思想立意 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)①

林新建

(福建省漳州第一中學(xué) 363000)

在過去的教學(xué)活動中，教師可能更關(guān)心如何教，但基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，更多地需要關(guān)心學(xué)生如何學(xué)，需要知道學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知過程.

一個理想的教學(xué)過程大概可以描述如下：把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，把握學(xué)生認(rèn)知的過程；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題；啟發(fā)學(xué)生思考，鼓勵學(xué)生與他人交流；讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)；感悟數(shù)學(xué)的思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

這里的關(guān)鍵是“感悟數(shù)學(xué)的思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，本文從一道試題解答的探尋與啟示入手，就“思想立意”在“感悟數(shù)學(xué)思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”上的作用與途徑作一探析，以饗讀者.

1 探尋與啟示

例1(2011年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科16題)

解析本題是三角形求解問題，解決問題的通法是“知三求三”，即已知三邊求三角，或已知兩邊一角求另一邊兩角，或已知一邊兩角求另兩邊一角.

但直觀題目只給出一邊一角，顯然條件少了，無法直接運(yùn)用通法“知三求三”加以解決，怎么辦？

此時，若能立意于函數(shù)思想，則不難發(fā)現(xiàn)這是最值求解問題，需要引入變量，構(gòu)造出待求最值關(guān)于這個變量的函數(shù)，問題可輕松獲得解決.

為此，不妨設(shè)∠A=θ，則∠C=120°-θ.

進(jìn)而得AB+2BC=2sin(120°-θ)+4sinθ

評析由于變量的引入，我們湊足了三個量，從而可以運(yùn)用通法“知三求三”將問題輕松予以解決.在這里，思想的立意是問題獲得解決的關(guān)鍵，正是緣于函數(shù)思想的立意，我們自然地引入了變量，構(gòu)造出待求最值關(guān)于這個變量的函數(shù)，使得問題輕松獲得解決.

為什么有許多學(xué)生解決不了一些并不復(fù)雜甚至是簡單的數(shù)學(xué)問題呢？除了極少數(shù)學(xué)生不知道相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識外，絕大部分學(xué)生不是不會方法，而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法，或者是因為思想不明確而想不起來用什么方法來處理問題.

因此，指導(dǎo)學(xué)生立意于思想，讓他們在“潤物細(xì)無聲”中逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，并用其作為指導(dǎo)來引領(lǐng)問題的解決就顯得尤為重要了.

2 思想立意：基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的“雙基”是指基礎(chǔ)知識和基本技能，要求基礎(chǔ)知識扎實，基本技能熟練.2001年開始的課程改革，在傳統(tǒng)的“雙基”這個一維目標(biāo)的基礎(chǔ)上提出三維目標(biāo)，這就是：知識技能、過程方法、情感態(tài)度價值觀，這里所說的情感態(tài)度價值觀就是現(xiàn)在核心素養(yǎng)所說的態(tài)度或者必備品格.

但是，三維目標(biāo)中所說的“過程方法”沒有成為目標(biāo)，這是因為在描述“過程方法”時使用的行為動詞是“經(jīng)歷”、“體驗”、“探索”，并沒有說明通過這些“過程”讓學(xué)生獲得什么.為此，在修訂數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時，把“過程”目標(biāo)表述為：通過學(xué)生參與其中的數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實踐的基本經(jīng)驗.

這就把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的“雙基”發(fā)展為“四基”，并且強(qiáng)調(diào)：“四基”的提出是在傳統(tǒng)的“雙基”的前提下，加上了基本思想和基本活動經(jīng)驗，目的是通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅把數(shù)學(xué)作為一種技術(shù)和手段，還要學(xué)會思考，逐步具有數(shù)學(xué)抽象的能力和邏輯推理的能力.

例2(2014高考課標(biāo)全國卷Ⅰ第8題)

解析本題是一道考查基礎(chǔ)知識與基本方法的好題，依據(jù)對公式的靈活使用，可得到幾種常規(guī)解法，這里僅舉一例.

sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，

但若教學(xué)僅止步于此，可以看到，這樣的教學(xué)活動無法讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，更不可能感悟數(shù)學(xué)的基本思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).為此必須創(chuàng)設(shè)思想立意的活動，引領(lǐng)學(xué)生立意于思想解決問題.

在這里，“特殊與一般思想”的立意是問題獲得輕松解決的關(guān)鍵.正是由于“特殊與一般思想”的立意，我們“依據(jù)邏輯規(guī)則從特殊到一般與一般到特殊地進(jìn)行推理”，將問題輕松予以解決，在這個過程中，邏輯推理等能力得到了發(fā)展.

在這里，“有限與無限思想”的立意是問題獲得輕松解決的關(guān)鍵.正是由于“有限與無限思想”的立意，我們“從事物的具體背景中抽象出了一般規(guī)律”，并依據(jù)規(guī)律將問題輕松予以解決，在這個過程中，數(shù)學(xué)抽象等能力得到了發(fā)展.

可見，“思想立意”能讓學(xué)生感悟知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實踐的經(jīng)驗，同時提升和發(fā)展邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象等能力，是基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動.

3 思想立意：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展要領(lǐng)

由于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，所以“四基”就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生立意于思想解決問題，在問題解決的過程中培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1 立意“特殊與一般思想”，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)

通常在理解題目階段，需要對題目中的隱含條件和信息進(jìn)行發(fā)掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.

而如何將“抽象變具體、將隱含變清晰”呢？這就需要立意“特殊與一般、有限與無限”等思想，才能“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，這是數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的前提.

例3(2010年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科11題)

A．(1,10) B．(5,6)

C．(10,12) D．(20,24)

例4(2013年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科11題)

A．(-∞,0] B．(-∞,1]

C．[-2,1] D．[-2,0]

解析本題按常規(guī)方法求解也較為繁瑣，若能立意于特殊與一般思想，同樣能從問題的具體背景中抽象出一般規(guī)律：“|f(x)|≥ax”對于變量x在R中的任意取值都成立，則可將變量特殊化予以求解，如取x=-1，得a≥-3，排除選項A、B；再取x=1，得a≤ln2，排除選項C，故正確選項為D.

評析可以看出，由于特殊與一般思想的立意，我們“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而對問題“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，從而將問題輕松予以解決.在這個抽象和推理的過程中，“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.2 立意“有限與無限思想”，發(fā)展邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng)

如何引領(lǐng)學(xué)生思考“按照怎樣的線索、用什么方法去研究問題、解決問題？”這需要立意“有限與無限、數(shù)形結(jié)合”等思想，才能“感知事物的形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律”，進(jìn)而“依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個新的命題”，這是邏輯推理、直觀想象的基礎(chǔ).

如上例3，若能立意于有限與無限思想，則能從問題的具體背景中感知出事物的形態(tài)與變化：b、c隨著a的變化而變化，a、b的變化具有無限性特征，它們可無限趨近于1，則可將變量極限化予以求解：令a→1，則f(a)→0，從而由f(b)=f(c)→0知b→1，c→12，abc→12，驗證選項即知正確答案為C.

例5(2015年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科16題)

在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是________.

解析本題直接求解難度較大，若能立意于有限與無限思想，則能從問題的具體背景中感知出事物的形態(tài)與變化：動點(diǎn)D的變化具有無限性的特征，它可無限趨近于點(diǎn)A，也可無限趨近于點(diǎn)C，則可將問題極限化予以求解：

令D→A，則∠B=∠C=75°，∠A=30°，

令D→C，∠A=∠B=75°，∠C=30°，

評析可以看出，由于有限與無限思想的立意，我們“感知出事物的形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律”，進(jìn)而對問題“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，將問題輕松地予以求解.在這個直觀和推理的過程中，“邏輯推理、直觀想象”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.3 立意“函數(shù)與方程思想”，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

如何引領(lǐng)學(xué)生思考“面對一個新的研究對象，從哪些角度發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題？”這需要立意“函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化”等思想，以便“發(fā)現(xiàn)模型、構(gòu)建模型，進(jìn)而借助模型解決問題”，這是數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵.

如上例5，若能立意于函數(shù)思想，則能從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)這是最值與取值范圍問題，應(yīng)構(gòu)建出關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)模型，問題不難獲解.

為此，不妨設(shè)∠BAC=θ，則∠BCA=105°-θ，

由θ<75°及105°-θ<75°知30°<θ<75°.

從而知

例6(2010年高考新課標(biāo)卷Ⅰ文科16題)

在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BD，

解析本題是三角形求解問題，無論在哪個三角形中都因條件不足無法直接運(yùn)用通法“知三求三”予以求解.

若能立意于方程思想，則能從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)這是變量求解問題，應(yīng)構(gòu)建出關(guān)于這個變量的方程模型，問題不難獲解.

為此，可設(shè)BD=x，則DC=2x.

在△ADC中，由余弦定理得

化簡得b2=2+4x2-4x.

在△ADB中，由余弦定理得

化簡得c2=2+x2+2x.

所以2+4x2-4x=2(2+x2+2x)，

評析可以看出，由于函數(shù)與方程思想的立意，我們“從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題”，進(jìn)而“構(gòu)建模型、求解結(jié)論”，將問題輕松予以求解.在這個抽象和建模的過程中，“數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

4 結(jié)束語：“立意”恒久，“素養(yǎng)”終成

經(jīng)驗之中有規(guī)律，是我們認(rèn)識問題的一般過程和方法，也闡明了一個簡單但很深刻的教學(xué)原理：經(jīng)驗是具體的，規(guī)律則是抽象的.規(guī)律不是從天而降的，而是從具體經(jīng)驗中經(jīng)過不斷歸納、概括才能得到的.

如何才能培養(yǎng)學(xué)生“從經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力呢？這需要培養(yǎng)“思想立意”的意識與習(xí)慣，養(yǎng)成“從一般規(guī)律的高度考察具體事例”的意識和“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的習(xí)慣.

這是觀念問題，是思維習(xí)慣問題，也是思想方法問題.這是一個長期的、潛移默化的過程，是逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣，這個習(xí)慣日積月累就形成了數(shù)學(xué)素養(yǎng).