用動(dòng)能定理研究滑動(dòng)摩擦力作用下彈簧振子振動(dòng)的終態(tài)位置和振動(dòng)路程

張多生

(甘肅省武威第六中學(xué) 733000)

如圖1所示，勁度系數(shù)為k的一根輕質(zhì)彈簧，左端固定在豎直墻壁上，右端連接一質(zhì)量為m的小物塊，開始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，小物塊靜止于O點(diǎn).將小物塊向右拉至A點(diǎn)，釋放后小物塊在粗糙水平面上左右振動(dòng)起來(lái).此裝置稱之為彈簧振子，小物塊稱為振子.由于摩擦，小物塊最終會(huì)停下來(lái).已知小物塊與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力可看成滑動(dòng)摩擦力的大小，為μmg.對(duì)于振子最終停留的位置，好多同學(xué)錯(cuò)誤地認(rèn)為一定停在O點(diǎn).從動(dòng)力學(xué)角度研究滑動(dòng)摩擦力作用下彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，高中學(xué)生限于數(shù)學(xué)知識(shí)，難于理解.本文從能量的角度探索滑動(dòng)摩擦力作用下彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，確定振子最終停留的位置及振動(dòng)通過(guò)的路程.

一、平衡位置

二、振子單向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)于O點(diǎn)的最大位移的變化

彈力是變力，彈力做的功可以通過(guò)F-x圖象的“面積”求解.振子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧的形變量等于小物塊的位移x，則彈力F隨位移x的關(guān)系為F=kx,F-x圖象如圖3所示.此過(guò)程中克服彈簧彈力F所做的功W為圖象與x軸圍成的面積，即

以彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)振子的位置O為原點(diǎn)，建立直線坐標(biāo)系，如圖4所示.把振子從右端最大位移x0處無(wú)初速釋放，振子開始左右振動(dòng).設(shè)x1、x2、x3、x4…依次為振動(dòng)過(guò)程中振子離O點(diǎn)的最大位移.

振子沿ox軸負(fù)方向從x0處運(yùn)動(dòng)到x1(x1<0)處的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得出：

整理可得：

振子在x1處掉頭而回，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)x2處的過(guò)程中，由動(dòng)能定理繼續(xù)得出：

整理可得：

至此不難看出，只要我們交替運(yùn)用(1)式和(2)式，就可以知道振子偏離O點(diǎn)的最大位移變化規(guī)律：

當(dāng)振子向左運(yùn)動(dòng)時(shí)有：

x0+x1=x2+x3=x4+x5=…=2δ

當(dāng)振子向右運(yùn)動(dòng)時(shí)有：

x1+x2=x3+x4=x5+x6=…=-2δ

即小物塊每經(jīng)過(guò)一個(gè)單向運(yùn)動(dòng)后，對(duì)O點(diǎn)的最大位移大小按等差數(shù)列的規(guī)律遞減，遞減公差為2δ，即：

x0-|x1|=|x1|-x2=x2-|x3|=…=2δ(3)

以上結(jié)論對(duì)最后一次單向運(yùn)動(dòng)可能不適用.最后一次單向運(yùn)動(dòng)有兩種可能性，如圖5和圖6所示.若最后一次單向運(yùn)動(dòng)途經(jīng)0點(diǎn)，(3)式仍然成立；若最后一次單向運(yùn)動(dòng)只在O點(diǎn)一側(cè)運(yùn)動(dòng)，不經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，則最大位移大小之后為2δ.

三、振子最終停留位置

由(1)式和(2)式交替應(yīng)用，可確定出振子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離O點(diǎn)的最大位移值，依次為

x0，x1=-(x0-2δ)，x2=x0-4δ，x3=-(x0-6δ)，…….

若振子經(jīng)過(guò)n個(gè)單向運(yùn)動(dòng)后靜止，由以上規(guī)律可遞推出振子最終靜止的位置，為xn=(-1)n·(x0-2nδ)

到此，我們還沒(méi)有徹底確定振子的終態(tài)位置，還需要確定單向運(yùn)動(dòng)次數(shù)n.通過(guò)上面的分析研究可知

|xn|≤δ，δ<|xn-1|≤3δ

因x0-2nδ不一定大于零，由|xn|≤δ求解n比較麻煩.而x0-2(n-1)δ一定大于零，則

δ

在以上范圍內(nèi)取符合條件的自然數(shù)n，即為振子單向運(yùn)動(dòng)的次數(shù).n確定后，振子的終態(tài)位置也就確定了.

四、振子運(yùn)動(dòng)的路程

振子運(yùn)動(dòng)路程用逐段位移大小之和求得.參考最后一次單向運(yùn)動(dòng)情況(圖5和圖6)，可得出以下結(jié)果：

s=x0+2|x1|+2x2+…2|xn-1|+|xn|

=x0+2(x0-2δ)+2(x0-4δ)

+…2(x0-2(n-1)δ)+|x0-2nδ|

或s=x0+2|x1|+2x2+…2|xn-1|-|xn|

=x0+2(x0-2δ)+2(x0-4δ)

+…2(x0-2(n-1)δ)-|x0-2nδ|

五、結(jié)論應(yīng)用

在x0比δ不太大的情況下，套用上述規(guī)律計(jì)算終態(tài)位置和路程反而比較麻煩.采用遞推的辦法，思路比較清晰.根據(jù)振子對(duì)O點(diǎn)的最大位移大小遞減規(guī)律(公式(3))，依次寫出最大位移值，數(shù)出單向運(yùn)動(dòng)次數(shù)n，再計(jì)算振子運(yùn)動(dòng)的路程.比如，當(dāng)x0=7.5δ時(shí)，最大位移依次為

7.5δ，-5.5δ，3.5δ，-1.5δ，-0.5δ

可知振子最終停留在x=-0.5δ處，單向運(yùn)動(dòng)次數(shù)為n=4.結(jié)合運(yùn)動(dòng)示意圖求出的路程為s=7.5δ+2×5.5δ+2×3.5δ+2×1.5δ-0.5δ=28δ

在x0比δ大的多的情況下，就得推理最大位移的變化規(guī)律，確定單向運(yùn)動(dòng)次數(shù)，再用數(shù)列知識(shí)求路程.