數(shù)學(xué)課堂教學(xué)引入片段中的問(wèn)題串設(shè)計(jì)

李太敏

（灌南縣教師發(fā)展中心，江蘇 灌南 222500）

數(shù)學(xué)教學(xué)有一條共識(shí)：利用問(wèn)題尤其是問(wèn)題串來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，更能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，能較快地讓學(xué)生學(xué)會(huì)由已知走向未知，由淺顯走向深入，由感性走向理性。所謂問(wèn)題串是指在一定的學(xué)習(xí)主題框架內(nèi)，圍繞一定目標(biāo)或重、難點(diǎn)，按照一定邏輯結(jié)構(gòu)精準(zhǔn)設(shè)計(jì)的一組問(wèn)題，這組問(wèn)題一般由三個(gè)或三個(gè)以上的問(wèn)題連串而成，并通過(guò)這一個(gè)個(gè)問(wèn)題指向數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法、思想等發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程，從而引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)。使用“問(wèn)題串”進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)能夠引導(dǎo)學(xué)生始終帶著問(wèn)題進(jìn)行積極自主思考，由外及內(nèi)、由表及里、由淺入深地進(jìn)行自我建構(gòu)知識(shí)，并有利于將數(shù)學(xué)知識(shí)由簡(jiǎn)單引向復(fù)雜，由知識(shí)理解等較淺層次引向分析、綜合、評(píng)價(jià)等較高層次。本文試以數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的引入片段為例來(lái)加以說(shuō)明如何進(jìn)行問(wèn)題串設(shè)計(jì)。

一、遞進(jìn)式問(wèn)題串設(shè)計(jì)

遞進(jìn)式問(wèn)題串是指在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)依據(jù)一定的邏輯，按照淺深、輕重、緩急、本末等一定的次序?qū)訉油七M(jìn)，前問(wèn)是后問(wèn)的基礎(chǔ)，后問(wèn)是對(duì)前問(wèn)的延伸，沒(méi)有前者就沒(méi)有后者，這樣的問(wèn)題串連接的是有先后順序的且是連續(xù)發(fā)生的行為或思維過(guò)程等，后問(wèn)比前問(wèn)在意義上、范圍上更進(jìn)一層或更擴(kuò)大，即前后內(nèi)容有程度的加深或者范圍的擴(kuò)大。

案例1《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》引入設(shè)計(jì)片段

師：今天學(xué)習(xí)的是等差數(shù)列的求和，最特殊的等差數(shù)列是什么？

生：首項(xiàng)與公差均為1。

師：不妨取著名的高斯求和——如何求1到100這100個(gè)數(shù)之和？

生：分組，得50（1+100）。

師(遞進(jìn)式)：如何用高斯法求1到101這101個(gè)數(shù)之和？

生：50（1+101）+51。

師（遞進(jìn)式）：如何用高斯法求1到n這n個(gè)數(shù)之和呢？

生：先用奇偶討論，再分組，但奇偶討論后計(jì)算出的結(jié)果相同。

師（遞進(jìn)式）：既然是同一結(jié)果，能否避免討論，關(guān)鍵是什么？

生：利用平均數(shù)，關(guān)鍵是兩兩配對(duì)問(wèn)題。首項(xiàng)、尾項(xiàng)配對(duì)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對(duì)，第三項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)配對(duì)……，即相當(dāng)于倒序相加。

師（遞進(jìn)式）：再一般化，若公差為d，能否求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)a1+a2+……an。

生：仍然是兩兩配對(duì)，倒序相加。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：上述案例通過(guò)設(shè)置遞進(jìn)式問(wèn)題串，以“項(xiàng)數(shù)、公差”這兩個(gè)基本量為問(wèn)題串的連接線而引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而步步緊逼，層層推進(jìn)，一環(huán)扣一環(huán)，以通過(guò)具體的數(shù)字背景抽象出一般的符號(hào)表示及其規(guī)律，使學(xué)生的思維也成跳躍式發(fā)展，多視角、多層次的思考，能讓學(xué)生對(duì)當(dāng)下存在的諸如“數(shù)列項(xiàng)數(shù)須按奇偶分類討論”等“非理性”行為、觀念進(jìn)行及時(shí)覺(jué)察和完善，既讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“兩兩配對(duì)”的依據(jù)是“平均數(shù)”這一本質(zhì)特征，也滲透了從具體的背景中抽象出一般規(guī)律的過(guò)程，從而讓學(xué)生對(duì)數(shù)列的求和本質(zhì)有了更深一層的理解，也建構(gòu)了學(xué)生自己對(duì)倒序相加法的意義與運(yùn)用的深刻理解。

二、探尋式問(wèn)題串設(shè)計(jì)

探尋式問(wèn)題串是指在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)，設(shè)計(jì)的思路是邊設(shè)問(wèn)、邊傾聽(tīng)，邊探求、邊思考，邊調(diào)整、邊尋定，從而進(jìn)行探本窮源、追根究底，教師成為一個(gè)細(xì)心的觀察者、詢問(wèn)者，對(duì)內(nèi)容正確性的假定很慎重，通過(guò)一個(gè)個(gè)的探問(wèn)，發(fā)掘更多可以使用的信息源，尋找正確結(jié)果的邏輯路徑，同時(shí)學(xué)生成為一個(gè)認(rèn)真的思考者與踐行者：在一個(gè)接著一個(gè)的問(wèn)題運(yùn)行中檢查、探路、思考，發(fā)現(xiàn)“非正常期望”的結(jié)果特征并進(jìn)入清晰的改進(jìn)狀態(tài)，同時(shí)逐漸將自己調(diào)整到正確路線的方向上。

案例2《零向量與單位向量》引入設(shè)計(jì)片段[1]

師：同學(xué)們能否舉出一些既有方向又有大小的量？

生：重力、浮力、作用力等物理中學(xué)過(guò)的量。

師（探尋式）：生活中有沒(méi)有只有大小沒(méi)有方向的量？請(qǐng)你舉例。

生：有年齡、身高、面積等。

師：由同學(xué)們的舉例可見(jiàn)，現(xiàn)實(shí)中有的量只有大小沒(méi)有方向，有的量既有大小又有方向。類似于從一支筆、一本書、一棵樹……中抽象出只有大小的數(shù)量1，數(shù)學(xué)中對(duì)位移、力……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，就形成一種新的量——向量（板書概念）。

師（探尋式）：現(xiàn)在，我們已經(jīng)建立了一個(gè)向量的集合，就像每個(gè)人都有名字一樣，這個(gè)集合中的每一個(gè)向量都有了名稱。那么你認(rèn)為在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊？

生：零向量、單位向量是特殊的。

師（探尋式）：大家為什么認(rèn)為它們最特殊？你們是怎么想的？

生：從長(zhǎng)度這個(gè)角度來(lái)看，零向量的長(zhǎng)度是0，單位向量的長(zhǎng)度是1，最為特殊。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：概念抽象需要典型豐富的實(shí)例，讓學(xué)生舉例可以觀察到他們對(duì)概念屬性的領(lǐng)悟情況，形成對(duì)概念的初步認(rèn)識(shí)，也為進(jìn)一步抽象概括做準(zhǔn)備：通過(guò)“生活中有沒(méi)有只有大小、沒(méi)有方向的量”“在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊”“為什么特殊，你們是怎么想的”這樣的探尋式問(wèn)題串設(shè)計(jì)，既激活了學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，也讓學(xué)生形成如何區(qū)別不同量及其必要性的意識(shí)，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)了如何觀察一組對(duì)象：面對(duì)一組對(duì)象，首先注意特殊對(duì)象是自然的，從實(shí)數(shù)集的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，自然會(huì)想到零向量、單位向量的特殊性。通過(guò)上述探尋式問(wèn)題串設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生探尋出向量集合與實(shí)數(shù)集兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性或一致性，較好地挖掘結(jié)果背后的思維過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的類比推理能力，使學(xué)生明白，實(shí)數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)告訴我們，“引進(jìn)一個(gè)新的數(shù)就要研究它的運(yùn)算；引進(jìn)一種運(yùn)算就要研究運(yùn)算律”。學(xué)生可以預(yù)見(jiàn)，引進(jìn)向量就要研究向量的運(yùn)算，進(jìn)而就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律或運(yùn)算法則[2]，為向量的后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

三、操作式問(wèn)題串設(shè)計(jì)

操作式問(wèn)題串是指設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)，通過(guò)教師展示或?qū)W生自行動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)、演示，即在親手做做、畫畫的過(guò)程中進(jìn)行操作程序式提問(wèn)，通過(guò)觀察和研究這些操作程序變化而獲得豐富的感性材料，以引起對(duì)觀察對(duì)象的變化現(xiàn)象、特征及對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法進(jìn)行研究，并獲得理性思考的結(jié)論，讓學(xué)生掌握相應(yīng)的操作技能的同時(shí)，也同步經(jīng)歷教學(xué)內(nèi)容或現(xiàn)象之間的本質(zhì)聯(lián)系、客觀規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。

案例3《橢圓的幾何性質(zhì)》引入設(shè)計(jì)片段

師（操作式）：“如何畫橢圓的圖形？”

生：取點(diǎn)。

師（操作式）：如何取點(diǎn)？

生：在第一象限內(nèi)取五個(gè)點(diǎn)。

師（操作式）：為啥在第一象限內(nèi)取五個(gè)點(diǎn)，其他象限怎么辦呢？

生：其他象限利用對(duì)稱點(diǎn)。

師：言外之意，橢圓具有對(duì)稱性，你的直覺(jué)非常好，你還能進(jìn)行嚴(yán)密的推理嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：“智慧起于動(dòng)作”，向?qū)W生提供合適的操作式活動(dòng)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在操作中去觀察、去嘗試、去體驗(yàn)、去思考、去發(fā)現(xiàn)，去直觀感知，去直觀想象、去總結(jié)概況，學(xué)生通過(guò)直觀想象與操作思考來(lái)了解對(duì)象，能獲得生動(dòng)、具體、直接的知識(shí)，這個(gè)操作式問(wèn)題串設(shè)計(jì)從橢圓畫圖操作程序入手，學(xué)生能根據(jù)直觀想象感知對(duì)稱性、頂點(diǎn)等橢圓性質(zhì)，教師能夠較好地利用學(xué)生的直觀進(jìn)行教學(xué)，教師同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密推理，將直觀想象與演繹推理較好地融合在一起，而且在獲得感性知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了更復(fù)雜的思維活動(dòng)，發(fā)展了學(xué)生對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的想象力及直觀感知與分析概括能力，增強(qiáng)了對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的理解效果。

四、選擇式問(wèn)題串設(shè)計(jì)

選擇式問(wèn)題串是指在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)將教師或?qū)W生的一方意見(jiàn)拋給另一方，讓另一方對(duì)問(wèn)題的可能性結(jié)論，依其個(gè)人的自主思維所得進(jìn)行選定。也可將問(wèn)題的幾種可能結(jié)論一一列出，甚至把包含著兩種結(jié)局可能性的對(duì)立內(nèi)容展列出來(lái)，讓對(duì)方在一個(gè)規(guī)定的范圍內(nèi)進(jìn)行選擇。這樣的問(wèn)題串設(shè)計(jì)，學(xué)生既始終處于思考判斷選擇的境地，同時(shí)在思維發(fā)散性過(guò)程中也體驗(yàn)選擇收放的平衡點(diǎn)。需要說(shuō)明的是，在使用選擇式發(fā)問(wèn)時(shí)，要盡量做到語(yǔ)意措辭得體，以免給對(duì)方留下強(qiáng)加于人的印象。

案例4《點(diǎn)到直線的距離》引入設(shè)計(jì)片段

師（選擇式）：在平面直角坐標(biāo)系中，如何求點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離，你能有哪些思考？是直接入手嗎？

生：不妨退一步，先從特殊的簡(jiǎn)單的入手，如先求原點(diǎn)（0,0）到直線l：Ax+By+C=0的距離。

師：不錯(cuò)，很有想法，如何求呢？

生：先過(guò)原點(diǎn)（0,0）做直線l：Ax+By+C=0的垂線，求出垂足的坐標(biāo)，再求兩點(diǎn)的距離。

師（選擇式）：你的意思是把點(diǎn)到直線的距離這個(gè)角色定位為垂線段的長(zhǎng)，很好，還有其他的角色選擇與定位嗎？

生：點(diǎn)到直線的距離還可角色定位為原點(diǎn)（0,0）到l：Ax+By+C=0各點(diǎn)連線長(zhǎng)最小值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。

師（選擇式）：哦，“垂線段最短，函數(shù)的最值”這些角色有道理，還有其他角色定位嗎？

生：還可當(dāng)成直角三角形的高，然后利用面積法來(lái)求。

生：還可過(guò)（0,0）做直線l：Ax+By+C=0的平行線，把角色定位為平行線間的距離。

…………

設(shè)計(jì)說(shuō)明：為了讓學(xué)生明晰“點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)”中的運(yùn)算對(duì)象到底是什么，上述的設(shè)計(jì)是采用選擇角色定位的方法，通過(guò)不同角色的選擇，從“點(diǎn)到直線的距離這個(gè)角色定位為垂線段的長(zhǎng)”，或“點(diǎn)到直線的距離這個(gè)角色選擇定位為點(diǎn)到直線上各點(diǎn)距離的最小值”，再到將它選擇定位為“平行線間的距離”，進(jìn)而將它定位選擇為“三角形的高”……，學(xué)生的思緒如同行云流水般，能自然地發(fā)現(xiàn)與選擇運(yùn)算思路、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，比教師直接告知多種解法，也許會(huì)收到事半功倍之效，也較好地滲透了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。

五、思辨式問(wèn)題串設(shè)計(jì)

思辨式問(wèn)題串是指在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的情況、類別、事理等進(jìn)行辯論分析，以辯證發(fā)展的視角認(rèn)識(shí)教學(xué)對(duì)象的客觀規(guī)律：在邏輯性思維中，判斷事物一般是非此即彼、非真即假的“線性關(guān)系”，而在思辨式問(wèn)題串中給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題表面上看可能是亦此亦彼、或真或假，結(jié)論不一定唯一，甚至沒(méi)有固定結(jié)論，是“圓形關(guān)系”，通過(guò)在質(zhì)疑、批駁的思辨式過(guò)程中立意，不是為了證明而證明，這樣得來(lái)的觀點(diǎn)、結(jié)論自然合理，教學(xué)內(nèi)容不顯得模板化，學(xué)生能夠清楚地明白數(shù)學(xué)規(guī)律、結(jié)論的來(lái)龍去脈和相關(guān)效應(yīng)。

案例5《對(duì)數(shù)》引入設(shè)計(jì)片段

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察表中的兩行數(shù)（參見(jiàn)表1）。

師（思辨式）：這個(gè)表里數(shù)有一定的特征，仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智，不同人會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn)，你能發(fā)現(xiàn)這兩行數(shù)什么特征？

師（思辨式）：這的確是一個(gè)重要特征，你認(rèn)為還有別的特征或者你認(rèn)為更本質(zhì)的特征是什么？

生：相鄰兩數(shù)的差、比值具有等差、等比的定值特征。

生：設(shè)第一行的某個(gè)數(shù)為a，設(shè)第二行對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，則a=2b。

……

師（思辨式）：不錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)了上下有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，還能發(fā)現(xiàn)其他對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

…………

表1

師：發(fā)現(xiàn)了這么好的規(guī)律，非常不易，發(fā)現(xiàn)積（商）與和（差）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正如剛才這位同學(xué)所說(shuō)的，要求32×1024的值，并不需直接計(jì)算，只需轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的和5+10，從而所求的值就是15相對(duì)應(yīng)的是32 768，由此表明通過(guò)表中相對(duì)應(yīng)的關(guān)系能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用，像表1中的利用“b是a相對(duì)的數(shù)”，實(shí)質(zhì)上就是我們今天所學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)，遺憾的是德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾雖然發(fā)現(xiàn)了上述規(guī)律，但最后功虧一簣沒(méi)有發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：道理不辯不清，方法不辯不明。上述設(shè)計(jì)通過(guò)歷史上德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾關(guān)于對(duì)數(shù)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)典故，以“對(duì)應(yīng)”作為思辨的連接點(diǎn)，通過(guò)思辨式問(wèn)題串的提出與引導(dǎo)，對(duì)于一些思維的關(guān)鍵處，讓學(xué)生去辨別、去辯答、去發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整體推斷，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，從而分析出所給數(shù)據(jù)的一般的與本質(zhì)的屬性，讓學(xué)生不僅能認(rèn)識(shí)到對(duì)數(shù)產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)和對(duì)數(shù)產(chǎn)生的必要，也能對(duì)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算有著更先一步的認(rèn)識(shí)和理解，也提升了學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力并提升了學(xué)生的抽象概括能力。

章建躍老師曾提出課堂教學(xué)要有貫穿始終的教學(xué)主線，而這個(gè)教學(xué)主線是基于對(duì)數(shù)學(xué)的理解和對(duì)學(xué)生的理解才得以形成的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)線索，并指出其基本表現(xiàn)形式就是“問(wèn)題串”。“問(wèn)題串”不僅要問(wèn)得好而且還講究串得好，只有這樣的具有較好的邏輯性的“問(wèn)題串”才能揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而循序漸進(jìn)、逐步深入地引導(dǎo)學(xué)生探究式參與課堂，進(jìn)而達(dá)到用“問(wèn)題串”拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維空間、引導(dǎo)學(xué)習(xí)向思維的深度有效發(fā)展，并能連續(xù)地發(fā)展下去的目標(biāo)?！?/p>