關(guān)于“理解”指向的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)思考

樂京科

【關(guān)鍵詞】理解性教學(xué);高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí);深度理解

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2018）27-0038-04

琳達(dá)·達(dá)林-哈蒙德（Linda Darling-Hammond）是斯坦福大學(xué)教育學(xué)院教育學(xué)教授。她在《高效學(xué)習(xí)——我們所知道的理解性教學(xué)》一書中指出：“只把數(shù)學(xué)當(dāng)成是一套需要掌握原理和程序的學(xué)生，將只會學(xué)到那些——原理和程序——而他們在概念理解能力和問題解決技能上會收獲很少”。[1]理解性教與學(xué)，正成為數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然選擇與追求。

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，常常見到以下現(xiàn)象：在知識梳理環(huán)節(jié)，教師或簡單呈現(xiàn)式回憶，或輕描淡寫地帶過;在講解典型例題時，教師多示范解法而少示范想法，更少涉及解法本質(zhì)的剖析;學(xué)生的鞏固訓(xùn)練則更多地停留在“照瓢畫瓢”的模仿層面……凡此種種，使得學(xué)生一次次錯失對概念理解、對問題本質(zhì)理解的機(jī)會。究其原因，既有“磨刀怕誤砍柴工”的急功焦躁之心，更與對理解性教學(xué)缺乏認(rèn)同有關(guān)。本文借高三復(fù)習(xí)課中的幾個案例，就知識梳理、例題示范、遷移鞏固環(huán)節(jié)，如何通過理解性地教，去幫助學(xué)生理解性地學(xué)，談點個人的看法。

一、知識梳理，應(yīng)促進(jìn)學(xué)生對復(fù)習(xí)內(nèi)容的深度理解

案例1：簡單呈現(xiàn)式復(fù)習(xí)。

在一節(jié)“直線的方程”復(fù)習(xí)課上，一開始，教師投影出示以下內(nèi)容：

（1）直線l經(jīng)過點P1（x1，y1），斜率為k，則它的點斜式方程是 ___________ ? 。

（2）若直線l在y軸上的截距為b，斜率為k，則它的方程是 ___________?。

（3）直線l經(jīng)過點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），它的兩點式方程是 ___________?。

（4）若直線l在x軸上的截距為a（a≠0），在y軸上的截距為b（b≠0），則它的方程是___________? ?。

（5）直線方程的一般式是Ax+By+C=0，其中A，B應(yīng)滿足的條件是 ? ___________ ?。

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一大重要任務(wù)就是使學(xué)生的知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并加深其對知識的理解及知識間內(nèi)在聯(lián)系的把握。上述對直線方程有關(guān)知識的梳理，是典型的呈現(xiàn)式教學(xué)，學(xué)生對用“數(shù)”來表征“形”的解析思想、對直線方程的四種特殊形式及其內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)知仍浮于表面，溫故未能知新。

案例1的改進(jìn)：

師：同學(xué)們，所謂直線方程，實質(zhì)上就是用這條直線上任意一點的坐標(biāo)（x，y）去刻畫直線所滿足的幾何條件，也即直線幾何特性的一種代數(shù)表達(dá)。請思考以下四個問題：

（1）給定一個點P0和直線的方向，可確定一條直線。怎樣代數(shù)化地表述這條直線？

（2）直線方程有四種特殊形式，你認(rèn)為哪一種是“最基本”的？這四種形式中的每一種，是否能表示平面內(nèi)的所有直線？為什么？

（3）為什么又會有個直線方程的一般式？它有什么作用？

（4）求滿足下列條件的直線的方程：①直線l經(jīng)過點A（-4，6），B（0，-2）;②直線l經(jīng)過點A（3，-4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等。

【分析】教師一開始所說的話是對解析思想的再強(qiáng)化。問題（1）通過對點P0和方向這兩個幾何條件的代數(shù)化——坐標(biāo)、斜率，進(jìn)而將直線上任一點P所滿足的幾何條件（與點的連線就是給定的方向）翻譯成代數(shù)形式。在這一師生互動的過程中，學(xué)生對直線方程產(chǎn)生的背景有了進(jìn)一步的體認(rèn)，對解析思想的理解自然又深了一層。問題（2）旨在幫助學(xué)生理解點斜式是四種具體形式中最基本的一種，其他形式均由此推導(dǎo)而來，從而理解這四種具體形式間的內(nèi)在聯(lián)系。而四種形式的局限性，是由代數(shù)刻畫時的局限帶來的。例如，垂直于x軸的直線的斜率不存在，兩點式或截距式中的分母不能為零等。問題（3）是幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識直線方程的一般式是前面四種具體形式的“共性”概括，即：直線的方程究竟“長”什么樣？進(jìn)一步地，像點斜式、截距式方程化成一般式Ax+By+C=0后，其系數(shù)A，B，C應(yīng)滿足什么條件？從而豐富學(xué)生對不同表達(dá)式內(nèi)在聯(lián)系的理解。問題（4）的第①問，可用點斜式或兩點式或斜截式求解。第②問，解題后教師可追問：為什么用點斜式方程y+4=k（x-3）解此問題不會漏解？（因為本題中截距相等的直線，其斜率必存在。）

學(xué)生對要復(fù)習(xí)的內(nèi)容，并非一無所知，更多的是在某些點上一知半解，似懂非懂。教師要做的，就是診斷學(xué)生的疑難困惑所在，把要復(fù)習(xí)的知識內(nèi)容放在單元、章節(jié)乃至更大的背景上去考量，分析其內(nèi)在聯(lián)系的節(jié)點。并以此為起點，創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計辨析問題或編制練習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維參與。學(xué)生在對問題思考和解答的過程中，自主地在頭腦里提取、整合學(xué)過的知識，并用新的方式“解釋、推斷、聯(lián)系、應(yīng)用”。經(jīng)過這一番梳理，學(xué)生對要復(fù)習(xí)的知識、概念才能結(jié)構(gòu)化，在原有基礎(chǔ)上才能有新的認(rèn)識，新的體悟。

上面改進(jìn)后的案例1，在學(xué)生復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，對解析幾何的思想、直線方程幾種形式間的內(nèi)在聯(lián)系及其運用時的局限性等做了有機(jī)整合。通過問題驅(qū)動、小題練習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生對原有知識方法進(jìn)行深層次思考，促進(jìn)他們對復(fù)習(xí)內(nèi)容的深度理解。

二、例題示范，應(yīng)透視剖析方法之源流與本質(zhì)

案例2：重術(shù)輕道的解題教學(xué)。

在一節(jié)“兩條直線的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)課上，教師出示了以下一道題：

若直線l1：y=kx+k+2與l2：y=-2x+4的交點在第一象限，則k的取值范圍是 ___________ 。

待學(xué)生思考片刻后，教師請一名學(xué)生到黑板前講解自己的解題思路。如圖1，這名學(xué)生觀察出直線l1是過定點P（-1，2）的動直線，將定點P與A（2，0），B（0，4）分別相連，得直線

【分析】這位教師讓學(xué)生講解自己解題過程與思路的做法值得肯定。但這種利用數(shù)形結(jié)合的巧妙做法不一定是所有學(xué)生在第一時間都能想出的，教師應(yīng)當(dāng)對更一般的解法進(jìn)行深入分析。

案例2的改進(jìn)：

在這名學(xué)生講解之后，教師可作如下進(jìn)一步的交流：

（1）“交點在第一象限”，能否將交點坐標(biāo)解出來？（解出交點坐標(biāo)就是用代數(shù)方法處理幾何問題，而這正是解析思想的本質(zhì)。）

上述三個問題，直擊解析幾何學(xué)習(xí)中的兩個重要問題——代數(shù)方法蘊含的解析思想，代數(shù)運算能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)。筆者認(rèn)為，本題更宜以代數(shù)方法為主。數(shù)形結(jié)合之巧法，可作為對代數(shù)結(jié)果的驗證。

案例3：口號式的解題教學(xué)。

在復(fù)習(xí)“線面平行”時，一位教師選用了下面的題：

如圖2，在三棱柱ABC-A1B1C1中， 點D是AB的中點。求證： AC1∥平面CDB1。

教學(xué)片段如下：

師：要證線面平行，常用的方法是什么？

生： （近乎齊答）找線線平行。

約一分鐘后，個別學(xué)生有了思路，教師提問學(xué)生Z。

生Z： 連接BC1交B1C于點M， 連接DM， 由條件知道，BCC1B1是平行四邊形， 所以M是BC1的中點， 而D是AB的中點， 由三角形中位線定理， DM∥AC1， DM 就是要找的線。

師： 很好。這位同學(xué)由條件中的中點D聯(lián)想到中位線，找到了這條線。

【分析】這里，學(xué)生Z將平面CDB1內(nèi)的這條線找出來后，大部分學(xué)生對學(xué)生Z的思路進(jìn)行認(rèn)可和確認(rèn)。筆者考慮的則是：證明線面平行這一類問題，其本質(zhì)方法究竟是什么？難道就是這位教師說的，由中點聯(lián)想到中位線這樣的套路？是不是停留在“找線線平行”這樣的口號？怎樣從方法本質(zhì)的層面去指導(dǎo)學(xué)生找出這樣的線？

回到線面平行的判定定理，不難看出，在平面內(nèi)要找的這條線與平面外的那條線是平行的，其實質(zhì)是共面的。因此，要找的這條線DM是過面外那條線AC1的平面BAC1與已知平面CDB1的交線——將空間線面平行的推證問題轉(zhuǎn)化為平面上兩條線的平行問題，這才是線面平行這一類問題處理方法的本質(zhì)。學(xué)生理解了這一點，余下的只是如何找這樣的一個輔助平面BAC1的具體技術(shù)問題。本題是將點B視為中心，用中心投影法找出了輔助平面。在有些情境中，是用平行投影的方法找到這樣的輔助平面。

上面這樣一個小小的教學(xué)環(huán)節(jié)就涉及了空間問題平面化的降維思想，對幾何定理中蘊含的基本圖形、基本方法本質(zhì)的剖析以及基本作圖能力。江蘇省特級教師馬明曾談過數(shù)學(xué)教學(xué)功能的四個層次：數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想、解題方法、解題術(shù)。從上述案例2和案例3中，可以看到有的教師在平時教學(xué)中過多地關(guān)注了解題的具體方法、技術(shù)、技巧，而忽視了更高層次的觀念、思想、宏觀的解題策略，即理解性學(xué)習(xí)的解題之“道”。 從“道”入手，學(xué)生才有可能在模仿、體悟、反思并不斷積累經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，有更深刻的理解， 并內(nèi)化成自己的、自然而本質(zhì)的解題思想、解題方法和分析策略。

三、遷移鞏固，應(yīng)立足變式析理助悟

變式教學(xué)不僅在新授課中，在高三復(fù)習(xí)課中更是被廣泛運用。通過變式與遷移，將習(xí)得的方法運用于新的情境，解決新的問題，從而提升理解數(shù)學(xué)的能力。但就筆者平時聽課觀察發(fā)現(xiàn)，不少變式教學(xué)的目的性和方向性不明，要么是原題的簡單翻版，要么是變成了與原題不搭界的一個新題，原題在變式中變了味。

高考復(fù)習(xí)中很重要的一個環(huán)節(jié)就是在溫故的基礎(chǔ)上求新知。其中，變式遷移是通過實戰(zhàn)演練達(dá)成新知內(nèi)化的有效途徑和手段。具體關(guān)系可見圖3。

案例4：復(fù)習(xí)函數(shù)奇偶性。

在復(fù)習(xí)函數(shù)奇偶性時，學(xué)生常有這樣的三個難點：一是定義域是否關(guān)于原點對稱;二是分段函數(shù)的奇偶性的判斷;三是奇偶性與單調(diào)性的綜合運用。以下題目涉及的變式就很好地體現(xiàn)了由淺度感知到深度理解，進(jìn)而到遷移內(nèi)化的訓(xùn)練過程。

（1）設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，則不等式f（x）

（2）設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，則不等式f（x）>f（2x+1）的解集是 ______________ ?。

（3）已知函數(shù)f（x）=x2-|x|，若f（-m2-1）

【分析】上述三道題，題（1）是直接運用偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合圖象就可得解;題（2）則觸及這類問題的本質(zhì)：函數(shù)值大小→自變量值大小→自變量x，2x+1的絕對值大小→圖象上的點與對稱軸的距離遠(yuǎn)近;而題（3）則將一般的偶函數(shù)具體化，考查學(xué)生能否洞察出其奇偶性、單調(diào)性，是對所學(xué)知識和方法運用于新情境下能力的檢驗。

數(shù)學(xué)教育專家顧泠沅先生曾系統(tǒng)分析和闡述過變式教學(xué)，確認(rèn)和說明了兩種變式——“概念性變式”和“過程性變式”。在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，應(yīng)運用這兩種變式，在變式中求遞進(jìn)，以不斷提升學(xué)生在新情境中解決問題的能力。

以上所論及的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的三個方面都是對為理解而教，為理解而學(xué)的追求。復(fù)習(xí)中，立足深度理解，方能透視方法本質(zhì)，方能跳出題海，復(fù)習(xí)教學(xué)才能高效。

【參考文獻(xiàn)】

[1]琳達(dá)·達(dá)林-哈蒙德，等.高效學(xué)習(xí)——我們所知道的理解性教學(xué)[M].馮銳，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2010.

[2]顧泠沅，楊玉東.過程性變式與數(shù)學(xué)課例研究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（1-2）.

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