高三年級(jí)學(xué)生邏輯推理能力與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的關(guān)系研究

端木彥 孔德鵬 黃智華

(南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) 210007)

1 問題的提出

推理，是思維的基本形式之一，是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷(前提)推出新判斷(結(jié)論)的過程．邏輯推理，分為演繹推理與合情推理兩類，合情推理又包括類比和歸納．所謂演繹推理，就是從一般性的前提出發(fā)，通過推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過程，突出從一般到特殊的推理．關(guān)于演繹推理，還存在以下幾種定義[1]：①演繹推理是從一般到特殊的推理；②它是前提蘊(yùn)涵結(jié)論的推理；③它是前提和結(jié)論之間具有必然聯(lián)系的推理．④演繹推理就是前提與結(jié)論之間具有充分條件或充分必要條件聯(lián)系的必然性推理．所謂合情推理，就是一種比較自然的、合乎情理的，似乎為真的推理，它是根據(jù)已有的數(shù)學(xué)事實(shí)和正確的數(shù)學(xué)結(jié)論，或以個(gè)人數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)(數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`)和數(shù)學(xué)直觀進(jìn)行推測而得到某些結(jié)果的一種推理，常表現(xiàn)為憑直觀和聯(lián)想、直觀或直覺等非邏輯思維形式，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比，特殊和一般等方法直接獲得某種數(shù)學(xué)結(jié)論[2]．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》把邏輯推理定為6大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，足見其重要性．對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的研究，課題組黃智華、渠東劍老師將其總結(jié)為以下三類：對(duì)比分析研究；對(duì)數(shù)學(xué)推理的認(rèn)知、心理研究；推理能力及其培養(yǎng)的研究[3]．他們以南京市6所高中為調(diào)研對(duì)象，獲得了一些結(jié)論：①高中學(xué)生的邏輯推理處于中等水平，高中學(xué)生的類比推理水平處于低級(jí)狀態(tài)；②邏輯推理在不同年級(jí)間無顯著性差異，而假言推理、歸納推理和類比推理存在顯著性差異；③高一與高二、高一與高三假言推理能力存在有顯著性差異，高二與高三假言推理能力無顯著性差異；類比推理能力在三個(gè)年級(jí)之間都有顯著性差異；歸納能力在三個(gè)年級(jí)之間無顯著差異；④男生的邏輯推理及其各維度測驗(yàn)的平均分均比女生高，且在邏輯推理上男女之間存在著顯著差異．男女生在演繹推理上沒有顯著差異；在假言推理，命題演算和類比推理上，男女生都存在顯著差異[3]．

關(guān)于邏輯推理能力與學(xué)業(yè)成績之間是否存在聯(lián)系，通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)已有一些研究成果．田中等對(duì)4～7歲兒童研究的結(jié)論是，推理能力的認(rèn)知成績的快速提升期是7歲—7歲5個(gè)月(初入學(xué))[4].張軍翎得出不同學(xué)業(yè)成績中小學(xué)生的邏輯推理能力存在不平衡性差異：與優(yōu)秀生相比，中等生的邏輯推理能力明顯落后；與中等生相比，困難生的邏輯推理能力顯著偏低；邏輯推理能力對(duì)學(xué)業(yè)成績具有較高的預(yù)測性[5]．張潮對(duì)中小學(xué)五個(gè)年級(jí)的674名學(xué)生的研究得出：小學(xué)四年級(jí)是邏輯推理能力發(fā)展的一個(gè)值得關(guān)注的非常時(shí)期，不同學(xué)業(yè)成績(優(yōu)中差)的中小學(xué)生邏輯推理能力存在顯著差異，邏輯推理能力與數(shù)學(xué)成績相關(guān)顯著，對(duì)中小學(xué)生的學(xué)業(yè)成績具有較高的預(yù)測性[6]．曾超的結(jié)論是：①高二理科生的數(shù)學(xué)推理能力好于高二文科生；②高二男生的數(shù)學(xué)推理能力整體上優(yōu)于高二女生；③高二學(xué)生的合情推理能力強(qiáng)于演繹推理能力；④高二學(xué)生在平面幾何、解析幾何、空間幾何三大問題的推理能力上表現(xiàn)較弱[7]．郭俊楠的結(jié)論是：①高三年級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)推理發(fā)展水平存在差異性，理科生比文科生強(qiáng)，男生比女生強(qiáng)；②合情推理與演繹推理能力發(fā)展不均衡，合情推理能力明顯比演繹推理能力要強(qiáng)；③高三年級(jí)學(xué)生對(duì)于合情推理和演繹推理的區(qū)分能力欠缺[8]．

從研究對(duì)象上來看，現(xiàn)有的研究大都分布于幼兒園、小學(xué)、初中和高中各個(gè)年級(jí)，能夠較好地反映學(xué)生推理能力變化的規(guī)律性、發(fā)展性和整體性．但是，研究的不足是研究對(duì)象年齡跨度較大，并且有的結(jié)論過于久遠(yuǎn)(距今有10年以上)，研究缺乏集中性、適時(shí)性和時(shí)代性．既然邏輯推理是核心素養(yǎng)，那么當(dāng)下高中三年級(jí)(準(zhǔn)高考生)的邏輯推理能力如何，與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平的關(guān)系怎樣？本研究正是本著這樣的初衷，以邏輯推理能力與高三學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的相關(guān)性為目標(biāo)進(jìn)行研究，從而為培養(yǎng)邏輯推理能力促進(jìn)考生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績進(jìn)步提供實(shí)證依據(jù)．

2 研究方法

2.1 對(duì)推理能力水平的分析

我們研究了國內(nèi)外已有的推理能力測試問卷、公務(wù)員考試真題等，結(jié)合課本內(nèi)容編制試題．為了保證調(diào)查結(jié)果的科學(xué)性和客觀性，我們盡可能回避與高考內(nèi)容直接相關(guān)的選題．同時(shí)，因臨近高考，為免過多占用學(xué)生時(shí)間，我們調(diào)整了題量和難度，最終測試10道題，包括6道選擇題、3道填空題和1道解答題．其中類比推理2題、歸納推理4題、演繹推理4題．作為分值最高的一道測試演繹推理能力的解答題，兼含分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的考查，故答案形式不限，按作答要素得分．

數(shù)據(jù)采用SPSS15.0 for windows進(jìn)行處理和分析，先對(duì)調(diào)查問卷作了信度檢驗(yàn)，對(duì)測試數(shù)據(jù)的同質(zhì)性信度進(jìn)行分析，內(nèi)部一致性系數(shù)即α系數(shù)為0.576，表明測試卷具有較高的信度．然后采用相關(guān)分析、回歸分析和獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)對(duì)高三年級(jí)學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績進(jìn)行分析和檢驗(yàn)．

2.2 抽樣測試與訪談

在2018年5月對(duì)南京市區(qū)某四星級(jí)高中高三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了測試，總體樣本157人．

為了保證測試的有效性，我們規(guī)定了“用時(shí)相同”、“獨(dú)立完成”、“注明性別、文理選科”的測試要求．同時(shí)選取被試者在高三學(xué)年內(nèi)參加的南京市四次統(tǒng)考成績的平均值作為對(duì)應(yīng)的學(xué)業(yè)成績．

測試結(jié)束后，隨機(jī)抽取若干名被試，由測試人進(jìn)行個(gè)別訪談，并記錄學(xué)生作答時(shí)的思路和想法．

3 測試統(tǒng)計(jì)與抽樣訪談結(jié)果

3.1 高三年級(jí)邏輯推理能力與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的相關(guān)分析

表1 邏輯推理能力與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性

**.在.01 水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)

由表1可以看出：高三學(xué)生的推理分?jǐn)?shù)與學(xué)習(xí)成績之間的相關(guān)系數(shù)是0.267，相關(guān)系數(shù)大于0.05，且在0.01水平上呈顯著相關(guān)．說明高三學(xué)生的邏輯推理與學(xué)業(yè)成績之間有著密切的關(guān)系．

3.2 高三年級(jí)邏輯推理能力與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的回歸分析

以高三學(xué)生的推理成績作為自變量，各階段數(shù)學(xué)成績的均值作為因變量作回歸分析，結(jié)果如表2：

表2 推理能力與數(shù)學(xué)成績的回歸分析

a.預(yù)測變量: (常量), 推理分?jǐn)?shù)

Anovab

a.預(yù)測變量: (常量), 推理分?jǐn)?shù)
b.因變量: 成績均值

系數(shù)a

a.因變量: 成績均值

由表2可以看出：

(1)在“模型匯總”中，R是推理成績與成績均值的相關(guān)系數(shù)，R方是因變量均分的變異中被回歸方程解釋的比例，即高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績有7.1%是由推理能力引起的．

(2)在“方差分析表檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀敝校琾=0.001<0.05，表明回歸顯著，回歸方程具有良好的代表性．

(3)“回歸系數(shù)及檢驗(yàn)表”反映了回歸系數(shù)和各系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，p=0.000，p=0.001，表明推理能力對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響顯著．

回歸模型的方程為：y=91.379+0.285x．

這個(gè)結(jié)果表明，高三學(xué)生的邏輯推理水平對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績有預(yù)測作用，邏輯推理能力對(duì)學(xué)業(yè)成績有直接的影響作用．

3.3 文理科邏輯推理能力的獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)

觀察表3“方差方程的Levene檢驗(yàn)”中，Sig=0.679>0.05，表示方差沒有差異，即方差相等，此時(shí)選擇假設(shè)方差相等一行的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)結(jié)果，即觀察“均值方程的t檢驗(yàn)”Sig的值，而此時(shí)Sig=0.131>0.05，這表示文科和理科的學(xué)生在邏輯推理能力上沒有顯著性差異．

表3 文理科邏輯推理能力的獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

3.4 男女生的獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)

由表4可以看出，“方差方程的Levene檢驗(yàn)”中，Sig=0.741>0.05，表示方差沒有差異，即方差相等，此時(shí)選擇假設(shè)方差相等一行的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)結(jié)果，即觀察“均值方程的t 檢驗(yàn)”Sig的值，而此時(shí)Sig=0.000<0.05，這表示男生和女生在邏輯推理能力上存在顯著差異．

表4 男女生的獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

表5 男女生在三個(gè)維度上的獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)

3.5 高三年級(jí)推理高分組和推理低分組的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)

計(jì)算高三年級(jí)推理成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，得到均值為31.8981，標(biāo)準(zhǔn)差為9.78499．按照學(xué)生的推理得分分組，高于均分加標(biāo)準(zhǔn)差的為高分組(A組)，低于均分減標(biāo)準(zhǔn)差的為低分組(B組)，然后將兩組的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績作T檢驗(yàn)，得到下面表6．

表6 高分組和低分組成績獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

觀察“方差方程的Levene檢驗(yàn)”中，Sig=0.548>0.05，表示方差沒有差異，即方差相等，此時(shí)選擇假設(shè)方差相等一行的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)結(jié)果，即觀察“均值方程的t 檢驗(yàn)”Sig的值，而此時(shí)Sig=0.001<0.01，這表示高分組和低分組的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績上有顯著性差異．

3.6 抽樣訪談結(jié)果

共抽取高分組10人和低分組10人(其中文科9人，理科11人，男生12人，女生8人)，進(jìn)行個(gè)別訪談，逐題請(qǐng)學(xué)生說明作答理由．

高分組都表現(xiàn)出典型的邏輯推理水平，錯(cuò)誤歸因中“粗心”出現(xiàn)占比較高．比如在回答20183的“分裂”中最大的數(shù)時(shí)，高分組絕大多數(shù)都已得出20182+2017的正確答案，但在繼續(xù)計(jì)算其最簡結(jié)果時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤．相對(duì)地，低分組的作答理由多為“列舉、數(shù)出”或是“猜的”，錯(cuò)誤歸因中，認(rèn)為自己“概念模糊”的人數(shù)較多．例如，“等差數(shù)列”中的“和運(yùn)算”應(yīng)該與“等比數(shù)列”中的何種運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算結(jié)構(gòu)類比？齒輪的“逆時(shí)針”旋轉(zhuǎn)究竟是哪個(gè)方向？“復(fù)數(shù)”與“負(fù)數(shù)”究竟是什么關(guān)系？等等．

也有一些錯(cuò)誤比較特別．

學(xué)生A(低分組，文科，女生)

問：22018的個(gè)位數(shù)字為什么選擇了6？(考查歸納推理，正確答案是4)

答：我記得28的個(gè)位數(shù)字是6．

問：為什么認(rèn)為22018與28的個(gè)位數(shù)字是一樣的？(應(yīng)由周期性發(fā)現(xiàn)其個(gè)位數(shù)字與22一致)

答：我用了類比推理．

可見，樣本對(duì)推理是有些感受的，但是拘于表面相似性識(shí)別聯(lián)想，未進(jìn)行實(shí)質(zhì)分析．她認(rèn)為自己運(yùn)用了類比推理，殊不知實(shí)際還是歸納推理，只不過缺少了特殊到一般的歸納過程，而是憑感覺猜想周期．猜想是尚未辨明真假的數(shù)學(xué)敘述，它的正確與否需要演繹推理加以證明，而這恰是高分組與低分組被試在解題思路和科學(xué)精神上的一個(gè)明顯差異．

學(xué)生B(高分組，理科，女生)

問：為什么在完成第10題時(shí)，將原先的分類想法都杠去了？(題為“過一點(diǎn)作一條直線，如何平分平面內(nèi)的三角形？”)

答：我當(dāng)時(shí)覺得點(diǎn)的位置不確定，就先把所有可能性都寫出來了．

問：你原本分了點(diǎn)為頂點(diǎn)、點(diǎn)在邊上、點(diǎn)在形內(nèi)、點(diǎn)在形外四種情況．

答：對(duì)，但是我在解決“點(diǎn)在形內(nèi)”時(shí)，發(fā)現(xiàn)還要二次分類討論，覺得不對(duì)了．

本題是基于分類討論思想的演繹推理題．其實(shí)無論點(diǎn)在形內(nèi)、形上、形外，本質(zhì)只分為兩大類：若點(diǎn)在某邊中線所在直線上，則該直線即為所求；若點(diǎn)不在任意一邊中線所在直線上，則應(yīng)根據(jù)面積公式作出滿足相應(yīng)線段比例關(guān)系的直線．在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，演繹推理更多的表現(xiàn)為學(xué)生在解決問題時(shí)的一種思考方法，隨著演繹推理能力的提升，學(xué)生能夠更加熟練地進(jìn)行透視本質(zhì)的科學(xué)思維，或是創(chuàng)造性地解決問題．可以說演繹推理是學(xué)生進(jìn)行深度思考時(shí)的心理學(xué)基礎(chǔ)．

學(xué)生C(高分組，理科，男生)

問：保持長方體容器的一邊固定于地面上，再將容器傾斜，為什么你認(rèn)為水面四邊形的面積不改變？

答：我當(dāng)時(shí)把礦泉水瓶子擺了一下，覺得水面橢圓的面積就是固定的．

問：只是形狀保持為橢圓吧，一旦改變傾斜角度，面積也會(huì)改變．

答：??？我沒看到這個(gè)條件．(題中有條件“隨著傾斜度的不同”)

樣本在解決問題時(shí)已經(jīng)自覺使用了由抽象到具體的分析方法，表面看來，犯的是“粗心”的錯(cuò)誤，與推理能力無關(guān)．但是對(duì)題中反復(fù)出現(xiàn)的“隨著”、“當(dāng)”、“始終”、“定值”等等詞語的加工轉(zhuǎn)化能力缺失，可能影響到推理能力的測評(píng)結(jié)果，也可以認(rèn)為這表現(xiàn)出某種語義形式方面推理能力的欠缺．

從訪談結(jié)果看，所有對(duì)象均具備一定的推理能力，其中男生歸納推理能力較強(qiáng)于女生，類比推理能力無明顯差異．演繹推理能力在文理科無明顯差異，但男生略高于女生．演繹推理在高分組和低分組差異最為明顯，與學(xué)業(yè)成績相關(guān)度較高．

4 分析與討論

4.1 合情推理能力

通過進(jìn)一步對(duì)男女生在三個(gè)維度上進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)(表5)，我們發(fā)現(xiàn)，歸納維度在0.01水平存在顯著差異，說明高三學(xué)生中男生較女生更擅于運(yùn)用歸納推理處理問題．歸納推理與被試的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)有著密切的關(guān)系．已有的許多研究表明：當(dāng)人們?nèi)狈w納推理任務(wù)中所需要的知識(shí)時(shí)，通常會(huì)根據(jù)客體、事件等之間的相似性來進(jìn)行歸納推理；一旦人們獲得了相關(guān)的知識(shí)，知識(shí)在歸納推理中的作用就會(huì)凸顯出來．研究提示：教學(xué)中教師可以適當(dāng)對(duì)女生作針對(duì)性引導(dǎo)，幫助女生形成歸納推理思維習(xí)慣，提升推理能力．

分析顯示：高三學(xué)生類比推理能力不存在性別顯著差異．結(jié)合訪談發(fā)現(xiàn)，文理科差異也不具有顯著性意義．同時(shí)，訪談中也發(fā)現(xiàn)，低分組被試受限于信息貯存量及信息加工技術(shù)，習(xí)慣于語詞聯(lián)想法獲取結(jié)果．高分組被試受益于認(rèn)知策略，可以推斷出因果、并列關(guān)系，整體/部分、包含關(guān)系，類比對(duì)象間相互作用維度等要素后獲取正確結(jié)果．

高中數(shù)學(xué)教材中的定理，往往通過合情推理引出，再由演繹推理進(jìn)行論證．相較于初中教材設(shè)計(jì)，更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，也符合從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律．“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線”，在問題解決的教學(xué)中，教師也不妨多借由歸納推理和類比推理探索解決問題的思路和方向，繼而借助演繹推理論證猜想．

結(jié)合以上分析，對(duì)于合情推理教學(xué)提出如下思考．教學(xué)中適度鼓勵(lì)學(xué)生采用通過合情推理獲得初步結(jié)果后再行證明的思維方式．指導(dǎo)學(xué)生通過與條件或結(jié)論相似的題型進(jìn)行形式與實(shí)質(zhì)的類比，進(jìn)行解題思路的遷移．同時(shí)教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生進(jìn)行合情推理的寬度和精準(zhǔn)度．

4.2 演繹推理能力

我國學(xué)者李丹、方富熹和胡竹菁等人和國外學(xué)者伍德沃斯、斯滕伯格和德索托等人對(duì)演繹推理做出的研究發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過幾次飛躍，演繹推理能力在高中階段已經(jīng)趨于成熟．演繹推理能力不僅與推理形式和規(guī)則有關(guān)，也與學(xué)生的知識(shí)程度密切相關(guān)．

表5顯示，男女生演繹維度在0.05水平有顯著差異．通過訪談，我們還發(fā)現(xiàn)，高分組與低分組在演繹推理能力上的差異主要表現(xiàn)在：1.對(duì)材料迅速而準(zhǔn)確的抽象概況能力；2.用簡捷的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思維的能力；3.在邏輯推理過程中的自省能力．

以上分析為演繹推理教學(xué)提供了一些啟示．加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程教學(xué)，注重學(xué)生思維過程中的暫停和后續(xù)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注每個(gè)邏輯段的邏輯聯(lián)系，有意識(shí)的進(jìn)行相關(guān)聯(lián)想．在材料的選擇上，要將符號(hào)語言與文字、圖形材料等表現(xiàn)形式結(jié)合起來進(jìn)行推理訓(xùn)練．

5 結(jié)論

本次研究得到以下結(jié)論：

(1)高三年級(jí)學(xué)生邏輯推理能力與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績之間存在密切聯(lián)系；邏輯推理水平對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績有預(yù)測作用，邏輯推理能力對(duì)學(xué)業(yè)成績有直接的影響作用.

(2)文科和理科的學(xué)生在邏輯推理能力上不存在顯著性差異；男生和女生在邏輯推理能力上存在顯著性差異.

(3)邏輯推理能力的高分組和低分組的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績上存在顯著性差異.

(致謝：本研究在喻平教授團(tuán)隊(duì)的支持下完成，特別感謝韓鈺穎和倪霞美兩位研究生在數(shù)據(jù)處理方面所做的工作)