聲場中球形空化云中氣泡的耦合諧振*

張鵬利 林書玉 朱華澤 張濤

1)(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,陜西省超聲學(xué)重點實驗室,西安 710062)

2)(西安科技大學(xué)理學(xué)院,西安 710054)

1 引 言

超聲空化現(xiàn)象是發(fā)生在液體中的強(qiáng)聲現(xiàn)象,是由于液體中壓力的變化引發(fā)氣泡的生長、潰滅現(xiàn)象,液體中幾乎所有的強(qiáng)聲技術(shù)都伴隨著超聲空化現(xiàn)象的發(fā)生[1?3].聲空化是一種經(jīng)典的物理現(xiàn)象,但空化泡的微米尺度和高速脈動阻礙了人們對它內(nèi)部微觀過程的理解,探索空化泡內(nèi)部極端物理條件、聲致發(fā)光微觀機(jī)理等仍是當(dāng)前聲學(xué)和物理學(xué)界的熱門課題[4?8].

在實際空化過程中,空化現(xiàn)象是以空化云形式存在的,由于氣泡的振動會在液體中形成次級聲輻射,氣泡之間的相互作用對每個氣泡的振動特性影響將都不能忽略.為了更切合實際,人們開始將注意力從單一空化泡轉(zhuǎn)向雙空化泡和空化泡群.1971年,Shim[8]對雙泡問題進(jìn)行了討論.An[9]給出了氣泡呈鏈?zhǔn)脚萑汉颓驙钆萑簝?nèi)氣泡動力學(xué)方程,并分析了泡群內(nèi)氣泡的運動行為和多泡聲致發(fā)光特征.文獻(xiàn)[10?13]研究了超聲波作用下泡群的非線性響應(yīng)、共振響應(yīng)、耦合振動等; Yasui等[14]給出了兩束空化云相互作用的氣泡動力學(xué)方程.泡群動力學(xué)的研究有利于發(fā)展控制超聲空化效應(yīng)強(qiáng)弱的理論和方法.氣泡在泡群內(nèi)由于受到其他氣泡的相互作用,其自身振動會受到抑制.Barber等[15]研究發(fā)現(xiàn)在液體中注入大氣泡能夠抑制空化的發(fā)生和發(fā)展,而其研究主要是討論氣泡之間的相互作用對泡壁運動的影響.文獻(xiàn)[16,17]模擬了自有液面下兩個水平排列的氣泡的耦合作用.還有研究表明,當(dāng)氣泡初始距離較近時,氣泡之間還會發(fā)生融合現(xiàn)象[18].然而氣泡在聲場中的振動是與外界驅(qū)動聲壓頻率和聲壓幅值有著密切的關(guān)系,能否發(fā)生瞬態(tài)空化效應(yīng),主要取決于外界驅(qū)動聲壓頻率和氣泡自身諧振頻率之間的關(guān)系.本文則通過對球狀泡群內(nèi)氣泡的運動方程進(jìn)行線性約化,得到氣泡的諧振頻率,并研究了泡群中氣泡的諧振頻率與單泡的諧振頻率的關(guān)系,以及影響氣泡諧振頻率的主要參數(shù).希望對多氣泡環(huán)境中氣泡的受迫振動及多氣泡空化理論提供依據(jù).

2 理論模型

由于氣泡間距和氣泡尺寸相對于液體中聲波波長來說非常小,故可以認(rèn)為氣泡處于相同的聲場中.設(shè)氣泡間距為rij,球狀泡群半徑為r,聲場中空化泡的運動方程的得到基于以下幾個假設(shè)[19?23]:

1)由于表面張力的作用,空化泡膨脹和收縮期間始終為球形,在聲波作用下氣泡仍能保持完好的球?qū)ΨQ性,做幾乎純徑向脈動,且始終在同一位置振動,沒有發(fā)生平動;

2)不考慮空化泡在諧振過程中的熱交換、水蒸汽的相變、氣體質(zhì)量交換及泡內(nèi)的化學(xué)反應(yīng);

3)考慮液體黏滯性,表面張力及液體的蒸汽壓.

此時球狀泡群內(nèi)空化泡的動力學(xué)方程可以表示為[9,12,20]:

式中最后一項即體現(xiàn)出空化泡之間相互作用項.式中Ri為任意時刻氣泡半徑,Ri0為其初始半徑,r為氣泡外液體密度,p∞為氣泡泡壁外側(cè)液體的壓力,u為液體黏滯系數(shù),s為表面張力系數(shù),pig0為氣泡內(nèi)部氣體壓強(qiáng).由于空化過程極短,只有短短的幾十微秒,在空化過程中體積又非常小,可近似認(rèn)為空化過程為絕熱等熵過程.

圖1給出了不同氣泡數(shù)量、初始半徑、驅(qū)動聲頻率、驅(qū)動聲強(qiáng)下氣泡的半徑隨時間的變化關(guān)系.圖1(a)和圖1(b)為不同氣泡數(shù)量、不同初始半徑下泡壁半徑、速度隨時間的變化關(guān)系,其中外界驅(qū)動頻率20 kHz,強(qiáng)度pa=1.2×105Pa.從圖1(a)中不難看出空化云中氣泡數(shù)量影響氣泡的膨脹比.當(dāng)空化云氣泡數(shù)量增多時,氣泡受其他氣泡之間的抑制作用越強(qiáng)烈,會使得氣泡的膨脹比顯著減小.同時氣泡生長到最大和潰滅時間也會延遲,這就說明氣泡數(shù)量越多,氣泡之間抑制作用越強(qiáng),氣泡越難生長起來.當(dāng)空化云中氣泡數(shù)量由10增大到500時,氣泡的膨脹比減小,由最大28減小到15.由圖1(b)可以看出空化泡的初始半徑對其膨脹比影響比較明顯,當(dāng)其由5 μm增大到20 μm時,氣泡的膨脹比由25減小到2.8.綜上可得空化云中氣泡數(shù)量越多,氣泡的初始半徑越大氣泡越不容易生長起來,同樣的氣泡數(shù)量,小氣泡則更容易生長起來.曾有學(xué)者指出,為了控制空化強(qiáng)度,可以在水中注入不同數(shù)量的大氣泡,通過氣泡之間的相互作用來調(diào)節(jié)空化強(qiáng)弱[15].圖1(c)和圖1(d)給出了不同驅(qū)動聲參數(shù)時氣泡半徑隨時間的變化關(guān)系,選取氣泡的初始半徑為5 μm,氣泡數(shù)量為100.由圖1(c)和圖1(d)不難看出驅(qū)動聲壓頻率小、聲壓幅值小時,氣泡的膨脹比反倒大一些.

實際上氣泡在聲場作用下是一種受迫振動,而影響受迫振動的振幅或氣泡膨脹比的主要因素則是氣泡自身諧振頻率、外界驅(qū)動聲壓幅值、頻率等參數(shù),為了研究空化泡諧振頻率與氣泡數(shù)量、氣泡初始半徑、氣泡之間距離的關(guān)系,對(1)式進(jìn)行線性約化.

3 泡壁運動方程的線性約化

假設(shè)球形空化云中有N個氣泡,一氣泡處于球心位置,其余氣泡均勻分布在距離為d的球面上.為了簡化處理,認(rèn)為氣泡具有相同初始半徑,被研究的氣泡處于球心位置.此時(1)式化簡后變?yōu)?

在氣泡做小幅振動情況下,考慮液體黏滯系數(shù)的影響時,令

圖1 球形空化云中氣泡的運動(a)氣泡初始半徑5 μm;(b)泡群中氣泡數(shù)量為100;(c),(d)氣泡初始半徑5 μm,泡群中氣泡數(shù)量N=100Fig.1.Movement of bubbles in spherical cavitation clouds:(a)Bubble initial radius 5 μm;(b)the number 100;(c),(d)bubble initial radius 5 μm,N=100.

同時對(2)式做以下線性化處理[1]:

將(3)和(4)式代入(2)式,同時考慮到x是一微小量,忽略二階無窮小量化簡可得到

(6)式左邊第二項對應(yīng)氣泡泡壁受迫振動的阻尼項,第三項對應(yīng)氣泡的本征頻率.由(6)式可以看出超聲波對氣泡的驅(qū)動,是一種強(qiáng)迫驅(qū)動下的阻尼振動.除了強(qiáng)迫振動外,還包含參數(shù)驅(qū)動,即使在小幅驅(qū)動下,氣泡的脈動也包含基波、諧波、次諧波等成分.式中當(dāng)d→∞,或者N=1時,上式回歸到單氣泡的小幅振動動力學(xué)方程.上式中ωr為氣 泡諧振的角頻率,且有

或者寫成

式中ωr=2πfr.

(8)式即為泡群中氣泡的諧振頻率,因泡群中氣泡運動過程中受其他氣泡的相互作用力,其諧振頻率明顯不同于單泡的諧振頻率.從式中不難看出氣泡的諧振頻率除了與氣泡的初始半徑有關(guān)外,還與球狀空化云中氣泡數(shù)量、氣泡之間距離等參數(shù)有關(guān).

4 數(shù)值模擬

4.1 氣泡數(shù)量、氣泡之間距離對氣泡諧振頻率的影響

本文將水作為液體介質(zhì),計算參數(shù)為[19]:ρ=1000kg/m3,δ=0.072N/m.(8)式中氣泡的諧振頻率除了與氣泡的初始半徑有關(guān)外,還與球狀空化云中氣泡數(shù)量、氣泡之間距離有密切關(guān)系.

在圖2中選取空化泡的初始半徑為R0=20 μm,得到空化泡之間距離、球狀空化云中氣泡數(shù)量等參數(shù)與氣泡諧振頻率之間關(guān)系.圖2(a)為氣泡之間距離與氣泡諧振頻率之間關(guān)系,對于初始半徑為R0=20 μm 的氣泡群,當(dāng)氣泡之間距離為1到8個氣泡初始半徑時,氣泡的諧振頻率受氣泡之間相互作用影響較大.再增大氣泡之間距離時,氣泡之間相互作用幾乎可以不計,此時氣泡諧振頻率趨于一恒定值.不同數(shù)量的氣泡其諧振頻率也不同,在氣泡之間距離相等時,泡群中數(shù)量少的氣泡受其他氣泡之間的相互作用小,氣泡諧振頻率較大.同時泡群中氣泡數(shù)量少的其諧振頻率在氣泡之間距離較近時受其他氣泡的影響較為顯著,變化梯度要明顯大于氣泡數(shù)量多的泡群.圖2(b)為空化云中氣泡數(shù)量與氣泡諧振頻率之間關(guān)系,可以看出氣泡諧振頻率隨氣泡數(shù)量的增大而減小,當(dāng)氣泡數(shù)量從1增加到150時,氣泡的諧振頻率隨數(shù)量變化顯著,急劇減小,當(dāng)氣泡數(shù)量增加一定值后,氣泡的諧振頻率幾乎不變.也就是說當(dāng)泡群半徑一定時,不是氣泡數(shù)量越多氣泡的諧振頻率越小,而是有一個臨界值.

圖2 泡群中氣泡的諧振頻率(a)氣泡諧振頻率與泡群中氣泡之間距離關(guān)系;(b)氣泡諧振頻率與泡群中氣泡數(shù)量之間關(guān)系,氣泡的初始半徑均為20 μmFig.2.Resonance frequency of bubbles in bubble group:(a)The relationship between bubble resonance frequency and distance in the bubble group;(b)the relationship between bubble resonance frequency and the number of bubbles in the bubble group,the initial radius of the bubbles is 20 μm.

4.2 泡群中氣泡諧振頻率的修正系數(shù)

由上面分析可知氣泡的諧振頻率與氣泡之間距離、氣泡數(shù)量等參數(shù)有關(guān),當(dāng)氣泡之間距離較大時,氣泡之間相互作用可以忽略,氣泡的諧振頻率趨于一定值.為了研究泡群中氣泡諧振頻率與單泡諧振頻率的關(guān)系,先給出對于在密度為r的液體中初始半徑為R0的空化泡自然諧振頻率f0,Minnaert給出的表達(dá)式為[1]

為了描述泡群中氣泡諧振頻率與單泡的Minnaert頻率之間關(guān)系,對單泡的Minnaert頻率給一修正系數(shù)M,令fr=Mf0,或者

將(8)和(9)式代入(10)式有

(11)式即為球狀泡群中氣泡的諧振頻率和單泡Minnaert頻率的修正關(guān)系.不難看出只要N≠1時,便有M<1,即只要泡群中氣泡數(shù)量多與1個,氣泡的諧振頻率就會小于單泡的諧振頻率.這就說明泡群中的氣泡因受到其他氣泡的抑制作用,降低了自身諧振頻率.而空化現(xiàn)象能否發(fā)生與氣泡諧振頻率有關(guān),那么在液體中注入氣泡后氣泡之間相互作用增強(qiáng)會降低泡群中氣泡的諧振頻率,使得能發(fā)生瞬態(tài)空化的氣泡數(shù)相應(yīng)減小,空化強(qiáng)度就會減弱.(11)式中當(dāng)N=1時M=1,泡群的諧振頻率回歸到單泡的Minnaert頻率.

考慮到氣泡之間相互作用后,泡群中氣泡的諧振頻率與單氣泡的頻率比值M與氣泡的初始半徑、泡群中氣泡數(shù)量、氣泡之間距離有很大關(guān)系.圖3(a)為修正系數(shù)M與氣泡之間距離的關(guān)系,取氣泡的初始半徑為20 μm,泡群中氣泡數(shù)量分別為10,20,50,100,150,200.由圖可以看出當(dāng)氣泡之間距離增大時M的值逐漸增大,最后均趨于一定值.圖3(b)中泡群中氣泡數(shù)量取10,氣泡的初始半徑分別為2,6,10,20,40 μm.對比發(fā)現(xiàn)初始半徑較大的氣泡群具有較小的M,說明同樣數(shù)量的泡群在同樣的氣泡間距下,大氣泡較小氣泡的相互作用要顯著一些,對氣泡的諧振頻率影響明顯.

圖4為泡群中氣泡諧振頻率與氣泡初始半徑之間關(guān)系,由圖可知氣泡初始半徑越大時,氣泡的修正系數(shù)越小.這也說明氣泡初始半徑越大,氣泡之間的相互影響越明顯,氣泡的諧振頻率越小,越難發(fā)生空化.即相同參數(shù)下,大氣泡相比小氣泡更難發(fā)生空化現(xiàn)象.觀察圖4,當(dāng)氣泡半徑均為10 μm時,數(shù)量較少的泡群,或是間距較大的泡群內(nèi)氣泡將越稀疏,此時氣泡受到的抑制作用越小,修正系數(shù)則越接近1,氣泡的諧振頻率趨近于單泡諧振頻率.

圖3 修正系數(shù)M與泡群中氣泡距離關(guān)系Fig.3.Relationship between correction coefficient and bubble distance.

4.3 算 例

選定氣泡初始半徑為50 μm,超聲波頻率為20 kHz、幅值為1.2個大氣壓,采用FLUENT流體分析軟件對有限流體域內(nèi)超聲波作用下單個氣泡、球狀氣泡云氣泡生長及潰滅過程進(jìn)行對比分析計算.球狀泡群中選取9個、5個相互作用氣泡進(jìn)行研究,計算結(jié)果如圖5—圖7所示.

由圖5,圖6和圖7可看出,無論是單氣泡也好,氣泡云也好,在外聲壓的作用下,氣泡均會隨著時間的推移先緩慢膨脹后快速塌陷、潰滅.盡管所處的壓力環(huán)境一樣,外界驅(qū)動聲參也數(shù)完全相同,但處于球心位置和球面位置的氣泡振動形態(tài)卻完全不同.在氣泡膨脹初期,所有氣泡幾乎能同步膨脹,但外圍球面處的氣泡體積會率先達(dá)到最大值.在潰滅時,氣泡從球形到橢球形,再塌陷直至完全潰滅.到了潰滅后期,由于其內(nèi)側(cè)界面與中心氣泡的相互制約,導(dǎo)致中心氣泡形狀能較好地保持為球面.而外側(cè)界由于壓力梯度變化急劇,使得球面處氣泡呈現(xiàn)內(nèi)凹形狀,在潰滅瞬間,會產(chǎn)生指向中心的射流.這一過程中心氣泡因受其他氣泡之間的相互制約,仍能保持為球形以達(dá)到自身最小體積衡量.對比單氣泡可以看出,因受到氣泡之間相互作用,使得球心位置處的空化泡潰滅時間則相對延遲.

圖4 氣泡初始半徑與泡群中氣泡諧振頻率的關(guān)系Fig.4.Relationship between the initial radius of bubbles and the resonant frequency of bubbles.

5 結(jié) 論

空化泡潰滅時會產(chǎn)生很大的瞬時壓強(qiáng),會造成流體機(jī)械裝置的空蝕破壞并產(chǎn)生噪聲和劇烈振動,有時候需要抑制空化的產(chǎn)生.而空化現(xiàn)象實際上是一種受迫振蕩所產(chǎn)生的結(jié)果,是氣泡在聲場作用下生長、振蕩、潰滅的一系列過程.空化現(xiàn)象能否發(fā)生與外界驅(qū)動聲參數(shù)密切關(guān)系.本文從氣泡動力學(xué)方程出發(fā),得到了氣泡群中氣泡的諧振頻率,給出了球狀氣泡群中氣泡諧振頻率與單泡Minnaert頻率的修正關(guān)系.研究結(jié)果表明: 泡群中氣泡的諧振頻率受氣泡的初始半徑、泡群中氣泡數(shù)量、氣泡之間距離等多種因素的影響.當(dāng)泡群中氣泡數(shù)量越多、氣泡的初始半徑越大時,氣泡的諧振頻率越小.超聲空化時由于驅(qū)動聲壓的頻率和幅值只能是某一給定值,那么在液體中適當(dāng)注入大氣泡就會使得空化泡的諧振頻率減小,使得大多數(shù)空化泡在做劇烈的非線性振蕩穩(wěn)態(tài)空化,不發(fā)生激烈的潰滅過程,從而有效地抑制空化現(xiàn)象的發(fā)生.

圖5 單氣泡體積變化圖Fig.5.Volume change of single bubble.

圖6 球狀空化云氣泡體積變化圖(N=9)Fig.6.Volume change of spherical cavitation cloud N=9.

圖7 球狀氣泡云體積變化圖(N=5)Fig.7.Volume change of spherical cavitation cloud N=5.