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    數(shù)形結(jié)合更入微
    ——例談“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

    2019-08-27 09:13:24江蘇無錫市玉祁中心小學(xué)薛維惠丁君華
    小學(xué)教學(xué)研究 2019年17期
    關(guān)鍵詞:邊長數(shù)形結(jié)合數(shù)形

    江蘇無錫市玉祁中心小學(xué) 薛維惠 丁君華

    “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老也是最基本的研究對象,它們雖然存在于兩個(gè)系統(tǒng)中,但又是一一對應(yīng)的?!皵?shù)形結(jié)合”就是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形相結(jié)合,將形象思維和抽象思維相結(jié)合,從而使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化,由表及里去探尋知識(shí)本質(zhì),尋找優(yōu)化策略的數(shù)學(xué)思想。小學(xué)階段的學(xué)生思維以形象直觀為主,教學(xué)中教師要重視把枯燥復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成形象直觀的圖形,讓學(xué)生感受數(shù)形之間的美妙契合,找到解題的方法。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是簡單的操作模仿,如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想,幫助學(xué)生豐富內(nèi)心體驗(yàn),實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu),從而優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)呢?筆者結(jié)合教學(xué)中的一道練習(xí),粗淺地說說自己的一些思考。

    一、聚焦問題——困于遁形的正方形

    “明明在一張長8 厘米,寬5 厘米的長方形紙里剪了一個(gè)最大的正方形,這個(gè)正方形的邊長是多少厘米?”這是三年級《長方形和正方形》單元的一道數(shù)學(xué)習(xí)題,旨在讓學(xué)生通過練習(xí)進(jìn)一步了解長方形和正方形的特征及聯(lián)系。從低年級整體直觀感知到三年級深入建構(gòu)長方形和正方形的特征,對學(xué)生來說,是一個(gè)質(zhì)的變化,需要強(qiáng)大的空間觀念作為支撐。事實(shí)上,三年級學(xué)生的空間觀念有限,遇到這樣的實(shí)際問題往往束手無策,不知從哪里開始思考。所以,分析練習(xí)時(shí)往往教師講得口干舌燥,學(xué)生還是一頭霧水。等到下次遇到這種類型的習(xí)題,又有一大批學(xué)生舉“白旗”投降,隨便填寫答案。追問其原因,是因?yàn)樯洗未鸢柑畹氖沁@個(gè)數(shù),真是令人抓狂。細(xì)細(xì)分析原因,其實(shí)看似簡單的問題對學(xué)生來說還是抽象的,學(xué)生在解答這題時(shí),思維往往停留在機(jī)械、呆板的模仿階段,知道在長方形中剪一個(gè)最大的正方形,正方形的邊長等于長方形的寬,但為什么邊長會(huì)等于寬?為什么不能更大些?這個(gè)長方形能不能剪出其他的正方形?這些問題沒有得到真正解決,說明學(xué)生對長方形和正方形之間的關(guān)系還沒有真正認(rèn)識(shí)透徹。再深入分析一下,面對一個(gè)長方形,為什么學(xué)生不能自己找到那個(gè)最大的正方形?是因?yàn)檎叫蔚臒o形,學(xué)生看不見摸不著,感覺不到它的存在,所以抽象、難懂,這對學(xué)生的空間觀念確實(shí)是一個(gè)挑戰(zhàn),因此只靠教師講解,缺少學(xué)生自己的數(shù)學(xué)思考和理解,這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)蒼白無力,因此讓學(xué)生產(chǎn)生了“山窮水盡疑無路”之感。

    二、探尋策略——想象動(dòng)態(tài)的正方形

    如何帶領(lǐng)學(xué)生走出“困境”,讓簡約變得不簡單,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)豐富起來呢?實(shí)踐證明,數(shù)形結(jié)合就是一種非常有用的思維方式,由數(shù)及形,因形尋法,借助具體的形把抽象的數(shù)學(xué)問題化隱為顯,變得可視、可指、可表述,從而使學(xué)生的抽象思維、邏輯思維和空間想象能力因?yàn)橛幸欢ǖ奈锘味玫接行嵘?,提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力?!皢栴}就在那里,你必須解決它?!保ㄏ柌兀W(xué)生完成練習(xí)的過程,便是探索的過程,教師要引導(dǎo)學(xué)生努力尋求策略——不妨畫個(gè)示意圖,在數(shù)與形的靈活變換中找到聯(lián)系,嘗試解決問題。

    具體教學(xué)如下:

    師:同學(xué)們,這是一個(gè)長8厘米,寬5厘米的長方形紙(圖1)。如果讓你用剪刀能不能剪出一個(gè)正方形,你能剪出邊長是多少厘米的正方形?

    生:能剪出邊長5厘米的正方形。

    師:只能剪出邊長5厘米的正方形嗎?你還能在這個(gè)長方形里看到其他的正方形嗎?現(xiàn)在老師把這個(gè)長方形沿著長、寬分成邊長是1 厘米的方格,長是8 格,寬是5 格(圖2),你在長方形中看到正方形了嗎?

    圖1

    圖2

    生:我看到了邊長1厘米的正方形。

    生:我看到了邊長2厘米的正方形。

    生:我看到了邊長3 厘米、4 厘米、5 厘米的正方形。

    (教師在圖中沿著方格線畫出來)

    師:哦,原來在這個(gè)長方形中藏著好多正方形呢,有邊長1厘米的正方形、邊長2厘米的正方形、邊長3厘米、邊長4厘米、邊長5厘米的正方形。其中最大的是邊長幾厘米的正方形?

    生:邊長5厘米的正方形。

    師追問:能不能剪出邊長6厘米的正方形?為什么?

    生:(觀察直觀圖)不能,邊長6 厘米的正方形,長夠剪,但寬沒有了。

    師:現(xiàn)在老師再把長延長至10厘米(圖3),想一想,你能看到邊長幾厘米的正方形,最大的正方形邊長是多少厘米?

    圖3

    生:我看到了邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米、4 厘米、5厘米的正方形,邊長是5厘米的正方形最大。

    師:為什么長變長了,最大的正方形邊長還是5厘米?

    生:因?yàn)閷捴挥?厘米。

    師:如果寬不變,長變成20 厘米,剪出的最大正方形邊長是多少厘米?

    生:邊長5厘米的正方形。

    師:如果長不變,寬變成7厘米,剪出的最大正方形邊長是多少厘米?

    生:剪出的最大正方形的邊長是7厘米。

    師:還能剪出邊長是多少厘米的正方形?

    生:還有邊長是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的正方形。

    師:在下面的長方形中,能畫出哪些邊長是整厘米數(shù)的正方形?最大的一個(gè)正方形邊長是多少厘米?

    圖4

    圖5

    生:在圖4 中能畫出邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形,最大的正方形邊長3厘米。

    生:在圖5 中能畫出邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米、4厘米、5厘米、6厘米的正方形,最大的正方形邊長6厘米。

    師:想一想,長方形中剪一個(gè)最大的正方形,正方形的邊長和什么有關(guān)?

    生:在長方形中剪一個(gè)最大的正方形,正方形的邊長等于長方形中較短邊的長度。

    師:隨著我們以后進(jìn)一步學(xué)習(xí),就會(huì)知道在長方形中除了能找到邊長整厘米數(shù)的正方形,還能找到無數(shù)個(gè)邊長不是整厘米數(shù)的正方形。

    三、反思與解讀——數(shù)形結(jié)合,柳暗花明

    1.依托有形,有序建構(gòu)

    如何讓藏于長方形中的抽象正方形現(xiàn)身?本案例中,教師別出心裁地將長方形置于方格紙中,借助直觀的方格圖,一個(gè)個(gè)有形的正方形躍然紙上,學(xué)生面對可以感受到的正方形,自然能迅速找到那個(gè)最大的正方形了。當(dāng)然,讓藏匿的正方形現(xiàn)形,這只是第一步。依托這張方格紙,教師不斷讓學(xué)生的思維走向深入:長變化,寬不變,剪出的最大正方形為什么沒有變化?如果長寬都變化了,此時(shí)能剪出的最大正方形又是怎么變化的?讓學(xué)生借助圖形直觀感受數(shù)與形的變化,在變與不變中感悟長方形和正方形之間的緊密聯(lián)系。進(jìn)而,離開方格紙,尋找那個(gè)空白長方形中最大的正方形,此時(shí)這個(gè)無形的正方形已在學(xué)生腦中悄然著陸,變得有形可感,長方形和正方形之間的聯(lián)系也走向了深入,空間觀念的建構(gòu)也變得扎實(shí)、有序。

    2.依托動(dòng)態(tài),靈動(dòng)生長

    “在長10厘米,寬6厘米的長方形中,邊長2厘米的正方形還可以怎么剪?一定只能剪6 個(gè)不同的正方形嗎?”這樣的變化是否要讓學(xué)生感覺到?又該如何滲透?筆者認(rèn)為,可以借助多媒體手段,讓學(xué)生直觀地看到邊長2 厘米的正方形在長方形中有序的運(yùn)動(dòng),還可以動(dòng)態(tài)地演示正方形邊長由1厘米逐漸變化為6厘米的過程,讓學(xué)生初步感受到其實(shí)不僅僅只有6個(gè)不同的正方形,內(nèi)含著無數(shù)個(gè)正方形,最大的正方形邊長是6厘米。這樣動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn),學(xué)生的思維視角也漸趨開闊:所能看到的正方形可以移動(dòng)位置、大小可以不斷發(fā)生變化。數(shù)學(xué)空間觀念的培養(yǎng)離不開想象,這樣以直觀的變化來促成學(xué)生想象視角的變化,以運(yùn)動(dòng)變化的視角來展開想象、展開思維,對學(xué)生的震撼是強(qiáng)烈的、感受是深刻的,無疑打開了想象的新天地,空間觀念得以靈動(dòng)地生長。當(dāng)然,這樣的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)切忌矯枉過正,需要把握教學(xué)的度,適當(dāng)給學(xué)生些開放的視角,點(diǎn)到即可。

    “數(shù)缺形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微?!碑?dāng)直觀的圖形和抽象的問題相結(jié)合,學(xué)生也就找到了解決問題的腳手架,數(shù)學(xué)在他們的眼中也會(huì)隨之變得簡單而豐富。圖形、動(dòng)態(tài)雖只是依托,但恰恰是這些不可少的巧妙依托,能架起學(xué)生思維與學(xué)科知識(shí)過渡的橋梁,讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)穩(wěn)穩(wěn)地著陸——深刻地思考,扎實(shí)地建構(gòu),靈動(dòng)地生長。

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