帶擾動對偶模型中Erlang(2)分紅決策時間下的最優(yōu)分紅*

傅立群, 王傳玉， 王 照

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

破產(chǎn)理論的研究起源于20世紀(jì)60年代，針對企業(yè)風(fēng)險的穩(wěn)定性，Lundberd和Cramér最早分別于1909年和1955年提出了幾個標(biāo)準(zhǔn)，逐漸發(fā)展成為研究企業(yè)盈余的經(jīng)典的Cramér-Lundberd模型。隨后1957年DeFinetti[1]在紐約第15屆精算師代表大會上提出分紅策略，首次將盈余通過分紅釋放,這在一段時間內(nèi)成為破產(chǎn)理論研究的熱點(diǎn)。

但實(shí)際中一些企業(yè)或公司的盈余過程用上述模型來進(jìn)行解釋不是很合理，例如像石油、制藥、研究機(jī)構(gòu)等企業(yè)需要先投入一筆資金，然后等到項目完成才會有回報，也就是盈余?；谶@樣的實(shí)際情況，Mazza和Rulliére[2]于2004年首次提出了與Cramér-Lundberd模型相對的對偶風(fēng)險模型.由于紅利往往是每年或每兩年地定期支付，這使得要在固定決策時間對紅利進(jìn)行分配，于是Asmussen等[3]于2002年提出了“Erlangisation”的方法來研究有限時間的破產(chǎn)問題。而這一方法又被Albrecher等[4]于2011年用來研究經(jīng)典的Cramér-Lundberd模型中的分紅問題. 此外Zhu和Yang[5]也在2008年提出一個對偶Markov-modulated風(fēng)險模型，模型通過一個潛在的Markov環(huán)境引入盈余大小及其到達(dá)時間之間的依賴關(guān)系. Cheung[6]在2011年研究了模型中Markov過程向下跳的情況。然而，具有易處理分析性質(zhì)的股利預(yù)期現(xiàn)值的顯示解僅僅存在于具有Erlang(1)交互決策時間的周期性問題。例如，Wei等[7]在2012年研究了切換布朗風(fēng)險模型的狀態(tài)下周期性屏障策略的最優(yōu)性。 Avanzi等[8]2014年研究了具有擴(kuò)散的對偶風(fēng)險模型中的一個相似問題。

但是，在確定最優(yōu)周期股利策略時，通常有兩個主要步驟.首先，通常會提出一個候選方案(例如，障礙或閾值類型)，并獲得相關(guān)的破產(chǎn)前的預(yù)期股利現(xiàn)值。 下一步是得到所提出的解的充分的分析性質(zhì)(例如，函數(shù)的有界性)，并檢查它是否滿足所謂的驗(yàn)證引理的條件。 此時，不一定能得到最優(yōu)策略的顯示解。 例如Avanzi等[9]2013研究了一個帶布朗運(yùn)動的對偶風(fēng)險模型，即一旦盈余達(dá)到零，就會發(fā)生破產(chǎn)，通過求解積分微分方程組，發(fā)現(xiàn)了Erlang(n)決策時間下周期障礙策略預(yù)期股利現(xiàn)值的隱式解。 周金樂等[10]2015年研究了在閾值分紅策略下帶擾動的廣義Erlang(n)對偶風(fēng)險模型，并得出了模型直到破產(chǎn)前的總紅利貼現(xiàn)值的期望的表達(dá)式。 最近，Avanzi等[11]又在2018年研究了Erlang(2)決策時間下的最優(yōu)分紅，通過數(shù)值模擬的方法詳細(xì)分析了當(dāng)分紅決策時間為Erlang(2)分布時，周期障礙策略的最優(yōu)性。

在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，考慮帶擾動的利潤過程服從復(fù)合泊松過程時,且分紅決策時間服從Erlang(2)分布下對偶模型中的最優(yōu)分紅。 利用數(shù)值模擬的方法，描述了最優(yōu)分紅策略與其他因素之間的相關(guān)變化。

1 構(gòu)建模型

考慮對偶風(fēng)險模型，它的分紅過程可以表示為

U(t)=u-ct+σB(t)+S(t)-D(t),t≥0

(1)

定義1 盈余過程U(t)的破產(chǎn)時刻定義為τ=inf{t≥0:U(t)≤0}。

性質(zhì)1 最終破產(chǎn)概率

ψb(x,i)=Px,i[τ<∞]=1,

i=1,2,…,n。

性質(zhì)1的證明過程可以參見文獻(xiàn)[10]。

定義2 分紅決策時間為Erlang(n)分布時的最優(yōu)策略下的分紅期望現(xiàn)值為

注：在一般的文獻(xiàn)中將收益過程S(t)設(shè)為復(fù)合泊松過程，在這里為了方便計算，將其設(shè)為線性盈余，即S(t)=λt。λ為收益比率。

2 模型的應(yīng)用及求解

結(jié)合文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]，對式(1)考慮一個極小的時間Δt→0，然后運(yùn)用泰勒展開式可得

(2)

首次清算策略(即分紅分布服從Erlang(i)分布，i=1,i=2時b*=0的情況)的微分方程組。

(3)

(4)

為解上述微分方程組，假設(shè)方程滿足以下兩個初始條件

初始條件1F(0,1)=F(0,2)=0；

初始條件2 當(dāng)u→∞時，函數(shù)線性有界。

首先得到特征方程

其中pγ>0和sγ<0分別為方程的兩個根。

運(yùn)用初始條件，得到

將式(3)代入式(2)得

所以

將式(3)再次代入式(2)得

所以

那么，當(dāng)b*>0，一般情況下的最優(yōu)策略應(yīng)滿足以下微分方程組

(γ+r)FL(u,2;b*)+γFL(u,1;b*)=0

(5)

(γ+r)FL(u,1;b*)+γFL(u,2;b*)=0

(6)

(γ+r)FU(u,2;b*)+γFU(u,1;b*)=0

(7)

(γ+r)FU(u,2;b*)+γ(u-b*+FL(b*,2;b*))=0

(8)

FL(u,1;b*)和FL(u,2;b*)表示u∈[0,b*)時的情況；FU(u,1;b*)和FU(u,2;b*)表示u∈(b*,∞]時的情況。

運(yùn)用初始條件

FL(u,1;b*)=FL(u,2;b*)=0

及條件

(即最優(yōu)策略時所要滿足的條件)由式(5)、式(6)、式(7)、式(8)解得

FL(u,2;b*)=A·g0(u)+B·g2γ(u)

(9)

FL(u,1;b*)=A·g0(u)-B·g2γ(u)

(10)

其中

g0(u)=ep0u-es0u
g2γ(u)=ep2γu-es2γu。

u-b*+FL(b*,1;b*)]+(C+D(u-b*))esγ(u-b*)

(11)

(12)

其中

+

p0>0,s0<0,p2γ>0,s2γ<0為特征方程

的4個不同的根。

(13)

(14)

將式(17)、式(18)代入式(13)、式(14)、式(15)、式(16)中，再將得到的系數(shù)A,B,C,D代入前面的式(9)、式(10)、式(11)、式(12)中，最終可以得到一個關(guān)于最優(yōu)策略b*的隱式函數(shù)

(15)

3 數(shù)值模擬

為了直觀地反映最優(yōu)策略b*與其他變量之間的關(guān)系，通常需要寫出b*與其他變量的顯示表達(dá)式，但通過觀察式(15)，顯然無法很容易得到b*與其他變量之間的關(guān)系。因此，采用數(shù)值模擬的方法來說明最優(yōu)策略b*與其他經(jīng)濟(jì)因素的關(guān)系。

采用Mathematica11模擬式(15)中的b*與費(fèi)用率c，波動率σ，利率r，分紅頻率γ的關(guān)系，得到以下5個圖(圖1至圖5)。

圖1 c∈(0,3),λ=3,σ=1,r=0.1,γ=0.1Fig.1 c∈(0,3),λ=3,σ=1,r=0.1,γ=0.1

圖2 c=1,λ∈(0,10),σ=1,r=0.1,γ=0.1Fig.2 c=1,λ∈(0,10),σ=1,r=0.1,γ=0.1

圖3 c=1,λ=3,σ∈(0,6),r=0.1,γ=0.1Fig.3 c=1,λ=3,σ∈(0,6),r=0.1,γ=0.1

圖4 c=1,λ=3,σ=1,r∈(0,0.4),γ=0.1Fig.4 c=1,λ=3,σ=1,r∈(0,0.4),γ=0.1

圖5 c=1,λ=3,σ=1,r=0.1,γ∈(0,0.5)Fig.5 c=1,λ=3,σ=1,r=0.1,γ∈(0,0.5)

從圖1可以觀察到，由于有盈余的預(yù)期增長，費(fèi)用率c很小的時候，最優(yōu)策略起始于一個大于零的值。隨著這種漂移的增加，但其規(guī)模仍保持在略高于起始水平，維持低派息、確保盈余不會進(jìn)入破產(chǎn)狀態(tài)的最佳障礙就會增大。但隨著費(fèi)用率的進(jìn)一步增長，最優(yōu)策略逐漸減小，由于在畫圖之前將收益比率確定為λ=3，故當(dāng)費(fèi)用率繼續(xù)增長到一定程度時會發(fā)生破產(chǎn)。

從圖2發(fā)現(xiàn)當(dāng)λ∈(0,1.3)時，最優(yōu)策略為零，此時說明了由于費(fèi)用率是確定的，當(dāng)收益比率過低，企業(yè)的費(fèi)用大于收益時，會發(fā)生破產(chǎn)，故這是破產(chǎn)時的情形。當(dāng)隨著收益比率繼續(xù)增加時最優(yōu)策略呈急劇增加勢態(tài)，這是由于收益比率和費(fèi)用率以及波動率相接近，故收益比率的小幅增加會造成最優(yōu)策略的大幅抖動。而隨著收益比率進(jìn)一步增加時，當(dāng)收益比率逐漸超過費(fèi)用率時，最優(yōu)策略逐漸變小，且趨于穩(wěn)定，且不會造成破產(chǎn)。

圖3的波動率反映了當(dāng)波動性非常低時，最佳障礙非常小，因?yàn)橛噙^程破產(chǎn)的風(fēng)險不大。隨著波動性的增大，維持公司安全的最優(yōu)屏障增大。當(dāng)波動性進(jìn)一步增加時，最優(yōu)障礙開始減少，此時企業(yè)已經(jīng)不值得投資。

圖4中的r代表了投資者的時間偏好，r增加代表投資者變得不耐煩,更多的紅利分配在每一個決策時間(減少b*)來彌補(bǔ)金融不耐煩。

圖5中的γ增大，最優(yōu)策略逐漸變大，但趨于穩(wěn)定，允許更頻繁的紅利支付。

4 總 結(jié)

研究了帶擾動的對偶模型下，當(dāng)收益過程為線性收入，分紅Erlang(2)分布時的最優(yōu)分紅策略。首先通過構(gòu)建模型，在經(jīng)典的對偶模型中加入σ隨機(jī)收入波動項。且為了后面的計算方便，令收益過程服從線性收入，運(yùn)用文獻(xiàn)[9,10]的結(jié)論，通過類似的推導(dǎo)得出最優(yōu)策略相關(guān)的微分方程組，得出一個關(guān)于最優(yōu)策略的隱式表達(dá)式。最后運(yùn)用Mathematica 11通過數(shù)值模擬的方法畫出最優(yōu)策略與所研究模型中其他經(jīng)濟(jì)因素的變化關(guān)系，且分別作出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。

考慮的僅僅是收益服從線性收入的特殊情形，而在一般情況下收益服從復(fù)合泊松過程的情形尚可進(jìn)一步研究。