新加坡初中數(shù)學(xué)教科書中的探究活動(dòng)分析①

邢 昀 唐恒鈞

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

隨著對(duì)人才創(chuàng)新能力培養(yǎng)要求的提升，探究成為各國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，探究能力也成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵.而教科書是承載課程理念最為核心的載體，也是數(shù)學(xué)教學(xué)基本線索.因此對(duì)教科書中的探究活動(dòng)進(jìn)行分析有助于更好地理解數(shù)學(xué)探究教學(xué)的實(shí)施，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.新加坡的數(shù)學(xué)教育因其學(xué)生在如TMISS、PISA等國(guó)際比較中的突出表現(xiàn)而備受關(guān)注.以新加坡SHINGLEE出版社2014年出版的《NEW SYLLABUS MATHEMATICS NORMAL(ACADEMIC)》[1](下簡(jiǎn)稱《NSMN》)教科書為分析載體，借鑒劉云等在《高中數(shù)學(xué)必修教科書中的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)分析》[2]中的分析框架，從內(nèi)容類型、開放水平和完成方式這3個(gè)方面對(duì)其教科書第2冊(cè)中“函數(shù)及其線性圖像”一章的探究活動(dòng)進(jìn)行分析，以期為我國(guó)數(shù)學(xué)教育中探究活動(dòng)的處理提供借鑒.

1 《NSMN》教科書中探究活動(dòng)概況

教科書中的探究活動(dòng)是指，在功能上以解決具體問題為目的，要求學(xué)生完成“觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明”等數(shù)學(xué)活動(dòng)[2].這樣的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)必然會(huì)促進(jìn)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在分析過程中，以具有上述特征的欄目為分析對(duì)象.《NSMN》在其前言部分對(duì)教科書欄目設(shè)置的說明中指出：“通過調(diào)查活動(dòng)、課堂討論、思考時(shí)間、日志撰寫、表現(xiàn)性任務(wù)等欄目讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”.這些欄目與前述所指的探究活動(dòng)是具有相關(guān)性的.因此，本研究主要以“調(diào)查活動(dòng)”，“課堂討論”，“思考時(shí)間”，“日志撰寫”，“表現(xiàn)性任務(wù)”等顯性欄目為主，考察教科書中的探究活動(dòng).另外，在對(duì)“函數(shù)與線性圖像”一章的分析中發(fā)現(xiàn)，其中 “開心一刻”欄目也具有探究性質(zhì)，因此也被納入分析的范圍.表1呈現(xiàn)了該章探究活動(dòng)的數(shù)量及具體分布.由于在“2.5生活中線性圖像應(yīng)用”中沒有涉及顯性欄目，在下面的討論中我們也只對(duì)前四節(jié)內(nèi)容從探究活動(dòng)的內(nèi)容類型、開放水平、完成方式等角度進(jìn)行的分析.

表1 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的數(shù)量及分布

2 探究活動(dòng)的文本分析

2.1 探究活動(dòng)的內(nèi)容類型

探究活動(dòng)的內(nèi)容類型是指所探究的內(nèi)容的歸屬，可以細(xì)分為數(shù)學(xué)知識(shí)本身的探究和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究?jī)深?具體地，數(shù)學(xué)知識(shí)本身的探究指向具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，一般與數(shù)學(xué)概念、定理、公式、表示、運(yùn)算、方法、研究方法等有關(guān)[2].而且根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的性質(zhì)可以分為陳述性知識(shí)探究和程序性知識(shí)探究.陳述性知識(shí)探究是對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和公式的探究.案例1是一個(gè)陳述性知識(shí)探究.即通過該活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)坐標(biāo)系橫向、縱向及對(duì)角方向，以及船所占據(jù)的位置即坐標(biāo)概念的感悟.

案例1：坐標(biāo)概念(第一節(jié)中的“課堂討論”)

在標(biāo)記為“自己”的網(wǎng)格中，需要放置如下五條船：一艘航空母艦AAAAA，一艘戰(zhàn)艦BBBB，一艘潛水艇SSS，一艘巡洋艦CCC，一艘驅(qū)逐艦DD，這些船必須水平或豎直地放置；不可以對(duì)角放置.如何放置是合適的？

程序性知識(shí)探究是指對(duì)進(jìn)行某項(xiàng)操作活動(dòng)所需知識(shí)的探索，與數(shù)學(xué)表示、運(yùn)算、方法、研究方法等的學(xué)習(xí)有關(guān).比如，第一節(jié)“課堂討論”中要求學(xué)生說出網(wǎng)格中的一個(gè)位置，說出“擊沉”或“錯(cuò)過”，用遮蔽“擊沉”船只和給“錯(cuò)過”船只畫十字的方式記錄位置等探究活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)且獨(dú)立經(jīng)歷坐標(biāo)的數(shù)學(xué)表示過程.

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，分為模仿性應(yīng)用探究和創(chuàng)造性應(yīng)用探究?jī)煞N類型.模仿性應(yīng)用探究中提前將知識(shí)應(yīng)用步驟告訴學(xué)生，并給學(xué)生提供可以借鑒模仿的應(yīng)用程序.例如，第一節(jié)“日志撰寫”中讓學(xué)生用類似于戰(zhàn)艦游戲里的網(wǎng)格繪制一個(gè)商場(chǎng)里的樓層示意圖.而在第一節(jié)“課堂討論”中要求學(xué)生思考“數(shù)對(duì)中兩數(shù)字書寫的順序重要嗎？……你認(rèn)為他們?yōu)槭裁幢唤凶鲇行驅(qū)?？”等問題，但學(xué)生并沒有可直接模仿的前例，屬創(chuàng)造性應(yīng)用探究.學(xué)生需要結(jié)合網(wǎng)格進(jìn)行思考，這涉及了數(shù)對(duì)在網(wǎng)格中的應(yīng)用，通過創(chuàng)造性應(yīng)用可以鞏固之前對(duì)數(shù)對(duì)的認(rèn)識(shí)和掌握.將數(shù)對(duì)概念與網(wǎng)格位置結(jié)合起來，使得學(xué)生對(duì)數(shù)對(duì)概念的理解更加清晰.

根據(jù)上述分類，對(duì)新加坡初中教科書“函數(shù)及其線性圖像”一章中的探究?jī)?nèi)容類型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(表2)發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究的比例明顯多于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的探究.而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的探究活動(dòng)中，仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，雖創(chuàng)造性應(yīng)用探究的總數(shù)多于模仿性應(yīng)用，但在分布上顯得不如模仿性應(yīng)用均勻，前者主要分布在第四節(jié)“直線表達(dá)式 ”，占全部創(chuàng)造性應(yīng)用探究的69.6%.另外，創(chuàng)造性應(yīng)用探究以拋出問題的形式呈現(xiàn)，且問題大多以“你”開頭進(jìn)行發(fā)問，具有強(qiáng)烈地啟發(fā)學(xué)生自主地、創(chuàng)造性思考的引導(dǎo)性.另外，程序性知識(shí)的探究顯著多于陳述性知識(shí)的探究，前者是后者的5倍之多.

表2 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的內(nèi)容類型統(tǒng)計(jì)

2.2 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開放水平

在探究活動(dòng)中，問題、證據(jù)、結(jié)論和論證是否已經(jīng)告訴學(xué)生，顯然影響著學(xué)生探究的空間[2].據(jù)此可以將探究活動(dòng)的開放水平由低到高界定為4層次.其中，水平1是指問題、證據(jù)、結(jié)論已經(jīng)給出但又要求學(xué)生進(jìn)行論證的情形.比如，第二節(jié)“思考時(shí)間”中直接給出的問題：“y2=x不是函數(shù)的表達(dá)式因?yàn)椤绻斎離的值是負(fù)的，輸出的y沒有取值”.水平2是指問題明確，證據(jù)已經(jīng)給出，而結(jié)論和論證尚未給出的探究活動(dòng).比如，第二節(jié)“思考時(shí)間”中的問題：“可能有這樣一個(gè)函數(shù)，使得兩個(gè)輸入的x都有相同的y值嗎？(提示：考慮函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x2)”.水平3只給出問題的探究活動(dòng).水平4是指沒有直接提出問題而鼓勵(lì)學(xué)生自己提出問題的探究.

根據(jù)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四水平體系，對(duì)“函數(shù)及其線性圖像”的探究活動(dòng)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)(表3)，《NSMN》并沒有出現(xiàn)水平4的探究活動(dòng)，以水平2、水平3為主，分別占61.2%和32.8%，并且在章節(jié)安排上總體表現(xiàn)出越到后面的小節(jié)開放性水平越高.就初中的數(shù)學(xué)教科書而言，這樣的處理也許是比較理性的.這是因?yàn)?，水?對(duì)于初中學(xué)生而言是比較困難的.而水平1又顯得過于直接，不利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.水平2和水平3在開放性程度上處于中等水平，這既貼近大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，易于在課堂教學(xué)中實(shí)施，也利于通過探究不斷變化學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)從而提高學(xué)生獨(dú)立解決探究問題的能力.

特別是，水平3為學(xué)生較高水平的探究能力的發(fā)展提供了載體.比如，第三節(jié)的“課堂討論”中給出如下情境：

Amirah認(rèn)為“直線上的每一點(diǎn)都滿足函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=2x”，與同學(xué)討論她的說法是否正確.

這一探究活動(dòng)的情境性表述十分開放靈活，能引發(fā)學(xué)生的求知欲與探究興趣.當(dāng)明確了問題之后，如何尋找證據(jù)和條件呢？學(xué)生需要先觀察函數(shù)的圖像，嘗試找到直線上的一些點(diǎn)并利用坐標(biāo)知識(shí)寫出它們的坐標(biāo)，進(jìn)而代入函數(shù)表達(dá)式，經(jīng)過多次探究和計(jì)算，最終判斷Amirah的說法是否正確.在這一活動(dòng)中，由于缺少證據(jù)和條件，這推動(dòng)了學(xué)生主動(dòng)探索，大膽嘗試，最終找到破解問題的線索，得出結(jié)論和論證.

表3 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開放水平統(tǒng)計(jì)

2.3 數(shù)學(xué)探究?jī)?nèi)容的完成方式

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的完成方式是指在探究活動(dòng)中所需要的數(shù)學(xué)研究方法的類型[2]，包括實(shí)驗(yàn)型探究、觀察型探究和思想型探究三類.其中，思想型探究依靠學(xué)生邏輯的推理和思維的抽象即可得到解決，觀察型探究需要先用眼觀察得到信息，再結(jié)合思考才能完成，實(shí)驗(yàn)型探究要求學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，觀察并抽象，最終完成探究活動(dòng).探究活動(dòng)完成方式的多樣性展示了學(xué)生進(jìn)行各種探究必要的多種途徑.在教學(xué)中，巧妙設(shè)計(jì)觀察型和實(shí)驗(yàn)型探究，學(xué)生的實(shí)踐能力將得以提升，而較為純粹的思想型探究則有助于學(xué)生思維的靈活性與開放性.生活中的實(shí)際問題往往最常用觀察型和實(shí)驗(yàn)型探究，但是卻始終需要思維的引領(lǐng)，后者有利于學(xué)生在面臨真實(shí)情境時(shí)更有效地解決問題.

盡管實(shí)驗(yàn)型探究活動(dòng)最多，但總體而言三種完成方式的占比大致相當(dāng).而且不論是哪種類型的探究，都普遍遵循由易到難、循序漸進(jìn)的探究順序.比如，利用電子數(shù)據(jù)表，先把直線y=mx+c中的c值由-3一個(gè)單位一個(gè)單位地變換到3，讓學(xué)生在一次次的觀察中發(fā)現(xiàn)圖像的變化，學(xué)生有機(jī)會(huì)總結(jié)出c的值總是與x為0時(shí)y的坐標(biāo)相等的規(guī)律，從而可以從圖像感知字母c所代表的值的意義，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合.又比如，在此基礎(chǔ)上，又設(shè)計(jì)了按0到5，0到-5的順序變化m值的探究活動(dòng)，最終希望學(xué)生探究出“m為正值和m為負(fù)值的直線之間的不同”，從而利用信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)了一整套的實(shí)驗(yàn)性探究活動(dòng).這樣直觀的探究活動(dòng)會(huì)比教師的講授更加令學(xué)生印象深刻，有助于更加透徹地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系.

3 結(jié)論與啟示

3.1 關(guān)注程序性知識(shí)探究與創(chuàng)造型應(yīng)用探究，兼顧其他探究的交叉進(jìn)行

有研究表明，程序性知識(shí)與創(chuàng)造性應(yīng)用探究活動(dòng)對(duì)學(xué)生問題解決能力及創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)作用更大，特別是數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造性應(yīng)用，它更能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維[2].從“函數(shù)及其線性圖像”的第一節(jié)開始，一直是以程序性知識(shí)探究和創(chuàng)造性應(yīng)用探究占主導(dǎo)地位，最高占據(jù)總探究活動(dòng)的88.2%.這樣的處理有助于引導(dǎo)學(xué)生形成自主探索的意識(shí)與能力.同時(shí)，教科書在內(nèi)容設(shè)置過程中也遵循陳述性知識(shí)探究與程序性知識(shí)探究、模仿性應(yīng)用探究與創(chuàng)新性應(yīng)用探究的交叉進(jìn)行，這有利于使得探究水平逐級(jí)遞升，避免因跨度太大而導(dǎo)致學(xué)生難以接受.

3.2 設(shè)置不同探究水平間的過渡，穩(wěn)步推進(jìn)探究向更高水平發(fā)展

與探究活動(dòng)內(nèi)容類型類似，“函數(shù)及其線性圖像”整體上開放水平較高.不同層次開放水平的探究活動(dòng)的設(shè)置根據(jù)學(xué)習(xí)的主題，有鮮明的比例側(cè)重.在本章的前三節(jié)內(nèi)容的設(shè)置中，從要求較低的水平2探究活動(dòng)切入，這有利于用一定難度的探究引發(fā)和推動(dòng)學(xué)生積極思考，并使學(xué)生有機(jī)會(huì)體悟坐標(biāo)系的價(jià)值和函數(shù)意義與功能.而到第四節(jié)，水平3探究活動(dòng)的比重明顯上升，并超過水平2.可見，在開放水平上，新加坡教科書的設(shè)置也是按照學(xué)習(xí)的進(jìn)程遞進(jìn)的.在保證適當(dāng)探究開放水平的同時(shí)也追求著給學(xué)生提供更大的探究空間.

3.3 思維和實(shí)踐并重，為不同潛能的學(xué)生提供不同的發(fā)展路徑

從完成方式上看，各種完成方式的探究活動(dòng)均有，并且從總體上看，三種完成方式分布較為均衡.對(duì)于每一種完成方式的探究活動(dòng)，其數(shù)量在第四節(jié)均達(dá)到了較多，這也體現(xiàn)了隨著知識(shí)學(xué)習(xí)的深入，探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的最終要求是著力培養(yǎng)學(xué)生在不同領(lǐng)域的潛能.操作實(shí)驗(yàn)使數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)更加直觀、可視化，也使學(xué)生更易于觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律.觀察能力和動(dòng)手操作能力都是認(rèn)識(shí)事物十分重要的能力，其敏銳度和靈活度將助推思維的發(fā)展，當(dāng)然思維指導(dǎo)下的觀察和實(shí)驗(yàn)也必將開展得更為有效.

總之，探究能力已成為學(xué)生需要養(yǎng)成的一項(xiàng)重要能力，教科書中的探究活動(dòng)是學(xué)生探究能力發(fā)展的重要載體.從對(duì)新加坡初中數(shù)學(xué)教科書中“函數(shù)及其線性圖像”一章中探究活動(dòng)的分析中發(fā)現(xiàn)，其在探究活動(dòng)的內(nèi)容、開放水平及完成方式的設(shè)置是有啟示性的.