多軸同步收放卷系統(tǒng)建模與自適應控制

石賢可， 溫盛軍

(1.中原工學院 電子信息學院， 河南 鄭州450007； 2.中原工學院 中原彼得堡航空學院， 河南 鄭州 450007)

多軸同步收放卷系統(tǒng)是工業(yè)現(xiàn)場中經(jīng)常使用的電氣控制系統(tǒng)，收放卷系統(tǒng)在鋼鐵廠、造紙廠、印刷廠、紡織漂染廠、食品廠、燃料電池廠應用廣泛，涉及軋制、拉拔、壓花、涂層、印染、清洗以及卷繞等工序，其作用是控制卷材的張力，使其保持穩(wěn)定[1]。曾有學者利用動力學建模方法得出了多軸同步收放卷系統(tǒng)開卷機構的數(shù)學模型，并認為，多軸同步收放卷系統(tǒng)張力控制的關鍵是解決速度對張力影響較大的問題[2-3]。陳耀等針對PID (Proportion Integration Differentiation)算法不能解決控制模型突變時動態(tài)響應不佳問題，設計了模糊PID控制器[4]。馬文明等研究了內(nèi)?？刂扑惴ㄔ诙噍S同步張力控制系統(tǒng)中的應用[5]。智能控制算法在多軸同步張力控制系統(tǒng)中的應用，從不同程度上解決了張力控制系統(tǒng)存在的問題。

本文通過推導多軸同步收放卷系統(tǒng)的數(shù)學模型，設計基于模型參考自適應算法的張力控制器，試圖解決以PID算法為張力控制器時系統(tǒng)啟動、升減速階段存在的張力波動過大問題；并且將該控制器應用于收放卷系統(tǒng)，采集相關數(shù)據(jù)，觀察收放卷系統(tǒng)升減速階段的張力變化，以確定該控制器的應用效果。

1 多軸同步收放卷系統(tǒng)結構及數(shù)學模型

1.1 多軸同步收放卷系統(tǒng)的結構

圖1所示為典型的多軸同步收放卷系統(tǒng)結構。在收放卷系統(tǒng)運行中，放卷裝置的卷徑不斷減小,收卷裝置的卷徑不斷增大。通過收卷與放卷，物料按圖1所示從右至左通過工藝區(qū)。對物料按相關工藝處理時,常常要求張力是恒定的，如薄膜行業(yè)的有些加工工藝就要求收卷和放卷環(huán)節(jié)張力恒定。放卷環(huán)節(jié)，物料拉著放卷電機轉(zhuǎn)動，且放卷電機輸出相應的制動轉(zhuǎn)矩而充當阻力，使物料的張力發(fā)生變化；收卷環(huán)節(jié)，收卷電機輸出轉(zhuǎn)矩充當卷繞動力，也會使物料的張力發(fā)生變化。

在圖2所示的西門子多軸同步收放卷系統(tǒng)樣機中，左中為收卷軸，右上為放卷軸，中間有兩個隨動輥和一個夾緊裝置，左上為張力傳感器(用于測量卷材的張力)，編碼器則緊鄰張力傳感器(用于測量卷材的線速度)。該系統(tǒng)以西門子CPU-315T為控制器，S120為變頻器，用于控制左右兩臺伺服電機，協(xié)同完成收卷和放卷過程，并使張力恒定。

1.2 多軸同步收放卷系統(tǒng)的數(shù)學模型

1.2.1 收卷環(huán)節(jié)的動力學分析

這里以收卷環(huán)節(jié)為研究對象。收卷電機工作在轉(zhuǎn)矩模式下(見圖3)。圖3中：Md為電機軸(或稱減速器)輸出轉(zhuǎn)矩；D為收卷卷徑；D0為卷輥直徑；ω為開卷輥的角速度；v為卷材線速度；b為卷材寬度。收卷環(huán)節(jié)的動態(tài)力矩方程為:

圖1 典型的多軸同步收放卷系統(tǒng)結構

圖2 西門子多軸同步收放卷系統(tǒng)樣機

(1)

圖3 收卷電機的轉(zhuǎn)矩工作模式

假定在系統(tǒng)加速瞬間，卷材轉(zhuǎn)動慣量Jk不變且收卷卷徑D不變，則可推導出:

(2)

這里，v=D·ω/2。

由式(2)可知,卷材張力T主要受卷材線速度v(可測量)、收卷卷徑D(可測量)的影響,且張力是關于卷材線速度及其導數(shù)、收卷卷徑平方及其四次方的多項式。由此可見，收放卷系統(tǒng)是一個多輸入多輸出系統(tǒng)，具有參數(shù)不確定性，并極易受卷材線速度的影響[6]。式(2)中不可直接測量的參數(shù)為電機卷輥軸的轉(zhuǎn)動慣量J0和摩擦系數(shù)Bf，其他參數(shù)均可直接測量或由計算得出。通過辨識方法辨識圖4所示電機及減速器相關參數(shù)可知，J0=5×10-5kg·m2，對應于圖4中P1498[0]。

在收放卷系統(tǒng)中減速器的減速比為50∶1，假若減速器無功率消耗，輸入功率與輸出功率相當，則減速器輸入速度與輸出速度比為50∶1，減速器輸入轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩之比為1∶50。這里以電子膠片為實驗卷材，可測量或計算出如下相關參數(shù)：D0=0.076 m，b=0.035 m，Bf=1.9，ρ=1 380 kg/m3。

圖4 電機及減速器相關參數(shù)

1.2.2 伺服電機輸出轉(zhuǎn)矩分析

本文采用西門子S120變頻器驅(qū)動西門子伺服電機。S120變頻器與電機之間采用DRIVE-CLIQ型智能通信電纜。伺服電機的輸出轉(zhuǎn)矩用雙閉環(huán)PID來控制。變頻器驅(qū)動的電機輸出轉(zhuǎn)矩模型為一階系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)矩階躍響應曲線如圖5所示。

圖5 變頻器驅(qū)動的電機輸出轉(zhuǎn)矩階躍響應曲線

圖5中，參數(shù)r1515為總的轉(zhuǎn)矩設定值,r80為電機當前的轉(zhuǎn)矩值。對于給定的系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩值,電機可快速輸出相應的轉(zhuǎn)矩。以轉(zhuǎn)矩設定Mdr為輸入變量，實際電機輸出轉(zhuǎn)矩Mdk為輸出變量，考慮到該收放卷系統(tǒng)裝有減速比為50∶1的減速器，假定無功率損耗，功率相同情況下轉(zhuǎn)矩與速度成反比，則系統(tǒng)實際輸出的轉(zhuǎn)矩與電機輸出的轉(zhuǎn)矩之比為50∶1。根據(jù)一階系統(tǒng)的階躍響應特征，可將S120變頻器控制西門子伺服電機的輸出轉(zhuǎn)矩模型近似為:

(3)

式(2)中只有第一項中的Md是張力系統(tǒng)的可控輸入，而它又是減速器的輸出轉(zhuǎn)矩。故可將式(2)第一項與變頻器控制伺服電機輸出轉(zhuǎn)矩模型式(3)結合起來，推導出如下收放卷系統(tǒng)張力模型：

(4)

式(2)中后兩項與轉(zhuǎn)矩Md無關, 可看作系統(tǒng)的擾動，即

(5)

1.3 卷材線速度與張力耦合性分析

從式(2)可以看出，卷材張力受卷材線速度影響較大。但是，卷材的張力反過來是否對卷材線速度產(chǎn)生影響呢？這并不確定。

放卷電機工作在速度模式下，其轉(zhuǎn)速與卷材線速度之間具有確定的數(shù)學關系。根據(jù)電機工作原理，可將卷材張力波動對放卷電機轉(zhuǎn)速造成的干擾看作放卷電機負載的擾動。矢量控制電機的調(diào)速系統(tǒng)為雙閉環(huán)(速度環(huán)和轉(zhuǎn)矩環(huán))調(diào)速系統(tǒng)，抗干擾能力較強[7]。由此可推斷，卷材張力的波動并不影響放卷電機的轉(zhuǎn)速，從而不會影響卷材的線速度。在電機運行時間為13 500 ms時，對電機施加較大的負載擾動，矢量控制電機的調(diào)速系統(tǒng)中轉(zhuǎn)矩環(huán)及時輸出相應轉(zhuǎn)矩來平衡該擾動，電機轉(zhuǎn)矩曲線會發(fā)生波動，但在速度模式下工作的電機轉(zhuǎn)速并未發(fā)生波動(見圖6)。這表明，卷材的張力變化對電機轉(zhuǎn)速的影響極小，對卷材線速度的影響也極小。

注：上方曲線為電機的轉(zhuǎn)速曲線，下方曲線為電機的輸出轉(zhuǎn)矩曲線。圖6 受負載干擾時電機轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩曲線

2 基于模型參考自適應算法的多軸同步張力控制器設計

自適應控制器具有魯棒性較好的特點。本文以文獻[8]中基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論設計的模型參考自適應方法為基礎，提出了圖7所示狀態(tài)空間方程描述的模型參考自適應系統(tǒng)。其中Kp、KU為系統(tǒng)的控制器?？刂破鞯娜蝿帐钦业終p、KU的自適應律，使系統(tǒng)輸出跟隨參考模型的輸出。

圖7 狀態(tài)空間方程描述的模型參考自適應系統(tǒng)

因李雅普諾夫穩(wěn)定性是在時域中判定的，故可將控制模型等價轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程。轉(zhuǎn)換后狀態(tài)矩陣為：

(6)

參考模型應選取動態(tài)和靜態(tài)響應特性較好的。時間常數(shù)較小的一階系統(tǒng)的階躍響應具有良好的動態(tài)和靜態(tài)特性。本文選取的控制系統(tǒng)參考模型為：

(7)

式(6)轉(zhuǎn)換后所得狀態(tài)空間方程為：

(8)

根據(jù)文獻[8]可確定下列自適應律：

(9)

式中，ΓP和ΓU的取值具有一定的隨機性，可通過實驗確定[9]?？紤]到ΓP和ΓU取值的隨機性，可將ΓPBsT和ΓUBsTP分別等價為任意值kp和ku。因此，本文收放卷系統(tǒng)模型參考自適應控制器的自適應律(一階系統(tǒng)，而非矩陣形式)為：

(10)

kp和ku為任意正數(shù)，可根據(jù)實驗確定。圖8所示為基于模型參考自適應算法的收放卷系統(tǒng)張力控制器的框圖。

圖8 基于模型參考自適應算法的收放卷系統(tǒng)張力控制器框圖

3 實驗、仿真與應用

3.1 PID控制器實驗

將以PID算法設計的速度控制器和張力控制器應用于收放卷系統(tǒng)，進行實驗。圖9所示為基于PID算法的收放卷系統(tǒng)運行實驗結果。從圖9可以看出，在多軸同步張力控制系統(tǒng)中, PID控制器啟動階段出現(xiàn)的超調(diào)較大，約為7.6%，升速階段和減速階段的張力波動過大，約為11%。

3.2 基于模型參考自適應算法的張力控制器仿真

針對式(10)的自適應律，在Simulink中可搭建基于模型參考自適應算法的張力控制器仿真系統(tǒng)(見圖10)。

圖11所示為基于模型參考自適應算法的張力控制器，從啟動到穩(wěn)定以及在20 s時突然升速而在40 s時減速的仿真結果。從圖11可以看出，基于模型參考自適應算法的張力控制器可以較好地抵抗速度變化對其輸出造成的干擾，具備較好的動態(tài)性能。

3.3 基于模型參考自適應算法的張力控制器應用

OPC(OLE for Process Control)通信協(xié)議是一種工業(yè)通信標準，解決了未公開通信協(xié)議的工控軟件之間的通信難題。該協(xié)議包含OPC服務器和OPC客戶端兩部分，工業(yè)控制軟件商提供工控軟件的OPC服務器，而用戶可通過OPC客戶端軟件與OPC服務器實現(xiàn)數(shù)據(jù)的交換[10]。

由于PLC編程軟件不適合編寫較為復雜的控制算法，而MATLAB軟件具有可方便實現(xiàn)高級算法的優(yōu)勢，因此本文采用MATLAB軟件編寫自適應張力控制算法，并通過PLC實現(xiàn)實時控制。這就要求MATLAB與PLC兩款軟件以通信方式交換數(shù)據(jù)。本文參考文獻[11]，采用了OPC通信方式。圖12所示為基于模型參考自適應算法的張力控制器OPC通信集成系統(tǒng)。在該集成系統(tǒng)中，MATLAB作為OPC客戶端軟件，Kepware作為OPC服務器軟件。在Kepware軟件中建立需要讀寫的PLC變量，在MATLAB軟件中編寫自適應律并選擇合適的自適應律參數(shù)，即可實現(xiàn)MATLAB軟件與PLC軟件的數(shù)據(jù)實時交互。

圖9 基于PID算法的收放卷系統(tǒng)運行實驗結果

圖10 基于模型參考自適應算法的張力控制器仿真系統(tǒng)

圖11 基于模型參考自適應算法的張力控制器仿真結果

通過應用，采集運行數(shù)據(jù)，可得圖13所示的基于模型參考自適應算法的張力控制器應用結果。

根據(jù)圖13可計算出，系統(tǒng)啟動階段的超調(diào)量約為5.9%，加減速張力波動在7%左右?？蛇M一步計算出如下結果:與PID控制器相比，基于模型參考自適應控制算法的張力控制器使收放卷系統(tǒng)的啟動階段張力超調(diào)量減小約1.7個百分點，升速減速階段張力波動量減小約4個百分點。

圖12 基于模型參考自適應算法的張力控制器OPC通信集成系統(tǒng)

圖13 基于模型參考自適應算法的張力控制器應用結果

4 結語

本文利用動力學建模方法建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，根據(jù)該模型設計模型參考自適應張力控制器，并將該控制器應用于收放卷系統(tǒng)。通過MATLAB仿真可知，該控制器具有良好的動態(tài)性能和抗干擾性。從應用該控制器的收放卷系統(tǒng)運行數(shù)據(jù)可看出，該控制器較PID控制器減小了收放卷系統(tǒng)的張力超調(diào)量(約為1.7個百分點)和升速減速階段的張力波動量(約為4個百分點)。