淺談數(shù)學高考選做題中的極坐標和參數(shù)方程

曾芳芳

極坐標和參數(shù)方程是數(shù)學高考選做題中的一個內(nèi)容，也是考生的一個得分點，近幾年的高考中這部分的內(nèi)容出題相對穩(wěn)定都屬中檔題目，所以在高考中這部分盡量拿到滿分是我們平時訓練的目標。但在平時的學習中，很多的同學往往搞不清楚什么時候用極坐標方程，什么時候用參數(shù)方程，所以做題束手無策，本文就如何扎實掌握好極坐標方程和參數(shù)方程的內(nèi)容談?wù)勛约旱目捶?，希望能對教師和同學們有所幫助。

一、區(qū)分清楚普通方程、極坐標方程、參數(shù)方程的關(guān)系

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標（x，y）都是某個變數(shù)t的函數(shù)：，并且對于t的每一個允許的取值，由方程組確定的點（x，y）都在這條曲線上，那么這個方程就叫做曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x、y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對而言，直接給出點坐標間關(guān)系的方程叫普通方程。

在平面內(nèi)取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內(nèi)任何一點M，用ρ表示線段OM的長度（有時也用r表示），θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對（ρ，θ）就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。通常情況下，M的極徑坐標單位為1（長度單位），極角坐標單位為rad（或°）。

圖1可以很直觀的看到它們之間的關(guān)系。

二、一題多解，歸納對比區(qū)分三種方程

歸納對比法是歸納法和對比法的綜合運用?？茖W史上，運用歸納法的典型代表是牛頓，他在《自然哲學數(shù)學原理》中說，“科學研究的實質(zhì)是歸納的”。對比法也是科學研究和發(fā)現(xiàn)的重要方法?！坝斜容^才能有鑒別”。把歸納與對比聯(lián)合起來使用，不僅是進行科學研究的方法，同時也是重要的教學方法。所以在平常的教學時，我們?yōu)榱酥v清楚這三種方法，可以找一個三種方法都可以使用的典例，這樣學生能更好的掌握這三種方程。

例在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ=sinθ。

（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;

（2）若射線l ： y=kx（x≥0）分別交C1，C2于A，B兩點（A，B異于原點），當時，求|OA|·|OB|的取值范圍。

①化簡完第一個問就可以看到C1是圓（x-1）2+y2=1，C2 ： y=x2，l ： y=kx（x≥0）都很簡單，聯(lián)立可以求出A，B（k， k2），利用兩點的距離公式化簡|OA|·|OB|=2k，，∴|OA|·|OB|。所以如果選做題給出的曲線是圓，那么用普通方程，學生更容易能理解;或者聯(lián)立方程很容易求出解的也可以用普通方程。

②觀察到l ： y=kx（x≥0）必過定點（0，0），所以|OA|表示直線l上點A到定點（0，0）的距離，可用A點對應的參數(shù)|tA|表示，同理，|OB|可用B點對應的參數(shù)|tB|表示，|OA|·|OB|=|tA||tB|，所以，把射線l ： y=kx（x≥0）化成參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入C1，C2求出tA，tB即可。所以給出直線的定點，就選擇參數(shù)方程。

③觀察到|OA|·|OB|中的O是極點，|OA|表示A點對應的極徑|ρA|，|OB|表示B點對應的極徑|ρB|，把圓化成極坐標ρ=2cosθ，求出ρA=2cosθ，，|OA|·|OB|=ρAρB=2k。所以與極點有關(guān)系的距離問題都可以用極坐標去解決。

通過這樣的對比，學生就不會搞混三種方程，反而能更容易區(qū)分什么條件下用那種方程，并且在做題時能根據(jù)題目的意思快速的選擇最好的方法去解題。

另外，從圖1中可以看出普通方程和參數(shù)方程是在直角坐標下的方程，并且參數(shù)方程比普通方程的優(yōu)點在于只有一個變量，更容易討論，通常在求最值問題時，用參數(shù)方程，最終可以轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求最值問題。

總之，教師在教授這部分內(nèi)容的時候一定要先講清這三種方程之間的關(guān)系，然后讓學生弄清三種方程各自的特點，特別是|tA|和ρ的幾何意義，才能做出正確的選擇;另一方面還要學生在做題時不斷地總結(jié)，不斷地反思才能把這部份的內(nèi)容完全的掌握，高考才會在這部分得滿分。