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    無限大單板和空腔雙板隔聲量研究

    2019-08-27 07:32:44黃夢情陳美霞
    噪聲與振動控制 2019年4期
    關(guān)鍵詞:斜入雙板共振頻率

    黃夢情,陳美霞

    (華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,武漢 430074)

    無限大以及有限大單板和空腔雙板結(jié)構(gòu)[1-2]是隔聲領(lǐng)域中常用的研究對象,比較有代表性的是單雙層墻的隔聲性能和質(zhì)量定律[3-4]。

    波傳遞法是一種非常經(jīng)典的計算無限大板隔聲量的方法[3]。它可以計算單層板、雙層板甚至是多層板的隔聲量[5-6],但該方法也有自身的局限性[4]。當(dāng)中間固體層比較薄時,可認(rèn)為中間層中只有縱波傳遞,此時波傳遞法才能適用于斜入射。

    除波傳遞法外,還將介紹另一種方法,這里將它稱為“結(jié)構(gòu)彎曲波法”。結(jié)構(gòu)彎曲波法是將板的橫向位移采用無限大板的形式[7]表示,再結(jié)合相應(yīng)的法向速度連續(xù)性條件,代入板的振動控制方程,最后求解得到板結(jié)構(gòu)的隔聲量。

    本文將采用波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法對無限大單板和雙板的隔聲量進(jìn)行研究,得出2種方法的等效條件并對隔聲量曲線的谷值點(diǎn)進(jìn)行分析。

    1 波傳遞法理論推導(dǎo)

    1.1 無限大單板隔聲的波傳遞法理論推導(dǎo)

    在圖1中,d表示媒質(zhì)層Ⅱ的厚度。

    沿空間任意方向行進(jìn)的平面波表達(dá)式為

    因此媒質(zhì)Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ中的聲場可表示為:

    媒質(zhì)Ⅰ:入射波α=θi,β=90°-θi,γ=90°

    媒質(zhì)Ⅱ:折射波α=θ2t,β=90°-θ2t,γ=90°

    反射波:α=π-θ2r,β=90°-θ2r,γ=90°

    媒質(zhì)Ⅲ:折射波α=θ3t,β=90°-θ3t,γ=90°

    結(jié)合z=0和z=d處的聲壓連續(xù)與法向質(zhì)點(diǎn)速度連續(xù)條件以及聲波反射和折射定律,可得聲壓透射系數(shù)

    從而可得出聲強(qiáng)透射系數(shù)tI

    式中:

    采用透射系數(shù)的倒數(shù),并用分貝表示隔聲量可得

    1.2 空腔雙板隔聲的波傳遞法理論推導(dǎo)

    在圖2中,d表示媒質(zhì)層Ⅱ和Ⅲ的分界面,D表示媒質(zhì)Ⅲ和Ⅳ的分界面。

    圖2 空腔雙板的波傳遞法示意圖

    針對圖2所示的無限大空腔雙板,波傳遞法的理論推導(dǎo)過程基本與1.1小節(jié)類似,因此對于聲波透過空腔雙板,計算得到的聲強(qiáng)透射系數(shù)tI可表示為

    其中:R1、R2、R3和R4分別表示為

    上式中的波矢分量k′和法向阻抗Zs的具體表達(dá)式為

    2 結(jié)構(gòu)彎曲波法理論推導(dǎo)

    2.1 無限大單板的結(jié)構(gòu)彎曲波法理論推導(dǎo)

    對于斜入射平面簡諧聲波,它的聲壓速度勢函數(shù)可表示為

    圖3 無限大單板的結(jié)構(gòu)彎曲波法隔聲示意圖(空間視圖)

    圖4 無限大單板的結(jié)構(gòu)彎曲波法隔聲示意圖(正視圖)

    在式(11)中:I為幅值,ω為角頻率,kx、ky和kz分別為入射聲波在x、y和z方向上的波數(shù)分量:kx=k0sinφcos?,ky=k0sinφsin?,kz=k0cosφ。其中k0=,為入射域中聲波的波數(shù),c0為聲波在入射域中的聲速,φ和?分別為俯仰角和方位角。

    在入射聲波的激勵下,無限大薄板結(jié)構(gòu)發(fā)生振動,向外輻射聲波,其聲振耦合振動控制方程為

    上式中ρ0為空氣密度;ω、D0以及m分別為無限大板的橫向振動位移、彎曲剛度和面密度。

    入射聲場和輻射聲場的速度勢函數(shù)可分別表示為

    上式中入射聲場中包含了入射聲波和反射聲波的速度勢。

    同時,將無限大薄板的橫向位移表示為

    空氣和薄板交界面處的邊界條件為空氣質(zhì)點(diǎn)和板質(zhì)點(diǎn)的法向速度相等,相應(yīng)的連續(xù)條件為:在z=0處有

    將式(13)代入式(15)中可得系數(shù)幅值關(guān)系式

    將式(13)和式(14)代入式(12)中,可得

    再將式(16)代入式(17)中,可進(jìn)一步簡化為

    將式(18)代入式(13),便可以得到入射聲場和輻射聲場的速度勢。聲壓速度勢和聲壓的關(guān)系為

    根據(jù)式(13)和式(19),入射和輻射波的聲壓為

    由于左右兩側(cè)均為空氣,故聲強(qiáng)透射系數(shù)tI可表示為

    2.2 空腔雙板隔聲的結(jié)構(gòu)彎曲波法理論推導(dǎo)

    在入射聲波的激勵下,無限大空腔雙板發(fā)生振動,并向外輻射聲波,其聲振耦合振動方程為

    上式中:ρ0為空氣密度以及分別為入射板和輻射板的橫向振動位移、彎曲剛度和面密度。

    入射聲場、空腔聲場和輻射聲場的速度勢函數(shù)可分別表示為

    同時,無限大雙板的橫向位移可表示為

    結(jié)合z=0和z=H處的連續(xù)性條件

    圖5 結(jié)構(gòu)彎曲波法的空腔雙板隔聲示意圖

    將式(23)代入式(25)中可得到如下的系數(shù)幅值關(guān)系式

    將式(23)和式(24)代入式(22)中,可簡化振動控制方程

    將式(26)代入式(27),可將其進(jìn)一步化簡為

    其中

    最后的聲強(qiáng)透射系數(shù)為

    3 無限大單層板隔聲量對比分析

    3.1 計算無限大單板隔聲量的2種方法對比

    單板采用鋁材料,密度為2700 kg/m3,縱波聲速為6260 m/s,泊松比為0.33,彈性模量為70×109N/m2,板厚取為0.01 m,兩邊介質(zhì)都是空氣,密度為1.21 kg/m3,聲速為343 m/s,分別針對聲波垂直入射以及30o和70o斜入射3種情況,得到對比結(jié)果如圖6、圖7和圖8所示。

    圖6 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的單層板結(jié)果對比圖(聲波垂直入射,10000 Hz)

    圖7 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的單層板結(jié)果對比圖(聲波30o斜入射,10000 Hz)

    圖8 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法單層板結(jié)果對比圖(聲波70o斜入射,10000 Hz)

    從圖6、圖7和圖8中可以看出:當(dāng)聲波垂直入射時,基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的計算結(jié)果在0~10000 Hz范圍內(nèi),吻合得很好;當(dāng)聲波斜入射時,在低頻范圍內(nèi),兩種方法吻合得比較好,但是進(jìn)入中高頻時,會出現(xiàn)板的吻合頻率,2種方法計算的隔聲量曲線吻合得很差。

    同時,在聲波斜入射的情況下,波傳遞法無法捕捉到板的吻合頻率,而結(jié)構(gòu)彎曲波法可以捕捉到板的吻合頻率。這種情況下,基于結(jié)構(gòu)彎曲波法的計算結(jié)果更準(zhǔn)確一些。

    3.2 聲波垂直入射時2種方法的等效條件

    聲波垂直入射時,基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法計算出的隔聲量曲線幾乎重合,但是這2種方法的理論機(jī)理是不一致的,因此本小節(jié)將探討2種方法的等效條件。

    將2種方法的變量進(jìn)行統(tǒng)一處理后,聲強(qiáng)透射系數(shù)可分別表示為

    在式(30)和式(31)中,ρ0和c0為空氣的密度和聲速;ρ1和c1為板的密度和聲速;h為板厚;ω為入射聲波圓頻率;tI_W和tI_B分別表示基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的聲強(qiáng)透射系數(shù)。

    根據(jù)式(30)和式(31),化簡得

    將式(32)和式(33)進(jìn)一步化簡,得出等效條件

    在式(34)中λ表示入射聲波的波長。從式(34)中可以看出:當(dāng)板的特性阻抗遠(yuǎn)大于空氣的特性阻抗,同時入射波長與板厚的比值遠(yuǎn)大于空氣聲速與板中聲速之比的2π倍時,波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法計算出的隔聲量曲線基本是吻合的。此時,在聲波垂直入射條件下,2種方法是等效的。

    當(dāng)入射聲波頻率非常高時,入射波長與板厚的比值變得很小,不再滿足的條件時,這種情況相當(dāng)于板厚變得很大,薄板條件不再滿足,板厚對聲波的傳遞影響很大,破壞了結(jié)構(gòu)彎曲波法的成立條件。對于波傳遞法而言,聲波的波長短一些,相當(dāng)于介質(zhì)層變厚,這依舊滿足聲波在介質(zhì)交界面處和介質(zhì)層中的傳遞條件,因此高頻聲波對波傳遞法的影響較小,它計算出的隔聲量基本可靠。

    當(dāng)不滿足ρ1c1>>ρ0c0條件時,也即周圍流體對板的反作用變得很顯著,這時不能忽略周圍流體對板的影響,同時板自身也可能不再滿足薄板條件。例如:較厚的復(fù)合材料板在空氣中的隔聲;有機(jī)玻璃板在水中的隔聲;特性阻抗相差不大的各層板之間的隔聲。在這種情況下,結(jié)構(gòu)彎曲波法的計算結(jié)果存在不準(zhǔn)確性,而波傳遞法依舊能適應(yīng)這種變化。

    3.3 無限大單板隔聲量的谷值分析

    當(dāng)聲波斜入射時,無限大單板的隔聲谷值點(diǎn)對應(yīng)的頻率為板的吻合頻率。薄板吻合頻率[8]為

    在式(35)中E和v為板的彈性模量和泊松比。

    根據(jù)式(35),計算出無限大單板的吻合頻率為4810 Hz(30o)和1362 Hz(70o),與圖7和圖8中的隔聲谷值對應(yīng)的頻率4810 Hz(30o)和1362 Hz(70o)完全一致。

    上面的計算對比說明:在聲波斜入射時,采用結(jié)構(gòu)彎曲波法能夠捕捉到薄板的吻合頻率。

    4 空腔雙板隔聲量對比分析

    4.1 基于2種方法所得的空腔雙板隔聲量對比

    雙板均采用鋁材,密度為2700 kg/m3,縱波聲速為6260 m/s,泊松比為0.33,彈性模量為70×109N/m2,板厚為0.002 m,中間層厚度為0.0215 m,兩邊和中間為空氣,密度為1.21 kg/m3,聲速為343 m/s,分別針對聲波垂直入射以及30o和70o斜入射3種情況,得到如下的對比結(jié)果:

    在圖9、圖10和圖11中,實(shí)心圓代表“板-空腔-板”的共振頻率;實(shí)心矩形代表空腔的駐波共振頻率;實(shí)心三角形代表板的吻合頻率。

    從圖9中可看出:當(dāng)聲波垂直入射時,波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法得出的隔聲量曲線基本吻合。

    圖9 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的雙層板結(jié)果對比圖(聲波垂直入射,50000 Hz)

    當(dāng)聲波斜入射時,在低頻范圍內(nèi),波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的計算結(jié)果吻合得比較好;當(dāng)進(jìn)入中高頻范圍內(nèi)時,出現(xiàn)駐波谷值和板的吻合頻率隔聲低谷,2種方法計算出的隔聲量曲線不再吻合。波傳遞法可以捕捉到“板-空氣-板”共振頻率和駐波頻率,但是無法捕捉到板的吻合頻率,而結(jié)構(gòu)彎曲波法可以捕捉到以上3種隔聲谷值的頻率。

    圖10 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法雙層板結(jié)果對比圖(聲波30o斜入射,50000 Hz)

    圖11 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的雙層板結(jié)果對比圖(聲波70o斜入射50000 Hz)

    4.2 聲波垂直入射時2種方法的等效條件

    對于無限大空腔雙板結(jié)構(gòu),聲波垂直入射時的等效條件和無限大單板的等效條件一樣,如式(34)所示。當(dāng)不滿足垂直入射的等效條件時,分別采用波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法計算空腔雙板結(jié)構(gòu)的隔聲量,2種方法得出的隔聲量曲線不能完全吻合。

    4.3 空腔雙板隔聲量的谷值分析

    首先,分析“板-空腔-板”共振頻率,即實(shí)心圓標(biāo)記出的谷值頻率。當(dāng)聲波穿透沒有任何連接結(jié)構(gòu)的無限大空腔雙板結(jié)構(gòu)時,中間密封的空氣腔對聲傳播起了重要的作用。此時,可將中間密封的空氣層近似視為一個彈簧,它能夠?qū)⑷肷浒宓恼駝觽鬟f到輻射板。中間空氣層的等效剛度[3,9]為

    根據(jù)式(37),計算出“板-空腔-板”的共振頻率:249 Hz(0o)、287 Hz(30o)和728 Hz(70o);采用本文2種方法計算的值為249 Hz(0o)、287 Hz(30o)和728 Hz(70o);兩者的結(jié)果完全吻合。從前面的計算結(jié)果可看出:波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法均能準(zhǔn)確地計算出“板-空腔-板”的共振頻率。

    接下來,分析空氣腔的駐波頻率,即實(shí)心矩形標(biāo)記的谷值頻率??諝馇恢械鸟v波頻率可以由駐波的發(fā)生條件求得

    在不同入射俯仰角下,“板-空腔-板”的共振頻率是不一樣的,該共振頻率的計算公式為[10]

    其中:φ2為中間層的透射波與板面的夾角,這里用入射聲波的入射角φ近似代替

    根據(jù)式(39)可計算聲波入射角不同時的駐波共振頻率。取2個共振谷值作對比,式(39)的理論計算值為 18421 Hz(30o,n=2)、23322 Hz(70o,n=1);結(jié)構(gòu)彎曲波法的計算結(jié)果為18432 Hz(30o,n=2)、23320 Hz(70o,n=1);波傳遞法計算的結(jié)果為 18426 Hz(30o,n=2)、23350 Hz(70o,n=1)。從上面的對比結(jié)果可看出:波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法均能指示出空氣腔的駐波共振頻率。

    最后討論空腔雙板模型中板的吻合頻率,即實(shí)心三角形標(biāo)記出的谷值頻率。這里,同樣根據(jù)無限大單板吻合頻率的計算式(35),可得到空腔雙板的吻合頻率為24051 Hz(30o)和6809 Hz(70o),與圖10和圖11中的隔聲谷值頻率點(diǎn)24056 Hz(30o)和6809 Hz(70o)基本一致。

    5 結(jié)語

    對于無限大單板和空腔雙板2種結(jié)構(gòu),當(dāng)聲波垂直入射時,基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的隔聲量計算結(jié)果幾乎一致;當(dāng)聲波斜入射時,由于板彎曲波的影響不能忽略,因此基于結(jié)構(gòu)彎曲波法計算出的隔聲量更準(zhǔn)確一些。波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法均能捕捉到“板-空腔-板”共振頻率和駐波共振頻率。同時,結(jié)構(gòu)彎曲波法還能捕捉到板的吻合頻率,而波傳遞法不能捕捉到該頻率。

    綜上,針對薄板結(jié)構(gòu),當(dāng)聲波垂直入射且滿足等效條件時,采用波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法計算得到的隔聲量基本是一致的;當(dāng)聲波斜入射時,波傳遞法的計算結(jié)果在稍中高頻范圍內(nèi)顯得不可靠,主要是因?yàn)椴▊鬟f法沒有考慮板結(jié)構(gòu)彎曲波的影響,所以結(jié)構(gòu)彎曲波法的計算結(jié)果相對可靠一些。

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