在(0，0)有公切線y=x．如圖3．

與y=lnx，y=ex不同的是：正弦曲線和正切曲線并非始終在切線y=x同一側(cè)，而是在切點(diǎn)越過(guò)切線到了另一側(cè)．

圖3

對(duì)數(shù)曲線y=lnx在點(diǎn)(1,0)的切線斜率為1，是選擇對(duì)數(shù)的底a=e的結(jié)果．正弦曲線y=sinx與正切曲線y=tanx在(0，0)的切線斜率等于1，則是用弧度制的結(jié)果．正是由于用圓心角在單位圓周上所對(duì)的弧長(zhǎng)x來(lái)度量角，當(dāng)x→0時(shí)弦長(zhǎng)2sinx與弧長(zhǎng)2x趨于相等，比趨于1，才導(dǎo)致了函數(shù)y=sinx在x=0的導(dǎo)數(shù)等于1．