基于現(xiàn)場(chǎng)可編程邏輯門(mén)陣列的磁控憶阻電路對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)行為分析*

呂晏旻 閔富紅

(南京師范大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，南京 210023)

1 引 言

憶阻器是一種具有記憶功能的非線(xiàn)性元件,它的提出彌補(bǔ)了磁通與電荷間關(guān)系的缺失[1],其作為一種非線(xiàn)性二端口元件,適用于構(gòu)建混沌振蕩電路并產(chǎn)生復(fù)雜的非線(xiàn)性現(xiàn)象.但是,從1971年蔡少棠教授提出憶阻這一概念以來(lái),憶阻器就因其物理工藝難度大、制造成本高等缺點(diǎn),不適用于作為實(shí)用電路中的分立元件[2].因此,關(guān)于建立各類(lèi)憶阻器等效電路或替代模型,構(gòu)建憶阻混沌電路的研究相繼廣泛開(kāi)展[3?7].憶阻模型的建立主要有兩種思路,其一是基于惠普實(shí)驗(yàn)室的一類(lèi)憶阻模型,研究最為廣泛的是HP TiO2線(xiàn)性參雜漂移模型[3]和HP TiO2非線(xiàn)性窗函數(shù)憶阻模型[4]; 其二是根據(jù)憶阻原始定義構(gòu)建的二次非線(xiàn)性模型[5]、分段線(xiàn)性模型[6]、三次非線(xiàn)性模型[7]等.而將第二類(lèi)憶阻器引入各類(lèi)經(jīng)典混沌系統(tǒng),如蔡氏電路[8]、Loren系統(tǒng)[9]、Jerk電路[10]和文氏橋振蕩器[11]等,是構(gòu)建憶阻混沌系統(tǒng)最常見(jiàn)的方法之一.

較常規(guī)混沌系統(tǒng)而言,憶阻混沌系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生特殊且豐富的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為,因此有關(guān)憶阻系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)研究也已廣泛開(kāi)展[12?17].近年來(lái),隨著研究的深入,學(xué)者們也提出并定義了一些憶阻電路所特有的新的非線(xiàn)性現(xiàn)象,如隱藏吸引子[12]、自激吸引子[13]及反單調(diào)特性[14]等.其中,文獻(xiàn)[12]構(gòu)造了一個(gè)新型超混沌四維憶阻電路,針對(duì)該電路中存在的無(wú)限隱藏多吸引子共存現(xiàn)象進(jìn)行分析.為了區(qū)別于隱藏吸引子的概念,文獻(xiàn)[13]將傳統(tǒng)連續(xù)混沌系統(tǒng)中由不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)產(chǎn)生的吸引子定義為自激吸引子.文獻(xiàn)[14]基于憶阻自激振蕩的jerk電路,觀(guān)察到一些新的特殊非線(xiàn)性現(xiàn)象,即反單調(diào)特性、周期窗與混沌危機(jī).當(dāng)然,多穩(wěn)態(tài)是許多非線(xiàn)性系統(tǒng)中的典型現(xiàn)象[18?21],也是近年來(lái)研究的熱點(diǎn)之一.它解釋了系統(tǒng)中多吸引子的共存現(xiàn)象,表現(xiàn)為在相同系統(tǒng)參數(shù)下改變不同的初值,系統(tǒng)擁有多個(gè)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)吸引子,如左右混沌/超混沌、極限環(huán)或小周期等共存現(xiàn)象[18].當(dāng)這種共存吸引子的數(shù)量趨于無(wú)窮時(shí)便被認(rèn)為是無(wú)窮多吸引子的共存,研究者們將這種現(xiàn)象稱(chēng)之為超級(jí)多穩(wěn)態(tài)[19].同時(shí),憶阻系統(tǒng)中的多穩(wěn)定性可被作為信息應(yīng)用工程的外加信號(hào)源[22],或用于圖像加密處理[23],因此研究此類(lèi)憶阻混沌系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法和多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象具有理論意義與工程價(jià)值.

以上所述,均為目前報(bào)道過(guò)的憶阻系統(tǒng)中豐富且復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.本文將二次非線(xiàn)性磁控憶阻模型引入改進(jìn)型蔡氏電路[24],構(gòu)建新型四維憶阻系統(tǒng),觀(guān)察到憶阻電路中的對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)行為,這一行為在之前極少被報(bào)道.文獻(xiàn)[25,26]根據(jù)憶阻系統(tǒng)對(duì)稱(chēng)性出現(xiàn)時(shí)的極性平衡需求,提出極性調(diào)整與偏置控制的方法來(lái)構(gòu)建更為多樣的對(duì)稱(chēng)憶阻系統(tǒng)及繁殖吸引子.因此,對(duì)系統(tǒng)自身存在的對(duì)稱(chēng)行為進(jìn)行分析是具有物理意義的,也可為后續(xù)控制與應(yīng)用打下基礎(chǔ).本文提出的憶阻電路模型簡(jiǎn)單且規(guī)整,通過(guò)分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜等非線(xiàn)性分析手段,觀(guān)察到特定系統(tǒng)參數(shù)下特殊的對(duì)稱(chēng)分岔行為.隨后,通過(guò)雙參數(shù)映射圖進(jìn)一步探討這種特殊對(duì)稱(chēng)行為的存在性.對(duì)稱(chēng)域內(nèi)多吸引子共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象則通過(guò)對(duì)應(yīng)參數(shù)-初值平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分布圖展現(xiàn),并使用混沌與周期的相軌跡圖驗(yàn)證.最后,利用現(xiàn)場(chǎng)可編程邏輯門(mén)陣列(field programmable gate array,FPGA)實(shí)現(xiàn)所構(gòu)四維憶阻系統(tǒng).結(jié)合“Modelsim”與“ISE Design Suite”軟件,完成數(shù)字電路實(shí)驗(yàn),其結(jié)果也驗(yàn)證數(shù)值仿真的正確性.

2 電路模型

以改進(jìn)型蔡氏系統(tǒng)[24]為基礎(chǔ),構(gòu)建一個(gè)基于絕對(duì)值憶阻模型的新型磁控憶阻混沌電路,整體電路方案如圖1(a)所示.圖1(b)是磁控憶阻模型的等效電路原理圖[27],其端口的對(duì)外特性與二次非線(xiàn)性的有源磁控憶阻器等效.

圖1 電路模型(a)磁控憶阻電路;(b)磁控憶阻等效電路Fig.1.Circuit schematic:(a)Flux-controlled memristor circuit;(b)equivalent Circuit of flux-controlled memristor.

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1.The valueof system parameters.

在圖1(a)中,改進(jìn)型磁控憶阻電路由四個(gè)一階非線(xiàn)性微分方程表示,其對(duì)應(yīng)的四個(gè)狀態(tài)變量分別為電壓v1、電壓v2、電流i和磁通φ,這四個(gè)變量代表四個(gè)電路元件C1,C2,L和憶阻器W(φ)的電壓-電流或磁通-電荷關(guān)系.根據(jù)基爾霍夫定律,圖1(a)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程如下

(1)式中磁控憶阻器的憶導(dǎo)方程如(2)式,其中α和β為兩個(gè)正憶阻參數(shù)值.

在無(wú)量綱化過(guò)程中,新的狀態(tài)變量與系統(tǒng)參數(shù)在(3)式中給出:

根據(jù)(1)式對(duì)應(yīng)的電路狀態(tài)方程,可得到(4)式描述的數(shù)學(xué)模型,其中W(w)=?α+β|w| 是憶阻器的歸一化模型.

后續(xù)分析將以(4)式所描述的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ),系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如表1.初值設(shè)置為(10–9,0,0,0),圖2(a)為y-z平面上雙渦卷混沌吸引子相圖.圖2(b)展現(xiàn)y-z平面上對(duì)應(yīng)的Poincaré截面圖,呈現(xiàn)的曲線(xiàn)是連續(xù)的,證明該系統(tǒng)是混沌的.

圖2 y?z 平面上典型混沌吸引子的相圖與Poincaré截面圖(a)相圖;(b)Poincaré截面圖Fig.2.Phase portrait and Poincaré map of typical chaotic attractor in y?z plane:(a)Phase portrait;(b)Poincaré map.

3 動(dòng)力學(xué)行為分析

3.1 對(duì)稱(chēng)共存分岔

為了討論不同參數(shù)下系統(tǒng)(4)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理,隨參數(shù)γ,c變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜分別在圖3和圖4中給出,其他系統(tǒng)參數(shù)的選擇如表1所示.將仿真初值設(shè)置為接近于原點(diǎn)的(±10?9,0,0,0),可最大程度地降低初值對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.圖3(a)與圖4(a)中兩重疊的分岔軌跡展現(xiàn)的是狀態(tài)變量xmax隨參數(shù)γ,c的變化趨勢(shì),其中藍(lán)紅兩色點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)初值(10?9,0,0,0)及(?10?9,0,0,0).其次,由于取相反初值時(shí)Lyapunov指數(shù)譜是大致相同的,因此圖3(b)和圖4(b)僅給出正初值(10?9,0,0,0)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜.

觀(guān)察圖3(a)可知,參數(shù)γ在(0.704,0.808)范圍內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)(4)處在周期態(tài).當(dāng)參數(shù)γ∈(0.808,0.829)∪(0.845,0.9),四階憶阻系統(tǒng)(4)產(chǎn)生混沌吸引子,而且圖3(b)中對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)大于零.隨后,觀(guān)察圖4(b)的Lyapunov指數(shù)譜發(fā)現(xiàn) 0.9≦c≦1.13 時(shí)大部分最大Lyapunov指數(shù)均大于0,即系統(tǒng)處在混沌態(tài),同時(shí)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有多個(gè)周期窗出現(xiàn).參數(shù)c在(1.13,1.41)或(1.41,1.5)區(qū)間內(nèi)增加時(shí),系統(tǒng)分別產(chǎn)生周期軌跡與穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn),兩區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)如圖4(b)所示,分別為零值與小于零的值.系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)與具體區(qū)間分布如表2所列.總體而言,隨參數(shù)γ在0.66到0.9內(nèi)增加,新型憶阻系統(tǒng)從穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)過(guò)渡到周期態(tài),后又通過(guò)多個(gè)倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài).值得注意的是,在參數(shù)c的變化范圍內(nèi),系統(tǒng)所呈現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為與參數(shù)γ變化時(shí)大致相反.換言之,隨這兩種不同參數(shù)變化時(shí),系統(tǒng)分岔行為呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性.當(dāng)參數(shù)c從0.9開(kāi)始增加時(shí),系統(tǒng)最先處在混沌狀態(tài),隨后經(jīng)過(guò)反向倍周期分岔進(jìn)入周期,最后系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉€(wěn)定不動(dòng)點(diǎn).

3.2 雙參數(shù)平面的運(yùn)動(dòng)分布

通過(guò)雙參數(shù)吸引盆討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)(運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分)布對(duì)稱(chēng)性的影響.系統(tǒng)(4)初值固定在 10?9,0,0,0 ,相關(guān)系統(tǒng)參數(shù)取值依據(jù)表1,可得到圖5的雙參數(shù)吸引盆.參數(shù)組合γ?b,c?b,γ?ξ與c?ξ所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分布分別在圖5(a)—(d)中展現(xiàn),各種系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為用不同顏色標(biāo)注,紫色為穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn),藍(lán)色為周期1,綠色描述周期2,黃色代表周期3,紅色為復(fù)雜運(yùn)動(dòng),具體內(nèi)容見(jiàn)表3.值得指出的是,被命名為“復(fù)雜運(yùn)動(dòng)”的紅色區(qū)域,包含大于周期3的多周期與混沌運(yùn)動(dòng).

觀(guān)察圖5可知,系統(tǒng)(4)擁有豐富的動(dòng)力學(xué)行為和典型的非線(xiàn)性電路運(yùn)動(dòng)特征,即穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)、周期態(tài)與混沌態(tài).為了方便分析與討論,將圖5(a)、圖5(b)與圖5(c)、圖5(d)分為兩組,分別命名為組Ⅰ和組Ⅱ,發(fā)現(xiàn)同組中的吸引盆是對(duì)稱(chēng)的.當(dāng)參數(shù)γ∈(0.66,0.86),不論另一變化參數(shù)取值如何,系統(tǒng)總是依次歷經(jīng)不動(dòng)點(diǎn)、周期與混沌三種運(yùn)動(dòng).而參數(shù)c從1.0增加到1.5的過(guò)程中,吸引域分布從混沌到周期,再過(guò)渡到穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn).這意味著雙參數(shù)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)分布的對(duì)稱(chēng)性依然是由于參數(shù)γ,c下系統(tǒng)演變趨勢(shì)的相反性,同時(shí)其他系統(tǒng)參數(shù)的取值對(duì)這種對(duì)稱(chēng)性影響甚微.若將兩組吸引盆進(jìn)行組間比較會(huì)發(fā)現(xiàn),組Ⅱ的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分布呈現(xiàn)類(lèi)帶狀,而組Ⅰ的吸引域分布是不規(guī)則的,這種不規(guī)則態(tài)在混沌與周期交疊區(qū)域更為明顯.結(jié)合圖1(a)所示電路模型可知,組Ⅰ內(nèi)的另一變化參數(shù)b代表電路中電容C2,組Ⅱ參數(shù)ξ則表示電阻R的值.這表明,當(dāng)選擇不同參數(shù)變量時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分布會(huì)呈現(xiàn)出明顯的差異性.另外,組Ⅱ穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)的區(qū)域更多,占到總體的2/3左右,但組Ⅰ中的不動(dòng)點(diǎn)區(qū)域僅占總體的1/4.組Ⅰ內(nèi)更大的綠色及黃色范圍也說(shuō)明,系統(tǒng)在參數(shù)γ?b或c?b組合下,出現(xiàn)以周期2,3為代表的小周期運(yùn)動(dòng)的可能性更高.綜上,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性不會(huì)被其他參數(shù)變化破壞,但是吸引域的分布特性會(huì)受另一參數(shù)變量選擇的影響.

圖3 隨參數(shù) γ 變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜(a)分岔圖;(b)Lyapunov指數(shù)譜Fig.3.Bifurcation and Lyapunov exponent spectrum with parameter γ :(a)Bifurcation diagram;(b)Lyapunov exponent spectrum.

圖4 隨參數(shù)c變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜(a)分岔圖;(b)Lyapunov指數(shù)譜Fig.4.Bifurcation and Lyapunov exponent spectrum with parameter c :(a)Bifurcation diagram;(b)Lyapunov exponent spectrum.

表2 參數(shù) γ ,c變化時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)Table 2.The dynamic behavior and Lyapunov exponent with parameter γ and c.

表3 不同顏色所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Table 3.Colors and the corresponding system states.

當(dāng)然,圖5所呈現(xiàn)的雙參數(shù)吸引盆在紅黃兩色區(qū)域中的重疊散點(diǎn)也是值得注意的.由于分布對(duì)稱(chēng)性的存在,參數(shù)γ∈(0.81,0.86)且b∈(6,9)或參數(shù)c∈(1,1.1)且b∈(6,9)時(shí),散點(diǎn)尤為明顯.這表明這兩塊區(qū)域內(nèi),該憶阻系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)切換更為頻繁,且吸引子結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性差.然而,圖5(c)和圖5(d)內(nèi)的散點(diǎn)較少,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)完整且穩(wěn)定的紅色區(qū)塊.這意味著參數(shù)γ?ξ及c?ξ組合下,該憶阻系統(tǒng)具有更好的混沌特性及魯棒性,并且混沌吸引子結(jié)構(gòu)更為穩(wěn)定.如果選擇所提出的系統(tǒng)(4)作為隨機(jī)信號(hào)發(fā)生器或用來(lái)產(chǎn)生信息加密的密鑰,在參數(shù)范圍γ∈(0.81,0.86)∪ξ∈(?0.1,0.13)或c∈(1,1.1)∪ξ∈(?0.1,0.13)內(nèi)選擇參數(shù)值可得到更好的應(yīng)用效果.

3.3 對(duì)稱(chēng)域內(nèi)的多穩(wěn)態(tài)特性

這里主要討論特定參數(shù)下對(duì)稱(chēng)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的存在性,以及依賴(lài)于初值的多吸引子共存現(xiàn)象.隨γ?x(0)與c?x(0)變化的吸引子分布分別在圖6(a)和圖6(b)中給出,初始條件設(shè)置為(x(0),0,0,0),其中x(0)為非憶阻初值.當(dāng)然,憶阻系統(tǒng)(4)對(duì)于憶阻初值的變化十分敏感,因此在圖7中給出γ?w(0)及c?w(0)平面上的吸引盆，w(0)為憶阻初值,其中圖7(a)和圖7(b)初值為(?10?9,0,0,w(0)).之后,為了(分析的完整性),圖7(c)和圖7(d)選擇相反初值 10?9,0,0,w(0).不同顏色區(qū)域描述多種形態(tài)的共存吸引子,包括紫色描述的點(diǎn)吸引子、淺藍(lán)與深藍(lán)標(biāo)注的左右共存周期1、綠色與青色表示的左右周期2、黃色與草綠描述的左右共存周期3及紅橙兩色標(biāo)注的左右共存復(fù)雜運(yùn)動(dòng),具體內(nèi)容如表4.需要指出的是,圖中僅有9種顏色,即9種狀態(tài)被區(qū)分.事實(shí)上,在不同初始條件下,系統(tǒng)中存在多種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的吸引子,這意味著該憶阻系統(tǒng)中存在多穩(wěn)態(tài)或極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.

圖6 不同變量組合下的共存吸引盆(a)γ?x(0)平面,初始條件為(x(0),0,0,0);(b)c?x(0)平面,初始條件為(x(0),0,0,0)Fig.6.Attraction basins of coexistence in different planes:(a)γ?x(0)plane,with initial value of(x(0),0,0,0);(b)c?x(0)plane,with initial value of(x(0),0,0,0).

圖7 不同變量組合下系統(tǒng)狀態(tài)分布圖(a)γ?w(0)平面,初始條件為(?10?9,0,0,w(0));(b)c?w(0)平面,初始條件為(?10?9,0,0,w(0));(c)γ?w(0)平面,初始條件為(10?9,0,0,w(0));(d)c?w(0)平面,初始條件為(10?9,0,0,w(0))Fig.7.Attraction basins of coexistence in different planes:(a)γ?w(0)plane,with initial value of(?10?9,0,0,w(0));(b)c?w(0)plane,with initial value of(?10?9,0,0,w(0));(c)γ?w(0)plane,with initial value of(10?9,0,0,w(0));(d)c?w(0)plane,with initial value of(10?9,0,0,w(0)).

表4 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與色標(biāo)的對(duì)應(yīng)表Table 4.Different colors and the corresponding dynamical state.

觀(guān)察圖6和圖7所展示的吸引盆,發(fā)現(xiàn)兩種類(lèi)型的對(duì)稱(chēng)特性.其一,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分布關(guān)于相反初值存在對(duì)稱(chēng)性.其二,在參數(shù)γ,c的相應(yīng)變化范圍內(nèi),系統(tǒng)共存吸引子的分布域也是大致對(duì)稱(chēng)的.圖6(a),圖7(a)和圖7(c)所展現(xiàn)的均是隨參數(shù)γ變化的多吸引子共存現(xiàn)象,系統(tǒng)總體運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)周期到混沌的趨勢(shì).由于特殊參數(shù)下的對(duì)稱(chēng)性,系統(tǒng)隨參數(shù)c的運(yùn)動(dòng)行為與參數(shù)γ變化時(shí)相反,如圖6(b),圖7(b)和圖7(d)所示,這與圖3、圖4中單參數(shù)變化情況一致.當(dāng) 0.708≦γ≦0.82 時(shí),可以找到九種不同結(jié)構(gòu)的共存吸引子.同樣地,在 1.048≦c≦1.37 范圍內(nèi),系統(tǒng)也出現(xiàn)9種吸引子共存現(xiàn)象.通過(guò)共存相圖進(jìn)一步驗(yàn)證這種多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的存在性,按照上述吸引盆所呈現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分布,選擇特殊參數(shù)下的不同初值繪制出具有多種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的共存吸引子.圖8和圖9展示的相軌跡圖分別與吸引盆圖6(a)、圖7(a)和圖7(c)對(duì)應(yīng),圖10、圖11則對(duì)應(yīng)吸引盆圖6(b)、圖7(b)及圖7(d),相應(yīng)的初值設(shè)置見(jiàn)表5.其中,圖8與圖10固定參數(shù)γ=0.74 ,其他參數(shù)按表1設(shè)置,得到不同結(jié)構(gòu)的吸引子類(lèi)型.特殊的是,圖10完整展現(xiàn)吸引盆所區(qū)分的9種共存吸引子類(lèi)型,包括穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)及左右共存(周期1、周期2、周)(期3和混沌,其)對(duì)應(yīng)(的初值分別為 ±1)0?9,0,0,?0.45 ,±10?9,0,0,0,±10?9,)0,0±0.45 ,(±10?9,0,0±0.5)及 ±10?9,0,0,±0.9.此外,取參數(shù)c=1.274 ,選取初值(±0.45,0,0,0),(±0.8,0,0,0)及(±0.1,0,0,0)可得到圖9所呈現(xiàn)的周期3,混沌與周期1吸引子相圖; 相圖11所展示的左右點(diǎn)吸引子,左右周期1,與左(右混沌對(duì)應(yīng))的初值分別為(±10?9,0,0,?0.45),±10?9,0,0,0 及(±10?9,0,0,±0.9).由于該憶阻系統(tǒng)吸引域分布對(duì)稱(chēng)性的存在,圖9及圖11兩張圖所展現(xiàn)的吸引子運(yùn)動(dòng)相軌跡與圖8、圖10相一致,但其呈現(xiàn)形態(tài)又因初值的微小差別而不同.需要指出的是,從吸引盆的分布情況看出,選擇的兩種固定參數(shù)下周期2的狀態(tài)較少,因此僅在圖10(b)中展現(xiàn),表明在憶阻系統(tǒng)(4)中此狀態(tài)確實(shí)存在.

表5 不同初值對(duì)應(yīng)的共存多吸引子類(lèi)型Table 5.Coexisting multiple attractor with different initial condition.

圖8 參數(shù) γ=0.74 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3;(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.8.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when γ=0.74 :(a)Coexisting attractors of period-3;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

圖9 參數(shù) c=1.274 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3;(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.9.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when c=1.274 :(a)Coexisting attractors of period-3;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

圖10 參數(shù) γ=0.74 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3、左右共存周期1與穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn);(b)左右共存混沌與左右共存周期2Fig.10.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when γ=0.74 :(a)Coexisting attractors of period-3,period-1 and fixed point;(b)coexisting attractors of chaos and period-2.

圖11 參數(shù) c=1.274 ,x?z 平面上不同初值下的多種共存吸引子(a)左右共存周期3與穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn);(b)左右共存混沌與左右共存周期1Fig.11.For different initial value,phase diagram of coexisting attractors in x?z planes when c=1.274 :(a)Coexisting attractors of period-3 and fixed point;(b)coexisting attractors of chaos and period-1.

綜上,通過(guò)相軌圖與吸引盆相互驗(yàn)證,可證明多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的存在性.當(dāng)然,由于該系統(tǒng)依賴(lài)于初值的極端敏感,不同參數(shù)取值下,系統(tǒng)(4)會(huì)出現(xiàn)更多乃至無(wú)窮多具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的吸引子,且這些吸引子具有多種統(tǒng)計(jì)特性,即多樣的動(dòng)力學(xué)特征.這也意味著,所構(gòu)憶阻系統(tǒng)中存在多穩(wěn)態(tài)甚至超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.

4 基于FPGA的憶阻數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)

為了拓展此類(lèi)記憶元件的應(yīng)用,將系統(tǒng)(4)進(jìn)行離散化并用FPGA數(shù)字平臺(tái)進(jìn)行實(shí)現(xiàn).FPGA是可重復(fù)編寫(xiě)的硅芯片,與定制電路最大的不同就是其內(nèi)部有事先建立的邏輯塊及可被重新編寫(xiě)的布線(xiàn)資源,其功能的實(shí)現(xiàn)依賴(lài)于用戶(hù)的編程.因此,這樣的數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)平臺(tái)在更改系統(tǒng)參數(shù)或初值等設(shè)置上更為方便精準(zhǔn),適用于實(shí)現(xiàn)憶阻混沌電路.本次使用四階龍格-庫(kù)塔法離散憶阻系統(tǒng)(4),該算法與其他常用離散化算法,如Euler法或二階龍格-庫(kù)塔法相比較,擁有穩(wěn)定性高、精度好等一系列優(yōu)點(diǎn).之后,得到離散化方程(5),其中i=1,2,3,4,分別對(duì)應(yīng)方程(4)中x,y,z,w四項(xiàng),相應(yīng)的參數(shù)取值如表1所示.同時(shí),考慮到DA轉(zhuǎn)換的±5V范圍,需要添加一個(gè)縮放系數(shù)E,結(jié)合相圖中各項(xiàng)范圍,給定E為0.5,迭代步長(zhǎng)h設(shè)置為0.0001.

各遞歸參數(shù)表示為如下形式:

整體設(shè)計(jì)編寫(xiě)四個(gè)模塊,即module_Mem,module_K4,module_XB和module_DA數(shù)字化實(shí)現(xiàn)該憶阻系統(tǒng).其中,module_Mem模塊為頂層模塊,其余三個(gè)模塊為底層模塊,頂層模塊是整體設(shè)計(jì)的核心,控制并調(diào)用各底層模塊,控制流程如圖12.從圖12看出,按順序調(diào)用module_K4與module_XB兩模塊便可實(shí)現(xiàn)四階龍格-庫(kù)塔算法.此外,另一底層模塊module_DA服務(wù)于高速DA轉(zhuǎn)換器,此次采用的數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片為AD9767,其功能是將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為定點(diǎn)數(shù),并賦值給輸出通道,最終在示波器上捕捉到相應(yīng)時(shí)序圖與相圖.

接著,完成FPGA數(shù)字實(shí)現(xiàn),實(shí)物連接圖與系統(tǒng)混沌態(tài)實(shí)現(xiàn)結(jié)果如圖13所示,其中圖13(b)為y?z平面上的雙渦卷混沌吸引子相圖,該混沌相圖與數(shù)值仿真所展示的圖2(a)相對(duì)應(yīng).圖13(c)分別展示y,z兩項(xiàng)時(shí)序圖,并用藍(lán)色與黃色線(xiàn)條表示.此外,為了證實(shí)所構(gòu)憶阻系統(tǒng)存在對(duì)稱(chēng)共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,在圖14中展現(xiàn)固定參數(shù)a=1,b=3.5,c=1.274,γ=0.86ξ=0.12,選取不同初值時(shí)y-z平面上的共存吸引子.這組共存吸引子與圖11所示的數(shù)值仿真結(jié)果對(duì)應(yīng),圖14(a)和圖14(d)為左右共存的周期1吸引子,此時(shí)初值設(shè)定為(±10?9,0,0,0); 圖14(b)和圖14(e)呈現(xiàn)初值為(±10?9,0,0,±0.45)時(shí)的共存周期3吸引子,與圖11(a)一致.共存單渦卷混沌吸引子由圖14(c)和圖14(f)給出,初值選擇為(10?9,0,0,0.9)和(?10?9,0,0,?0.9).通過(guò)FPGA數(shù)字電路實(shí)驗(yàn),證實(shí)所構(gòu)憶阻系統(tǒng)(4)的物理可實(shí)現(xiàn)性.數(shù)值仿真結(jié)果與電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性,也證明該系統(tǒng)確實(shí)存在多吸引子共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.

圖12 頂層模塊控制流程圖Fig.12.The flow chart of calling order.

圖13 FPGA實(shí)物連接圖與實(shí)現(xiàn)結(jié)果(a)實(shí)物連接圖;(b)y-z平面相圖;(c)y,z兩項(xiàng)時(shí)序圖Fig.13.The hardware connection diagram and the result of implementation:(a)The hardware connection diagram;(b)phase diagram in y-z plane;(c)timing diagram of the term y and z.

5 結(jié) 論

本文基于新型四維磁控憶阻電路,觀(guān)察特定系統(tǒng)參數(shù)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜,發(fā)現(xiàn)該憶阻電路中對(duì)稱(chēng)分岔行為的存在性.通過(guò)雙參數(shù)吸引盆再次驗(yàn)證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的對(duì)稱(chēng)性是真實(shí)存在的,分析該憶阻系統(tǒng)在對(duì)稱(chēng)吸引域內(nèi)的多穩(wěn)態(tài)特性.同時(shí),基于FPGA技術(shù)的電路實(shí)驗(yàn)平臺(tái),完成該憶阻系統(tǒng)的數(shù)字電路實(shí)現(xiàn),在示波器上捕捉到雙渦卷混沌吸引子與多種狀態(tài)的共存.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明數(shù)值仿真的有效性,以及新型四維磁控憶阻電路的物理可實(shí)現(xiàn)性.當(dāng)然,目前所構(gòu)憶阻電路中的對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)行為還無(wú)法從理論角度來(lái)解釋.系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)受到平衡點(diǎn)位置的影響,考慮到無(wú)法準(zhǔn)確定位該憶阻系統(tǒng)的平衡點(diǎn),之后會(huì)進(jìn)行更多的工作并探索新的方法來(lái)解決這一問(wèn)題,從理論出發(fā)更易找出這種特殊對(duì)稱(chēng)行為存在原因與規(guī)律.