一類具有無窮時(shí)滯Lotka-Volterra模型的魯棒穩(wěn)定性和部分變?cè)敯舴€(wěn)定性

鐘玲莉, 李樹勇

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066； 2. 綿陽(yáng)師范學(xué)院, 四川 綿陽(yáng) 621000)

具有時(shí)滯的Lotka-Volterra模型大量出現(xiàn)于生物、人口等生態(tài)領(lǐng)域,為學(xué)者們廣泛關(guān)注和討論,尤其是解的穩(wěn)定性等漸近性質(zhì)更為學(xué)者們所重視[1-11],但由于測(cè)量等誤差,種群間相互作用的參數(shù)往往無法獲得精確值而只知道其上下界,這時(shí)研究區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和部分變?cè)敯舴€(wěn)定性就顯得非常重要.最近,文獻(xiàn)[12]討論了具有有限時(shí)滯的Lotka-Volterra模型的魯棒穩(wěn)定性和部分變?cè)敯舴€(wěn)定性,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函,利用區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,獲得了具有有限時(shí)滯的Lotka-Volterra模型的魯棒穩(wěn)定性和部分變?cè)敯舴€(wěn)定性的充分條件;文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步討論具有有限時(shí)滯的Kolmogorov系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和部分變?cè)敯舴€(wěn)定性,通過構(gòu)造Lyapunov泛函,利用區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,獲得了具有有限時(shí)滯的Kolmogorov系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和部分變?cè)敯舴€(wěn)定性的充分條件.受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文研究一類具有無窮時(shí)滯的Lotka-Volterra模型的魯棒穩(wěn)定性和部分變?cè)敯舴€(wěn)定性,通過構(gòu)造Lyapunov泛函,使用區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論[14],運(yùn)用Lyapunov-LaSalle定理[2],給出了系統(tǒng)全局漸近魯棒穩(wěn)定和部分變?cè)敯舴€(wěn)定的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下一類參數(shù)不確定的具有無窮時(shí)滯的Lotka-Volterra模型

(1)

本文假設(shè):

(H2) 向量或矩陣的集合為

(H3) 對(duì)任意的r∈rI,A∈AI,B∈BI,D∈DI,方程(1)存在唯一的全局正解x(t;t0,φ);

考慮自治時(shí)滯微分系統(tǒng)

(2)

其中,xt=x(t+θ)(-∞<θ<0),f:C→Rn是一個(gè)連續(xù)映射且f(0)=0.假設(shè)系統(tǒng)(2)存在唯一解且連續(xù)地依賴于初始函數(shù).記系統(tǒng)(2)過(t0,φ)的解為x(t;t0,φ).

對(duì)連續(xù)的泛函V:C|→R,定義

(3)

為V沿著(2)式的解的導(dǎo)數(shù).

定義 1.1設(shè)x*=(y*,z*)是系統(tǒng)

(4)

的平衡態(tài),其中,x=(y,z),y=(y1,y2,…,yk),z=(z1,z2,…,zl),k+l=n.

(i) 若對(duì)任意的ε>0,t0∈R,存在δ(ε,t0)>0,使得當(dāng)‖(φ,ψ)‖≤δ時(shí),有

|y(t;t0,φ,ψ)-y*|<ε,t≥t0,

則系統(tǒng)(4)的平衡態(tài)x*關(guān)于變?cè)獃部分穩(wěn)定.

(ii) 若對(duì)任意的ε>0,t0∈R,存在b0(t0)>0和T(t0,ε,φ),使得當(dāng)‖(φ,ψ)‖≤b0(t0)且t≥t0+T(t0,ε,φ)時(shí),有|y(t;t0,φ,ψ)-y*|<ε,則系統(tǒng)(4)的平衡態(tài)x*關(guān)于變?cè)獃部分吸引.

(iii) 若系統(tǒng)(4)的平衡態(tài)x*關(guān)于變?cè)獃部分穩(wěn)定且部分吸引,則系統(tǒng)(4)的平衡態(tài)x*關(guān)于變?cè)獃部分漸近穩(wěn)定.

定義

M=方程(2)在E中的最大不變集.

(5)

引理 1.4[2](Lyapunov-LaSalle定理) 若V是G上的Lyapunov泛函,xt(φ)∈G是(2)式的有界解,則ω(φ)?M,即x(t;t0,φ)→M,當(dāng)t→+∞.

2 主要結(jié)論

定理 2.1假設(shè):

1)aii<0,i=1,2,…,n;

i=1,2,…,n.

(6)

因?yàn)镚是M矩陣[15],所以對(duì)每一個(gè)βi>0,存在常數(shù)ci>0(i=1,2,…,n)使得

j=1,2,…,n.

(7)

構(gòu)造Lyapunov泛函

(8)

由(3)式得

G={φ:φ∈C,φ(0)>0},

(9)

1)aii<0;

2)G:=-(diag(a11,…,ann)+((1-δij)×

|aij|)n×n+(|bij|)n×n+|dij|n×n)是M矩陣,

則確定方程

(10)

定理 2.4假設(shè):

2) 存在常數(shù)cj>0,j=1,2,…,n,使得

(11)

j=m+1,m+2,…,n,

(12)

則系統(tǒng)(1)的平衡態(tài)x*關(guān)于變?cè)獂1,x2,…,xm部分魯棒穩(wěn)定,關(guān)于變?cè)獂m+1,xm+2,…,xn部分全局漸近魯棒穩(wěn)定.

證明構(gòu)造Lyapunov泛函

(13)

則

(14)

所以

V(t0),t≥t0.

(15)

因?yàn)?/p>

V(t0)<∞,

(16)

Q<∞,

(17)

V(t0), t≥t0,

(18)

這意味著|ewj(t)-1|∈L1[0,∞).

下面,通過構(gòu)造一個(gè)不同的Lyapunov泛函,得到系統(tǒng)(1)更方便應(yīng)用的部分魯棒穩(wěn)定的充分條件.

定理 2.5假設(shè)下面成立:

(19)

(20)

其中

|aij+aji|*=max{|aij+aji|},

則系統(tǒng)(1)的平衡態(tài)x*關(guān)于變?cè)獂1,x2,…,xm部分魯棒穩(wěn)定,關(guān)于變?cè)獂m+1,xm+2,…,xn部分全局漸近魯棒穩(wěn)定.

證明取正常數(shù)di,i=1,2,…,n,使得

i=1,2,…,m,

(21)

i=m+1,m+2,…,n.

(22)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(23)

(ewi(t)-1)(ewj(t)-1)|+

類似定理2.4的討論可證.

(24)

i=m+1,m+2,…,n,

(25)

3 例子和數(shù)值模擬

例 3.1考慮如下2維參數(shù)不確定的具有無窮時(shí)滯的Lotka-Volterra系統(tǒng)

(26)

為討論方便,不妨取

rI:={r=(0.8,0.4)T},

容易計(jì)算出

(27)

對(duì)任意的B∈BI,因?yàn)?/p>

(28)

是M矩陣,則由定理2.1,系統(tǒng)(26)全局漸近魯棒穩(wěn)定.

現(xiàn)在,使用Milstein方法[16]證實(shí)這個(gè)結(jié)果.設(shè)ξ1(θ)=0.32eθ,ξ2(θ)=0.18eθ,μ12(θ)=μ21(θ)=eθ,θ∈(-∞,0].考慮下面的離散化方程:

x1(k+1)=x1(k)+[r1+a11x1(k)+

b11x1(k-τ11/Δt)+0.09d12e-kΔt+

(29)

x2(k+1)=x2(k)+[r2+a22x2(k)+

b22x2(k-τ22/Δt)+0.16d21e-kΔt+

(30)

在圖1中,取μ12(θ)=μ21(θ)=eθ,ξ1(θ)=0.32eθ,ξ2(θ)=0.18eθ,τ11=τ22=1,r1=0.8,r2=0.4,a11=-3,a22=-2.5,b11=-1.3,b22=-1,d12=-0.9,d21=-0.9,Δt=0.01,則x*=(0.171,0.070),因?yàn)镚為M矩陣,由推論2.3,x*全局漸近穩(wěn)定,圖1證明了這個(gè)結(jié)果.在圖2中取b11=-5,b22=-3,其余參數(shù)與圖1相同,此時(shí)G不是M矩陣,圖2表明系統(tǒng)(26)不穩(wěn)定.

圖 1 當(dāng)b11=-1.3,b22=-1時(shí)系統(tǒng)(26)全局漸近穩(wěn)定

圖 2 當(dāng)b11=-5,b22=-3時(shí)系統(tǒng)(26)不穩(wěn)定