基于IOWC-GOWA算子及相對熵的區(qū)間型組合預(yù)測模型*

杜 康， 袁宏俊

(安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引 言

由于預(yù)測對象的模糊性和復(fù)雜性，單項預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果與實際情況可能會產(chǎn)生較大的偏差。為此，Bates J M和Grange C W J[1]在1969年首次提出組合預(yù)測方法，即將幾種單項預(yù)測方法進行組合。由于組合預(yù)測方法在實際預(yù)測過程中的精度優(yōu)于單項預(yù)測方法，因此一些國內(nèi)外學(xué)者對其進行了研究，并取得了一定的研究成果[2-7]。在實際預(yù)測過程中，預(yù)測對象有時候并不能以一個確定的實數(shù)給出，因此區(qū)間型數(shù)據(jù)組合預(yù)測的研究受到學(xué)者們的重視?，F(xiàn)有文獻對于區(qū)間型組合預(yù)測模型的研究主要可以分為以下幾類：

(1) 將區(qū)間數(shù)通過連續(xù)區(qū)間的信息集成算子轉(zhuǎn)化為普通的實數(shù)。文獻[8]提出了IOWC-GOWA算子，利用該算子將區(qū)間數(shù)集結(jié)成實數(shù)，并用指數(shù)支撐度作為最優(yōu)準(zhǔn)則構(gòu)建組合預(yù)測模型；文獻[9]提出了IOWC-GOWHA算子，將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)，利用灰色趨勢關(guān)聯(lián)度作為相關(guān)性指標(biāo)構(gòu)建了基于IOWC-GOWHA算子的組合預(yù)測模型；文獻[10]在C-OWHA算子和IGOWLA算子的基礎(chǔ)上，提出了IGOWLC-OWHA算子，將區(qū)間數(shù)集結(jié)為實數(shù)，用Theil不等系數(shù)作為最優(yōu)準(zhǔn)則構(gòu)建組合預(yù)測模型；文獻[11]提出了COWG-WPA算子，將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)，用廣義絕對誤差λ次和作為準(zhǔn)則構(gòu)建組合預(yù)測模型。

(2) 利用區(qū)間數(shù)自身的信息，即區(qū)間數(shù)的中點和半徑或者是區(qū)間數(shù)的左、右端點等信息。文獻[12]一方面利用區(qū)間數(shù)的中點和半徑，并以區(qū)間中點和長度的最小絕對誤差準(zhǔn)則，構(gòu)建了多目標(biāo)規(guī)劃問題，引入偏好系數(shù)將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題的組合預(yù)測模型，另一方面利用區(qū)間數(shù)的左、右端點，分別以向量夾角余弦和Theil左右不等系數(shù)為準(zhǔn)則構(gòu)建多目標(biāo)規(guī)劃問題，同樣引入偏好系數(shù)將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題的組合預(yù)測模型；文獻[13]和文獻[14]分別利用區(qū)間數(shù)的中點、半徑和左、右端點，以最小誤差平方和作為準(zhǔn)則，構(gòu)建多目標(biāo)規(guī)劃問題，并引入偏好系數(shù)將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題的組合預(yù)測模型。

(3) 將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)。文獻[15]將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)，并以聯(lián)系數(shù)貼進度作為最優(yōu)準(zhǔn)則構(gòu)建組合預(yù)測模型；文獻[16]也是將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)的形式，以向量夾角余弦作為相關(guān)性指標(biāo)構(gòu)建組合預(yù)測模型。本文采用第一種思路，先利用IOWC-GOWA算子將區(qū)間型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)，并對集結(jié)后的實數(shù)進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，引入相對熵作為最優(yōu)準(zhǔn)則來構(gòu)建區(qū)間型組合預(yù)測模型，并通過實例驗證模型的合理性和有效性。

1 基本概念

定義2[17]設(shè)[a,b]為區(qū)間數(shù)，稱

FQ([a,b])=(1-μ)a+μb

定義3[18]設(shè)fw:Rn→R，λ≠0，若

定義4[19]設(shè)[a,b]為區(qū)間數(shù)，λ≠0，稱

為連續(xù)區(qū)間的廣義有序加權(quán)平均(C-GOWA)算子。其中，Q(y)為BUM函數(shù)。根據(jù)定義2，同理可得：

定義6[8]設(shè)誘導(dǎo)二維區(qū)間數(shù)組V={〈v1,[a1,b1]〉,〈v2,[a2,b2]〉,…,〈vn,[an,bn]〉}，fw:Ω+→R+，λ≠0，稱

fw(〈v1,[a1,b1]〉,〈v2,[a2,b2]〉,…,〈vn,[an,bn]〉)=

定義7[21]設(shè)xi,yi>0，且xi,yi∈(0,1)，則稱

為序列X相對于序列Y的相對熵，其中，X=(x1,x2,…,xn)，Y=(y1,y2,…,yn)，i=1,2,…,n。

定理1[21]如果函數(shù)h(x,y)為序列X相對于序列Y的相對熵，則

(1)h(x,y)≥0；

(2) 當(dāng)且僅當(dāng)xi=yi，i=1,2,…,n，有h(x,y)=0。

log[yi+(1-yi)]=

log 1=0

由hi≥0，得h(x,y)≥0，原命題得證。

(Jensen不等式)

所以h(x,y)=0時當(dāng)且僅當(dāng)xi=yi，i=1,2,…,n。

由定理1可知，當(dāng)序列X=(x1,x2,…,xn)相對于序列Y=(y1,y2,…,yn)的相對熵最小且為0時，序列X和序列Y完全相同，即相對熵越小表示序列X和序列Y之間的符合程度越大。因此相對熵可以刻畫兩個標(biāo)準(zhǔn)化的序列之間的差異程度，所以可以基于相對熵達到最小的思想構(gòu)建區(qū)間型組合預(yù)測模型。

2 模型構(gòu)建

定義8

則稱vit為第i種單項預(yù)測方法在第t時刻的預(yù)測精度。其中，vit∈[0,1]，i=1,2,…,m，t=1,2,…,N。

定義9 利用預(yù)測精度vit作為誘導(dǎo)值，可以構(gòu)造出第t時刻的誘導(dǎo)二維區(qū)間數(shù)組V={〈v1t,[a1t,b1t]〉,〈v2t,[a2t,b2t]〉,…,〈vmt,[amt,bmt]〉}，令

Yt=GQ([at,bt])=

定義10 設(shè)Yt,Yit>0，且Yt,Yit∈(0,1)，令

(1)

上述模型式(1)的權(quán)系數(shù)W=(w1,w2,…,wm)可以通過Lingo或者Matlab軟件進行求解。

定理2 設(shè)hmin=minhYit,hmax=maxhYit，i=1,2,…,m，若

3 實例分析

為了驗證組合預(yù)測模型式(I)(即基于IOWC-GOWA算子及相對熵的區(qū)間型組合預(yù)測模型)的有效性，現(xiàn)分別用平均區(qū)間位置誤差平方和(fMSEP)、平均區(qū)間長度誤差平方和(fMSEL)、平均區(qū)間誤差平方和(fMSEI)以及平均區(qū)間相對誤差和(fMRIE)作為評價指標(biāo)，其中：

fMSEI=fMSEP+fMSEL=

顯然，上述4種誤差指標(biāo)越小，表示該區(qū)間型組合預(yù)測模型的有效性相對越高，即預(yù)測精度相對越高。fMSEP和fMSEL越小，分別表示預(yù)測區(qū)間和實際區(qū)間的中點和半徑的誤差越小。而fMSEI集合了區(qū)間的中點和半徑的誤差信息，所以更能作為衡量模型有效性的指標(biāo)。對于fMRIE來說，若fMRIE>1，則說明預(yù)測區(qū)間和實際區(qū)間分離，即沒有重合部分，若0≤fMRIE≤1，則說明預(yù)測區(qū)間和實際區(qū)間部分重合，并且fMRIE越小，說明重合比例越大，即模型有效性越高。本文利用文獻[22]中的數(shù)據(jù)來進行實例分析，各數(shù)據(jù)見表1。

根據(jù)定義8可以計算出3種單項預(yù)測方法在各個時刻的預(yù)測精度，結(jié)果見表2。

表 1 實際區(qū)間數(shù)和3種單項預(yù)測區(qū)間數(shù)

表 2 3種單項預(yù)測方法在各個時刻的預(yù)測精度

根據(jù)定義9，可以計算出每個時刻基于IOWC-GOWA算子的組合預(yù)測值，以t=1和t=2為例：

表 3 實際集結(jié)數(shù)序列Yt和3種單項預(yù)測集結(jié)數(shù)序列Yit

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)，可以用Lingo軟件對組合預(yù)測模型式(1)的最優(yōu)加權(quán)向量W=(w1,w2,w3)進行求解，結(jié)果見表5。

根據(jù)表5中的各單項預(yù)測的最優(yōu)加權(quán)向量W=(w1,w2,w3)以及經(jīng)過每個時期預(yù)測精度誘導(dǎo)過后的各單項預(yù)測的區(qū)間數(shù)，可以計算出不同λ取值下每個時期的組合預(yù)測區(qū)間數(shù)，結(jié)果見表6。

表 4 實際集結(jié)數(shù)和3種單項預(yù)測集結(jié)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化序列

表 5 不同λ取值下的最優(yōu)加權(quán)向量W=(w1,w2,w3)

表 6 實際區(qū)間數(shù)以及不同λ取值下的組合預(yù)測區(qū)間數(shù)

為了驗證組合預(yù)測模型式(1)的有效性，分別從相對熵和4種誤差指標(biāo)MSEP，MSEL，MSEI以及MRIE的角度來分析。根據(jù)表4中的數(shù)據(jù)，可以計算出不同λ取值下3種單項預(yù)測方法的相對熵，運用Lingo軟件可以得到組合預(yù)測模型式(1)的最優(yōu)相對熵，結(jié)果見表7。根據(jù)4種誤差指標(biāo)的公式，可以分別計算出3種單項預(yù)測方法以及不同λ取值下的組合預(yù)測方法的MSEP，MSEL，MSEI以及MRIE，結(jié)果見表8。

表 7 不同λ取值下各種預(yù)測方法的相對熵

表 8 各種預(yù)測方法的誤差指標(biāo)

從表7和表8中可以看出：從相對熵的角度來看，λ=4時，組合預(yù)測方法的相對熵小于3種單項預(yù)測方法的相對熵；λ=5時，組合預(yù)測方法的相對熵也遠小于單項預(yù)測方法1和2的相對熵，和單項預(yù)測方法3的相對熵十分接近。從4種誤差指標(biāo)的角度來看，組合預(yù)測方法的MSEP，MSEI以及MRIE均小于3種單項預(yù)測方法，雖然組合預(yù)測方法的MSEL大于單項預(yù)測方法2，但小于單項預(yù)測方法1和3，至少說明組合預(yù)測模型式(1)是非劣的。由以上結(jié)果可以看出，組合預(yù)測模型式(1)可以有效提高區(qū)間型數(shù)據(jù)的預(yù)測精度。

4 結(jié)束語

本文從信息論的角度出發(fā)，提出構(gòu)建區(qū)間型組合預(yù)測方法的新思路。先利用IOWC-GOWA算子將區(qū)間數(shù)進行集結(jié)，轉(zhuǎn)化為普通實數(shù)，并對其進行標(biāo)準(zhǔn)化處理。引入相對熵作為最優(yōu)準(zhǔn)則，構(gòu)建了基于IOWC-GOWA算子及相對熵的區(qū)間型組合預(yù)測模型，并用文獻[18]中數(shù)據(jù)以及4種誤差指標(biāo)對其有效性進行了驗證，結(jié)果顯示，該組合預(yù)測模型能有效提高預(yù)測精度。但是，由于本文采用的是IOWC-GOWA算子，所以參數(shù)λ以及BUM函數(shù)的選取都會對模型的有效性產(chǎn)生影響。另外，對于集結(jié)數(shù)序列的標(biāo)準(zhǔn)化處理方式也可能會對模型的結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，今后將對這些因素作進一步研究，以完善本文方法。