一種帶落角約束的三維精確制導(dǎo)律

蔡勇

(北京機(jī)電工程總體設(shè)計(jì)部，北京 100854)

0 引言

在導(dǎo)彈制導(dǎo)中，由于比例導(dǎo)引制導(dǎo)律形式簡單且性能優(yōu)良而得到廣泛應(yīng)用。比例導(dǎo)引制導(dǎo)律主要目標(biāo)是零化脫靶量，由于一些交戰(zhàn)場景中對(duì)導(dǎo)彈彈道末端落角約束有要求，所以還衍生了各種制導(dǎo)律以滿足該需求[1-2]。

文獻(xiàn)[3-7]對(duì)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性化建模，利用線性二次型優(yōu)化理論設(shè)計(jì)了帶終端落角約束的導(dǎo)引律，由于其需要準(zhǔn)確估計(jì)剩余飛行時(shí)間信息，而實(shí)際應(yīng)用中該信息往往無法準(zhǔn)確估計(jì)，從而影響制導(dǎo)精度。文獻(xiàn)[8]提出了偏置比例導(dǎo)引律，其在經(jīng)典的比例導(dǎo)引基礎(chǔ)上添加時(shí)變偏置項(xiàng)，可適用于一系列對(duì)彈道末端打擊角度有要求的交戰(zhàn)場景。文獻(xiàn)[9-10]提出了圓制導(dǎo)律，可滿足全向攻擊要求，并且不需要提供彈目距離信息和剩余飛行時(shí)間信息，但導(dǎo)彈需從始至終飛圓弧彈道，總飛行時(shí)間較長，且落點(diǎn)需用過載較大，導(dǎo)致末端攻角較大，影響戰(zhàn)斗部穿透效果。文獻(xiàn)[11]基于逆動(dòng)態(tài)理論，利用三階Bezier曲線近似方法設(shè)計(jì)了可以滿足落角約束和速度約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[12]提出了一種新落角控制制導(dǎo)律(impact angle control navigation guidance law，IACNG)，不需要提供彈目距離信息和剩余飛行時(shí)間，且在彈道末端指令加速度為0，相應(yīng)指令攻角為0，可有效提高戰(zhàn)斗部侵徹效果，但其僅針對(duì)二維理想平面的交戰(zhàn)情形進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并不能直接應(yīng)用于三維交戰(zhàn)場景，且制導(dǎo)律中增益參數(shù)的變化對(duì)攔截效果影響較大，需對(duì)不同末端約束設(shè)計(jì)相應(yīng)的增益值。文獻(xiàn)[13]提出了一種三維比例導(dǎo)引制導(dǎo)律，在經(jīng)典比例導(dǎo)引基礎(chǔ)上，利用四元數(shù)理論推導(dǎo)速度傾角三維旋轉(zhuǎn)角矢量代替角度約束項(xiàng)中角度差，由于其基礎(chǔ)導(dǎo)引律為固定增益比例導(dǎo)引，所以只能滿足90°以內(nèi)落角約束，且需要估計(jì)剩余飛行時(shí)間信息，導(dǎo)致該方法使用范圍有限。文獻(xiàn)[14]提出了一種針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的可滿足落角約束的三維制導(dǎo)律，利用幾何關(guān)系將三維角度約束轉(zhuǎn)換成二維角度約束，但其同樣需要估計(jì)剩余飛行時(shí)間信息，當(dāng)其估計(jì)精度較低時(shí)，將降低該制導(dǎo)律效能。

本文在文獻(xiàn)[12]介紹的二維制導(dǎo)律思想的基礎(chǔ)上，基于三維交戰(zhàn)平面，設(shè)計(jì)了全向攻擊制導(dǎo)律，并參考文獻(xiàn)[13]，利用四元數(shù)理論推導(dǎo)引入彈目視線角三維旋轉(zhuǎn)角矢量進(jìn)行補(bǔ)償，使得固定增益參數(shù)既可滿足全向攻擊要求，且可零化脫靶量。該制導(dǎo)律不需要提供彈目距離信息和剩余飛行時(shí)間信息，且為三維形式，適用于主動(dòng)尋的制導(dǎo)和被動(dòng)尋的制導(dǎo)。

1 三維全向攻擊制導(dǎo)律

1.1 問題提出

首先建立三維交戰(zhàn)場景。如圖1所示，Oxyz為發(fā)射坐標(biāo)系，T為目標(biāo)點(diǎn)，為固定目標(biāo)，在發(fā)射系位置矢量為PT；M為導(dǎo)彈，速度矢量為vM，在發(fā)射系位置矢量為PM。f為要求的三維空間打擊落角約束單位矢量。在文獻(xiàn)[12]二維交戰(zhàn)場景基礎(chǔ)上，建立三維空間交戰(zhàn)平面，如圖1,2所示：以T為原點(diǎn)，彈目相對(duì)位置矢量r和f所在平面定義為三維交戰(zhàn)平面，定義坐標(biāo)系ORxRyRzR，ORxRyR在該交戰(zhàn)平面內(nèi)，ORyR正向與f相反，ORxR正向與ORyR垂直且指向前，根據(jù)右手定則確定ORzR。

圖1 三維交戰(zhàn)場景Fig.1 Three-dimensional engagement geometry

圖2 交戰(zhàn)平面和坐標(biāo)系Fig.2 Engagement plane and coordinate system

定義導(dǎo)彈M在坐標(biāo)系ORxRyRzR下的速度傾角為γD，向上為正;γT為方位角，俯視逆時(shí)針為正。ξ為ORxRyR平面內(nèi)視線角，r在ORyR軸分量為負(fù)則該角為負(fù)。

由于r=PT-PM，則坐標(biāo)系ORxRyRzR三軸單位矢量為

(1)

則發(fā)射系到坐標(biāo)系ORxRyRzR轉(zhuǎn)換矩陣為

(2)

式中：下標(biāo)x,y,z表示在發(fā)射系3個(gè)軸的分量。則彈目相對(duì)速度矢量在坐標(biāo)系ORxRyRzR表達(dá)為

(3)

則

(4)

矢量r在坐標(biāo)系ORxRyRzR表達(dá)為

(5)

在坐標(biāo)系ORxRyRzR視線角表達(dá)為

ξ= arctan 2(rRy/rRx).

(6)

1.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

首先作如下假設(shè)：

(1) 導(dǎo)彈和目標(biāo)均為質(zhì)點(diǎn)；

(2) 導(dǎo)彈速率為常值；

(3) 導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀和導(dǎo)引頭測量均無延遲環(huán)節(jié);

(4) 不考慮重力。

則在該交戰(zhàn)平面內(nèi)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(7)

在該平面內(nèi)，終端約束條件為視線角和速度傾角均為-90°，要求導(dǎo)彈接近目標(biāo)時(shí)，2個(gè)角度應(yīng)同時(shí)滿足該約束。設(shè)Δt為導(dǎo)彈碰撞目標(biāo)前的一個(gè)極小時(shí)間間隔，相應(yīng)的導(dǎo)彈速度矢量在碰撞平面旋轉(zhuǎn)了ΔγD角度，則此時(shí)視線角旋轉(zhuǎn)了Δξ，則有

(8)

由于

(9)

參考文獻(xiàn)[12]中二維制導(dǎo)律，則在該碰撞平面內(nèi)指令加速度為

(10)

視線角變化率計(jì)算如下

(11)

(12)

垂直于該交戰(zhàn)平面的導(dǎo)引律，使用經(jīng)典比例導(dǎo)引制導(dǎo)律[1]，加速度指令為

(13)

則發(fā)射系三維加速度指令表達(dá)式為

(14)

式(14)將文獻(xiàn)[12]二維制導(dǎo)律推廣到三維空間，方便使用。但由于該方法中增益參數(shù)取值對(duì)導(dǎo)引結(jié)果影響較大，若增益選取不合適，可能造成制導(dǎo)律發(fā)散。在實(shí)際工程應(yīng)用中，需要根據(jù)不同條件設(shè)置不同的增益，需進(jìn)行大量調(diào)試設(shè)計(jì)工作。本文在上述三維制導(dǎo)律基礎(chǔ)上，利用四元數(shù)理論，求解彈目距視線矢量r到末端約束矢量f的旋轉(zhuǎn)軸矢量和旋轉(zhuǎn)角大小，將其作為補(bǔ)償項(xiàng)，具體推導(dǎo)過程如下。

在發(fā)射系定義新的視線系，如圖3所示。OS1xS1向與r矢量重合，OS1yS1向與OS1xS1向垂直，且OS1yS1在r與過M且與Oy平行的矢量組成的平面內(nèi)，OS1zS1按右手定則確定，相應(yīng)的視線角定義如式(15)所示。

圖3 視線系Fig.3 Line of sight coordinate system

(15)

則發(fā)射系到視線系按2-3-1轉(zhuǎn)序可得到轉(zhuǎn)換矩陣

(16)

式中：Rx,Ry,Rz分別為繞x軸、y軸和z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。則發(fā)射系到該視線系的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為

(17)

定義末端約束矢量坐標(biāo)系OFxFyFzF，方法同上，如圖4所示。

圖4 末端矢量坐標(biāo)系Fig.4 Terminal impact angle vector coordinate system

則由發(fā)射系到末端約束矢量坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為

(18)

根據(jù)四元數(shù)理論[15]可知，

(19)

QsF(f)=QfF(f)°Qsf(f),

(20)

(21)

則

(22)

從而可得該旋轉(zhuǎn)四元數(shù)在發(fā)射系表達(dá)式為

(23)

則旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)矢量[13]為

(24)

則發(fā)射系指令加速度最終表達(dá)式為

aC=a1C+K(λσ).

(25)

2 仿真校驗(yàn)

本節(jié)通過數(shù)值仿真檢驗(yàn)上述制導(dǎo)律的有效性，并選取文獻(xiàn)[9]中圓制導(dǎo)律(CNG)進(jìn)行對(duì)比。表1列出了所有仿真參數(shù)取值，其中末端約束矢量f按俯仰和方位角取值，選取了7種組合進(jìn)行仿真。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

彈道仿真結(jié)果如圖5,6所示，分別為Oyz平面彈道投影和三維空間彈道，原點(diǎn)為目標(biāo)點(diǎn)。表2統(tǒng)計(jì)了仿真結(jié)果，可見末端脫靶量和速度傾角誤差均較小，滿足全向攻擊要求。圖7表明彈道末端法向加速度接近0，表明末端所需指令攻角接近0，有利于戰(zhàn)斗部侵徹。

選取文獻(xiàn)[9]中提出的圓制導(dǎo)方法，進(jìn)行仿真對(duì)比，圓制導(dǎo)律為

aC=NΩ×vM-K1(vM0-v10),

(26)

式中：Ω為視線轉(zhuǎn)率矢量;vM0為導(dǎo)彈速度矢量單位矢量;v10為指令速度矢量，由彈目相對(duì)關(guān)系和末端角度約束計(jì)算得到。

圖5 Oyz平面彈道Fig.5 Oyz plane trajectories

圖6 三維空間彈道(本文制導(dǎo)方法)Fig.6 Three-dimensional trajectories using the proposed guidance law

仿真參數(shù)如表3所示，表4為仿真結(jié)果，可見不考慮導(dǎo)彈延遲情況下，雖然圓制導(dǎo)脫靶量也較小，但末端速度傾角與落角要求值在部分約束條件下相差較大，全程飛行時(shí)間比本文方法長，且組合6情況出現(xiàn)了脫靶。圖8表示圓制導(dǎo)全程需要的法向過載，與圖7相比可見，雖然圓制導(dǎo)律在大部分飛行過程中需要過載比本文制導(dǎo)方法小，但在彈道末端，需要過載會(huì)突然增大而不是收斂到0，這會(huì)影響戰(zhàn)斗部侵徹效果。

表2 本文制導(dǎo)律仿真結(jié)果Table 2 Simulation results using the proposed guidance law

表3 圓制導(dǎo)律仿真參數(shù)Table 3 CNG simulation parameters

圖7 時(shí)間-法向過載變化Fig.7 Time-normal overload

圖8 時(shí)間-法向過載變化Fig.8 Time-normal overload

表4 圓制導(dǎo)仿真結(jié)果Table 4 CNG simulation results

3 結(jié)束語

本文將二維落角控制制導(dǎo)律(IACNG)擴(kuò)展到三維交戰(zhàn)場景中，并利用四元數(shù)理論推導(dǎo)添加三維旋轉(zhuǎn)角矢量補(bǔ)償項(xiàng)，設(shè)計(jì)了一種三維全向攻擊制導(dǎo)律。理想狀態(tài)下，可同時(shí)滿足零化脫靶量和三維全向落角約束，且彈道末端需要過載接近零，對(duì)應(yīng)的攻角接近0，可保障戰(zhàn)斗部侵徹效果；對(duì)一個(gè)交戰(zhàn)場景使用固定增益參數(shù)即可滿足全向攻擊要求。該方法不需要提供彈目距離信息和剩余飛行時(shí)間信息，適用于主動(dòng)尋的制導(dǎo)和被動(dòng)尋的制導(dǎo)。