數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的日常發(fā)展

張強(qiáng)

摘 ? 要：依據(jù)《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)具有必要性，根據(jù)高中階段數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)的基本特征，并立足于日常教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要回歸于落實(shí)核心素養(yǎng)發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1009-010X（2019）17-0036-04

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，數(shù)學(xué)建模被列入六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問(wèn)題是數(shù)學(xué)的基本思路，為了利用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實(shí)生活中問(wèn)題，需要建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是為現(xiàn)實(shí)生活服務(wù)，為社會(huì)學(xué)、自然科學(xué)研究提供的工具;特別是進(jìn)入以計(jì)算機(jī)技術(shù)為代表的信息時(shí)代，數(shù)字技術(shù)被更為廣泛運(yùn)用，數(shù)學(xué)建模與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)越來(lái)越緊密聯(lián)系在一起，一切社會(huì)學(xué)、自然學(xué)科研究都離不開(kāi)模型，模型依據(jù)原型的形象化或模擬與抽象而產(chǎn)生，它是對(duì)原型某些方面不失真的近似反映，而數(shù)學(xué)模型更多地是研究其空間或數(shù)量關(guān)系，這樣就建立或產(chǎn)生了各種形式或形態(tài)的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的培養(yǎng)，是一個(gè)漸進(jìn)式螺旋上升過(guò)程，教師要在日常教學(xué)中通過(guò)潛移默化的方式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

一、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的必要性

（一）創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)有利于提升學(xué)生實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。數(shù)學(xué)模型是人類(lèi)文明的文化積累，體現(xiàn)了人類(lèi)處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的智慧。提升學(xué)生數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，也是高中數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)建模進(jìn)入中學(xué)教育，也正在世界范圍內(nèi)逐步形成一種潮流。在這股潮流中，為中學(xué)生數(shù)學(xué)才能和潛力的發(fā)揮提供了更為廣闊的空間，也為學(xué)校數(shù)學(xué)教育特色化提供了創(chuàng)新空間，學(xué)校以數(shù)學(xué)建模為抓手推動(dòng)數(shù)學(xué)教育改革;教師在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，習(xí)慣用建模思想方法分析教材、設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)的力量，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程，提升其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

對(duì)數(shù)學(xué)模型方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，需要教師和學(xué)生共同挖掘組織材料，在學(xué)生周?chē)写罅康默F(xiàn)實(shí)問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決，而更多的數(shù)學(xué)建模思想學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)應(yīng)建立在平時(shí)的教材內(nèi)容和課堂學(xué)習(xí)之中。

（二）提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感悟與認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)過(guò)程可以提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，可以提升學(xué)生“問(wèn)題意識(shí)”，也提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感悟與認(rèn)識(shí)。在學(xué)生有意識(shí)應(yīng)用模型思想建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，就要聯(lián)想到已有數(shù)學(xué)知識(shí)，然后綜合利用各個(gè)方面知識(shí)解決一些與數(shù)學(xué)有關(guān)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，首先要把待研究的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)問(wèn)題明確地表達(dá)出來(lái)，然后使用數(shù)學(xué)的理論和方法進(jìn)行分析、并得出數(shù)學(xué)結(jié)論，最后還要還原到現(xiàn)實(shí)的實(shí)際問(wèn)題。在以上過(guò)程中，鑒于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的復(fù)雜性，很難用學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)理論“套用”到這些問(wèn)題上，這就需要在數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題之間建立一個(gè)“橋梁”，這個(gè)用于把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)明確表達(dá)出來(lái)的“橋梁”就是數(shù)學(xué)模型。為此，數(shù)學(xué)模型一定有它自己的應(yīng)用背景，數(shù)學(xué)模型是從特定的實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，在這個(gè)抽象過(guò)程中，學(xué)生對(duì)具體現(xiàn)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解會(huì)得到進(jìn)一步升華。

二、數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)基本特征

（一）體驗(yàn)性特征

正如要學(xué)會(huì)開(kāi)汽車(chē)，只有了解汽車(chē)，學(xué)習(xí)相關(guān)操作，并親身體驗(yàn)開(kāi)車(chē)過(guò)程，才可能逐步駕馭好汽車(chē)。中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模需要一定過(guò)程，需要學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模步驟，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模初始階段，更多的是教師引導(dǎo)展示，用數(shù)學(xué)模型思想方法解決一些典型問(wèn)題，通過(guò)范例讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)模型為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題帶來(lái)的方便與好處;進(jìn)一步，學(xué)生在模仿操作過(guò)程中，初步體驗(yàn)、了解數(shù)學(xué)建模的一般步驟與方法，并逐步產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣;然后，教師根據(jù)學(xué)習(xí)需要和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)學(xué)生熟悉的、發(fā)生在身邊的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程和環(huán)節(jié)的親自體驗(yàn)，逐步感受、了解建模過(guò)程。

（二）原型性、創(chuàng)造性特征

數(shù)學(xué)建模不能等同于通常的“應(yīng)用題”，盡管解應(yīng)用題訓(xùn)練有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力提升，應(yīng)用題中的條件只是數(shù)學(xué)假設(shè)，但不是實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化假設(shè)。數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)應(yīng)從現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)，創(chuàng)設(shè)或恢復(fù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、創(chuàng)造的全過(guò)程?；谥袑W(xué)生學(xué)習(xí)特征和學(xué)習(xí)規(guī)律，平時(shí)教學(xué)中，側(cè)重于學(xué)習(xí)、研究相對(duì)完備的知識(shí)或已經(jīng)建立好的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提倡積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)、建構(gòu)知識(shí)與方法，為此不能滿(mǎn)足于既定數(shù)學(xué)模型并導(dǎo)出具有一定方向性的答案，而對(duì)于某一特定的現(xiàn)實(shí)研究對(duì)象，根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)和建模經(jīng)驗(yàn)，由學(xué)生自己構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，更能夠激發(fā)學(xué)生獲取知識(shí)的主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)價(jià)值，提升學(xué)生解決問(wèn)題能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例1：四條腿長(zhǎng)度相等的椅子，如果放在不平坦的地面上，四條腿能否一定同時(shí)著地？

本問(wèn)題背景學(xué)生非常熟悉，看起來(lái)又與數(shù)學(xué)沒(méi)有直接聯(lián)系，但如果假設(shè)椅子中心不動(dòng)，每條腿著地點(diǎn)抽象為幾何學(xué)的點(diǎn)，用點(diǎn)A、B、C、D表示，建立直角坐標(biāo)系，線(xiàn)段AC、BD所在有向直線(xiàn)為x軸、y軸。這樣把旋轉(zhuǎn)椅子轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，并且θ為對(duì)角線(xiàn)AC旋轉(zhuǎn)后與初始位置x軸的夾角，g（θ）表示點(diǎn)A、C兩腿與地面距離之和，f（θ）表示B、D兩腿與地面距離之和，則放平椅子問(wèn)題抽象為：當(dāng)?shù)孛婀饣瑫r(shí)，g （θ）、 f（θ）皆為連續(xù)函數(shù)，因兩條腿總能同時(shí)著地， 總有f（θ）·g（θ）=0。不妨假設(shè)g（θ）=0， f（θ）>0，在以上條件下，求證存在θ0，0<θ0<，使f（θ0）=g（θ0）=0.

（三）抽象性、直覺(jué)性特征

數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象思維及直覺(jué)思維，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是培養(yǎng)學(xué)生思維能力。數(shù)學(xué)概念是經(jīng)過(guò)抽象得來(lái)的，而這個(gè)抽象過(guò)程可能要進(jìn)過(guò)多次抽象。數(shù)學(xué)模型是為了某種目的，擯棄現(xiàn)實(shí)原型中的某些非本質(zhì)屬性，并使本質(zhì)要素形式化，對(duì)原型進(jìn)行簡(jiǎn)化地、本質(zhì)地刻畫(huà)，并對(duì)原型用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行準(zhǔn)確的概括，從而可以使同一模型能運(yùn)用到不同的現(xiàn)實(shí)情境之中，這樣數(shù)學(xué)模型既能體現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題，并能經(jīng)得起實(shí)際問(wèn)題的檢驗(yàn)，還能預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題可能的結(jié)果。一般，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模的研究對(duì)象并非課本中給出的現(xiàn)成材料，學(xué)生面對(duì)新情境下的研究對(duì)象，有時(shí)需要學(xué)生即時(shí)狀態(tài)下對(duì)新事物做出相關(guān)數(shù)學(xué)的反應(yīng)于決策，這實(shí)際就是學(xué)生直覺(jué)思維的運(yùn)用與體現(xiàn)。直覺(jué)思維是數(shù)學(xué)基本思維，學(xué)生正是在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維得以提升與發(fā)展。

（四）程序化特征

由于實(shí)際問(wèn)題的多樣性，數(shù)學(xué)建模涉及的范圍自然很廣泛。盡管建模類(lèi)型、方式、方法具有多樣性，但數(shù)學(xué)建模一般要經(jīng)歷一個(gè)程序化過(guò)程，也就是有一個(gè)基本思維框架或思路，一般數(shù)學(xué)建模具有如下幾個(gè)階段：

第一階段，針對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，要明確研究對(duì)象和研究目標(biāo)。明確研究問(wèn)題實(shí)際背景及相關(guān)知識(shí)，了解數(shù)據(jù)、資料來(lái)源是否準(zhǔn)確，弄清研究問(wèn)題的類(lèi)型等。

第二階段，辨析并列出實(shí)際問(wèn)題有關(guān)因素，通過(guò)假設(shè)將要研究的問(wèn)題簡(jiǎn)化，弄清研究對(duì)象的關(guān)鍵因素及其在問(wèn)題中的作用。

第三階段，運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法刻畫(huà)問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，通常確定參數(shù)，可以用數(shù)學(xué)式子表達(dá)描述，從而得到相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

第四階段，運(yùn)行已經(jīng)獲得的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算求解，獲得數(shù)學(xué)的結(jié)果，并將獲得的結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)進(jìn)行比較驗(yàn)證。不斷改進(jìn)模型，如果模型與實(shí)際不相符，重新研究模型運(yùn)行過(guò)程及其組建過(guò)程，并驗(yàn)證假設(shè)，判斷假設(shè)是否合理，檢驗(yàn)問(wèn)題因素的篩選過(guò)程，并對(duì)假設(shè)給與修正后，重復(fù)前面建模過(guò)程，直到獲得經(jīng)檢驗(yàn)符合實(shí)際的數(shù)學(xué)模型。

在上過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和實(shí)際情境，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、構(gòu)建模型、經(jīng)歷了確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程。

三、立足課堂教學(xué)，開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)以課題研究形式開(kāi)展，在選擇性必修活動(dòng)中，要求學(xué)生完成一個(gè)課題研究……根據(jù)選題的內(nèi)容，報(bào)告可以采用專(zhuān)題作業(yè)、測(cè)量報(bào)告、算法程序、制作的實(shí)物或研究論文等多種形式。在具體教學(xué)中，應(yīng)特別關(guān)注以下幾點(diǎn)：

（一）選擇恰當(dāng)對(duì)象，構(gòu)建模型體系

確定一定難度和有學(xué)習(xí)價(jià)值的建模對(duì)象，在高中數(shù)學(xué)建模時(shí)哪些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題可以作為探究對(duì)象是一個(gè)值得思考的問(wèn)題。一般，研究的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題應(yīng)與數(shù)學(xué)核心概念、內(nèi)容有緊密聯(lián)系或相關(guān)，并有一定難度與挑戰(zhàn)性，問(wèn)題具有一般性且可能有多種建模思路，含有一定思維價(jià)值。學(xué)生利用已經(jīng)掌握的多種知識(shí)可以利用數(shù)學(xué)建模思想方法通過(guò)多種途徑解決問(wèn)題。

（二）課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)建模主陣地

依托教材中的教學(xué)內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)建模思想是非常重要的。教材公式、定理、習(xí)題等是數(shù)學(xué)教研的結(jié)晶，編寫(xiě)者將這些數(shù)學(xué)精華編輯成學(xué)習(xí)材料，這些內(nèi)容往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)模型思想，例如函數(shù)模型、方程模型、二次模型、不等式模型、數(shù)列模型等，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)、有意識(shí)、有目的地滲透數(shù)學(xué)模型思想，有意識(shí)地將教材中的公式、定理、概念賦予恰當(dāng)?shù)膶?shí)際意義，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)模型思想方法處理、思維數(shù)學(xué)問(wèn)題。

另外，教材與平時(shí)訓(xùn)練中，有大量的與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的應(yīng)用題或開(kāi)放性問(wèn)題，與以往相比，應(yīng)用題或開(kāi)放性問(wèn)題有很多新變化，表現(xiàn)為情境更加新穎、更富有時(shí)代特征、更具有開(kāi)放性，蘊(yùn)含信息更開(kāi)闊豐富、更貼近學(xué)生生活，這些具有真實(shí)情境背景的應(yīng)用問(wèn)題，更有利于鼓勵(lì)學(xué)生利用模型化思想解決問(wèn)題，有利于提升學(xué)生思維和創(chuàng)新能力。

（三）組織豐富多彩的課題研究，帶動(dòng)數(shù)學(xué)建模探究

組織有效的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵，教師應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

一是建模過(guò)程中充分發(fā)揮學(xué)生主體作用。數(shù)學(xué)建模是學(xué)生的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，教師不能代替他們，教師的職能是為學(xué)生學(xué)服務(wù)，學(xué)生能動(dòng)地去親自參與體驗(yàn)，才能將知識(shí)客體與主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，從而形成他們新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知方式。

二是學(xué)生要有必備的知識(shí)儲(chǔ)備。必備知識(shí)儲(chǔ)備是很重要的，數(shù)學(xué)建模離不開(kāi)知識(shí)，任何知識(shí)學(xué)習(xí)，既為理論提供依據(jù)，又是形成新理論的條件。

三是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)需要學(xué)生之間交流、討論。這就需要建立民主、輕松愉快的學(xué)習(xí)氛圍，給與學(xué)生相對(duì)充足的時(shí)間、空間，與接受學(xué)習(xí)相比數(shù)學(xué)建模需要更多時(shí)間，需要較大空間。有時(shí)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)甚至要延伸到社會(huì)生活之中，教師還要幫助學(xué)生開(kāi)發(fā)各種學(xué)習(xí)渠道，如網(wǎng)絡(luò)、社區(qū)、工廠、農(nóng)村等。

四是教師與學(xué)生共同搜集、整理大量信息、資料與數(shù)據(jù)。在信息時(shí)代，學(xué)習(xí)資源是共享的，盡管學(xué)生是數(shù)學(xué)建模主體，但由于學(xué)生知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)有限，在必要的環(huán)節(jié)，需要教師的參與指導(dǎo)。例如，面對(duì)大量繁雜信息，學(xué)生可能難以操作、分辨和處理，需要教師幫助辨析指導(dǎo)，需要教師對(duì)建模的研究對(duì)象適度優(yōu)化，變成適合學(xué)生研究、建模的材料。

五是交流、展示與評(píng)價(jià)。中學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，需要建立開(kāi)放性交流和展示的平臺(tái)，讓學(xué)生充分展現(xiàn)他們的成果，獲得成功的喜悅，分享建模過(guò)程中成功或失敗的經(jīng)驗(yàn)。根據(jù)選題的內(nèi)容，撰寫(xiě)報(bào)告，報(bào)告可以采用專(zhuān)題作業(yè)、測(cè)量報(bào)告、算法程序、制作的實(shí)物或研究論文等多種形式，教師和學(xué)生共同給與合理評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)既關(guān)注結(jié)果也要關(guān)注過(guò)程，既關(guān)注知識(shí)技能又要關(guān)注各種能力與素養(yǎng)。

（四）逐步養(yǎng)成建模習(xí)慣

數(shù)學(xué)建模不是目的，目的在于培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，發(fā)展創(chuàng)新精神，必須培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。一方面，教師要基于數(shù)學(xué)情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析解決問(wèn)題能力），達(dá)到“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看、會(huì)用數(shù)學(xué)思維想、會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)）;另一方面，數(shù)學(xué)模型屬于一個(gè)綜合性數(shù)學(xué)活動(dòng)，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，更體現(xiàn)研究對(duì)象的現(xiàn)實(shí)背景，學(xué)生可以在建模過(guò)程中，感受利用數(shù)學(xué)概念、方法、思想解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的作用，達(dá)到提升學(xué)生綜合能力，更加全面地提升學(xué)生核心素養(yǎng)的目的。