基于隨機-關聯(lián)空間插值法的工程巖體力學參數(shù)確定

(1.西南石油大學 土木工程與建筑學院，成都 610500；2.瀘州市瀘縣 住建局，四川 瀘州 646000；3.西南交通大學 交通運輸與物流學院，成都 610031)

1 研究背景

工程巖體力學參數(shù)的合理取值，是工程巖體穩(wěn)定性分析的關鍵步驟， 也是多年來巖體力學界存在的一大難題[1-2]。 在取值過程中， 主觀上受到采樣擾動、 試驗方法、 隨機量測誤差帶來的影響； 客觀上， 在復雜的賦存環(huán)境、 地質(zhì)作用、 巖體成因、 地質(zhì)作用等多種因素的共同作用下， 巖體的力學參數(shù)在空間上存在隨機不確定性和結(jié)構(gòu)關聯(lián)性[3-4]。 因此，在工程巖體力學的設計取值中， 需要選擇合適的試驗方法， 同時也必須考慮工程巖體力學參數(shù)在在空間上的不確定性和結(jié)構(gòu)關聯(lián)性這一客觀實際問題。

工程巖體力學參數(shù)的隨機不確定性是指巖體力學參數(shù)的數(shù)值呈現(xiàn)隨機分布且變化各異，這是由不同影響因素綜合作用而成的，如：巖體自身的礦物組成，巖體賦存環(huán)境的圍壓大小、固結(jié)歷史、形成年代，巖體在形成過程中受到構(gòu)造運動、風化作用、溶蝕、卸荷作用的往復改造；內(nèi)外動力地質(zhì)的耦合作用使得巖石具有天然變異性，同時導致巖體結(jié)構(gòu)面隨機分布，使得巖體力學參數(shù)在數(shù)值上表現(xiàn)出隨機分布的特點[5-9]。由于巖體力學參數(shù)的隨機性和空間變異產(chǎn)生的主導因素可能不同，相應地，用于預測巖體力學參數(shù)的方法也應具有針對性。

針對工程巖體自身的天然變異性引起的力學參數(shù)隨機性，文獻[10]—文獻[12]利用統(tǒng)計學的方法，以一定的概率模型來描述巖體力學參數(shù)的分布類型及其特征。針對巖體結(jié)構(gòu)面隨機分布引起的力學參數(shù)隨機性，文獻[13]和文獻[14]根據(jù)節(jié)理幾何參數(shù)模型，利用Monte-Carlo方法模擬不同尺寸巖體試件;文獻[15]通過“隨機-確定”耦合模型，模擬了離散裂隙隨機網(wǎng)絡模型中的結(jié)構(gòu)面分布特征。統(tǒng)計學方法大多以巖體力學參數(shù)分布符合某種已知的概率分布模型為前提條件對其進行描述；但由于巖體天然變異性及結(jié)構(gòu)面的隨機分布，難以得到其概率分布函數(shù)，其真實的概率分布函數(shù)可能不符合現(xiàn)有的分布模型。利用計算機技術進行數(shù)值模擬，在建模和賦值時往往帶有較強的個人主觀性，不能客觀反映現(xiàn)場實際。

同時，巖體力學參數(shù)并不是一般意義上的純隨機變量，而是同時具有局部隨機性和整體關聯(lián)性。工程巖體力學參數(shù)的關聯(lián)性是指巖體在形成和后期改造過程中受到各種宏觀規(guī)律控制，巖體結(jié)構(gòu)面之間相互關聯(lián)，這使得空間中不同位置的巖體力學參數(shù)之間也存在某種程度的關聯(lián)。針對巖體力學參數(shù)關聯(lián)性的特點，文獻[16]考慮了一定范圍內(nèi)巖體力學參數(shù)的波動范圍和相關距離的關系，文獻[17]和文獻[18]結(jié)合有限元的中心點離散法和局部平均離散法研究了巖土力學參數(shù)變化特征。上述研究多以樣本點為中心，對周圍巖體的力學參數(shù)變化特征和波動范圍進行研究，但對樣本點之間的關聯(lián)性缺乏考慮；同時，由于樣本攜帶的信息量有限，在樣本信息較少的情況下，難以對整個工程場地中的巖體力學參數(shù)作出符合客觀實際的評價。

目前對于工程巖體力學參數(shù)的隨機性和關聯(lián)性已經(jīng)進行了一定程度的研究，但在概率分布函數(shù)未知、樣本信息較少的情況下得到的工程巖體力學參數(shù)估值并不理想。為了解決工程巖體力學參數(shù)的隨機性導致其概率分布未知的問題，以地質(zhì)統(tǒng)計學中區(qū)域化變量理論考慮巖體力學參數(shù)，利用樣本矩替換母體矩，通過變差函數(shù)建立巖體力學參數(shù)的空間分布模型；為了考慮樣本點之間、樣本點與插值點的巖體力學參數(shù)的關聯(lián)性，利用變差函數(shù)對其進行定量描述；采用克里格法對樣本點之間的工程巖體力學參數(shù)進行空間插值。通過工程實例，分析該方法的適用性和應用范圍，選取不同數(shù)量的樣本進行插值對比。對比結(jié)果表明該方法對樣本數(shù)量具有依賴性。

2 空間分布模型的建立

對巖體樣本進行預處理后，基于地質(zhì)統(tǒng)計學中區(qū)域化變量理論構(gòu)造試驗變差函數(shù)，并與理論變差模型進行擬合及交叉驗證后得到滿足條件的空間分布模型。

2.1 構(gòu)造試驗變差函數(shù)

區(qū)域化變量是指一定空間范圍內(nèi)具有某種關聯(lián)性的隨機變量[19-20]。巖體在形成過程中受地質(zhì)作用的影響，使其在空間中具有結(jié)構(gòu)和組成成分上的關聯(lián)性以及隨機不確定的變異性，將巖體力學參數(shù)作為區(qū)域化變量進行研究，有助于了解其關聯(lián)性和隨機性2個客觀存在的基本屬性，并通過變差函數(shù)對其進行定量分析。將工程巖體力學參數(shù)記為Z(xi)，表示工程巖層中多個空間點i的巖體力學參數(shù)取值，其中i的取值為1，2，…，k。

實際工程中構(gòu)造該場地中區(qū)域化變量的試驗變差函數(shù)時，需要從方向和距離2個方面對工程巖體力學參數(shù)樣本數(shù)據(jù)進行綜合考慮，如圖1所示。圖中，Z(x0)為x0點的巖體力學參數(shù)；h為基于各空間點的相對距離選擇的合理滯后距；kh為k點與滯后距h的乘積；ε(h)為距離誤差限。

圖1 綜合考慮方向和距離的數(shù)據(jù)模型Fig.1 Data model in consideration of directionand distance

將數(shù)據(jù)組合成角度組，也就是說在(α-dα，α+dα)方向范圍內(nèi)的巖體力學參數(shù)空間點都看成α方向的數(shù)據(jù)點(設α方向的角度允許誤差為dα)，其中dα一般取兩相鄰方向夾角的1/4，最大不超過兩相鄰方向夾角的1/2；再將數(shù)據(jù)按距離[kh-ε(h)，kh+ε(h)]組合起來。這樣，凡是落在角度范圍(α-dα，α+dα)及距離范圍[kh-ε(h)，kh+ε(h)]內(nèi)(圖1陰影部分)的巖體力學參數(shù)空間點都認為是x0點在其中α方向上相距為kh的數(shù)據(jù)點[18]。

基于各空間點的相對距離選擇合理的滯后距h，按照式(1)計算出不同滯后距對應的試驗變差值。

(1)

式中：dij是為了使兩空間點的距離接近kh選擇的權(quán)系數(shù)，dij=1-[hj-kh/ε(h)]2，其中k為空間點數(shù);hj為某點與點xi在空間中的實際距離，且滿足kh-ε(h)

2.2 空間分布模型的擬合

利用加權(quán)多項式回歸算法以及人工補償?shù)姆绞綄⒃囼炞儾詈瘮?shù)與理論分布模型進行擬合后得到能夠定量描述一定空間范圍內(nèi)的工程巖體力學參數(shù)隨機性和關聯(lián)性的空間分布結(jié)構(gòu)模型。

文獻[21]指出理論變差函數(shù)模型中的球狀模型在確定工程力學巖體參數(shù)上具有較好的應用，其一般表達式為

式中：a為變程，表示工程巖體力學參數(shù)關聯(lián)性的影響范圍；C為拱高，表示工程巖體力學參數(shù)空間結(jié)構(gòu)變化的極大值;C0為塊金值常數(shù)，表示工程巖體力學參數(shù)在形成過程、宏觀地質(zhì)作用中導致的隨機不確定性成分；C0+C為基臺值，表示工程巖體力學參數(shù)在一定方向上總的空間變異幅度。

考慮到巖體具有各向異性的特點，需要對不同方向上的試驗變差函數(shù)格局用式(3)進行結(jié)構(gòu)套合。

(3)

確定了工程巖體強度參數(shù)的理論變差函數(shù)模型后，再利用交叉驗證法對模型進行最優(yōu)性檢查；最終建立能夠反映巖體強度參數(shù)空間分布特征的空間分布結(jié)構(gòu)模型γ(h)。

3 工程巖體力學參數(shù)的空間插值

根據(jù)一定范圍內(nèi)的樣本點對某一插值點的區(qū)域化變量進行空間插值。由于工程巖體力學參數(shù)具有隨機性和關聯(lián)性，一定范圍內(nèi)任意一點的力學參數(shù)都受到該范圍內(nèi)所有點的力學參數(shù)的共同影響，其影響程度需要從方向和距離2方面進行考慮。在線性、無偏和方差最小的條件下確定出各已知空間點xi的巖體力學參數(shù)相對于未知點w的巖體力學參數(shù)的權(quán)系數(shù)λiw。

Zw滿足無偏性的條件為

(4)

巖體力學參數(shù)估計方差的計算公式為

(5)

在無偏條件下，采用拉格朗日乘數(shù)法，使空間巖體力學參數(shù)的估計方差σ2最小，則有

(6)

協(xié)方差函數(shù)與變差函數(shù)的關系為

C(h)=C(0)-γ(h) 。

(7)

式中：C(h)為一個點與另一個點距離為滯后距h時的協(xié)方差函數(shù)；C(0)為一個點與自身的協(xié)方差函數(shù)，由于是同一個點，因而滯后距為0。

利用式(7)整理得到可用變差函數(shù)γ(h)表示的普通克里格方程組與普通克里格方差，分別為

(8)

(9)

其矩陣表達式為

Kλ=M。

(10)

其中：

(11)

基于二階平穩(wěn)假設條件下，通過方程組(式(11))可以得出各樣本點對插值點的權(quán)重系數(shù)λiw。二階平穩(wěn)假設是指當區(qū)域化變量應滿足下列2個條件：①區(qū)域化變量在整個研究范圍內(nèi)的數(shù)學期望存在且等于常數(shù)；②區(qū)域化變量在整個研究范圍內(nèi)的協(xié)方差函數(shù)存在且相同。因此，在巖性相對均一、沒有顯著的構(gòu)造形跡和不同的巖體結(jié)構(gòu)分區(qū)的區(qū)域內(nèi)利用上述公式確定權(quán)重系數(shù)進行插值是適用的。當研究范圍內(nèi)出現(xiàn)特異值或巖體各向異性時，權(quán)重系數(shù)可以采用指示克里格或泛克里格方法進行確定；當研究范圍內(nèi)具有不同工程地質(zhì)單元分區(qū)時，應根據(jù)實際情況分別建立相對應的變差函數(shù)，在分區(qū)交界處選擇合適的方法，共同確定該區(qū)域中的巖體力學參數(shù)。

根據(jù)克里格方程得到各樣本點的權(quán)重系數(shù)后，利用式(12)對待估點進行插值,即

(12)

4 工程實例

4.1 工程概況

實際工程為四川省成都市某高層建筑基坑工程?；娱_挖尺寸約為211 m ×167 m × 40 m(長×寬×高)，地層分布傾向平緩，建筑持力層為中風化紅層泥巖，為了確定該基坑中持力層(地下35～40 m處)的紅層泥巖單軸抗壓強度，對該區(qū)域進行了勘察取樣。

鉆孔位置平面分布圖如圖2所示，根據(jù)樣本信息統(tǒng)計結(jié)果(表1)可知，該區(qū)域內(nèi)樣本點巖體力學參數(shù)變化平穩(wěn)，無異常突變，可以使用本文所提出的方法對工程場地巖體力學參數(shù)進行插值。

圖2 鉆孔位置平面分布Fig.2 Layout of drilling holes

空間點坐標值/mxyz單軸抗壓強度/MPaA142.3178.539.24.75B0.061.438.04.54C26.370.837.93.65D102.145.937.53.82E129.888.538.23.79F161.797.536.14.41G78.810.038.73.89H24.599.039.64.54I129.6135.737.83.49

圖3 不同樣本數(shù)量的變差函數(shù)Fig.3 Variation functions of tests with different sample number

4.2 樣本數(shù)量敏感性分析

考慮到有效樣本數(shù)量會對估值結(jié)果產(chǎn)生影響(圖3)，為了分析有效樣本數(shù)量對估值結(jié)果的敏感性問題，采用5個點、7個點、9個點鉆孔的樣本試驗值分別選取適當?shù)臏缶鄅1=44 m，h2=31 m，h3=22 m，距離誤差限ε(h)=11 m，角度允許誤差dα=7.5°～15°。由正東方向自西偏北30°方向分別作出6個方向的試驗變差函數(shù)γ*(h1)，γ*(h2) ，γ*(h3),并按照加權(quán)多項式回歸法進行擬合；再通過試驗變差函數(shù)γ(h1)，γ(h2) ，γ(h3)分別建立克里格方程對待估點w1，w2，w3的單軸抗壓強度進行插值，并與試驗數(shù)據(jù)進行對比分析(表2和表3)。

圖4 未知點區(qū)域化變量位置網(wǎng)圖Fig.4 Network of regional variable of unknown location

待估點號估值結(jié)果/MPa5個樣本點7個樣本點9個樣本點室內(nèi)試驗結(jié)果/MPaw14.634.484.064.24w24.424.263.864.04w34.674.584.044.27

表3 不同樣本估值與試驗結(jié)果相對誤差Table 3 Relative error between estimation results withdifferent effective samples and test results

根據(jù)上述計算結(jié)果進行分析，結(jié)果表明：本文所提出的的隨機-關聯(lián)空間插值法在巖性相對均一、沒有明顯突變情況下，利用一定數(shù)量的樣本可以建立巖體力學參數(shù)的變差函數(shù)對工程巖體的單軸抗壓強度進行估值。估值結(jié)果與試驗結(jié)果的相對誤差受有效樣本數(shù)量的影響，隨著有效樣本數(shù)量的增多，其相對誤差相應地減小。其中，有效樣本數(shù)量為5個與7個時選擇的滯后距h相對較大，建立的變差函數(shù)沒有準確反映巖體力學參數(shù)在一段區(qū)域內(nèi)先減小又增大的變化情況；當有效樣本數(shù)量為9個時選擇的滯后距h相對較小，建立的變差函數(shù)更能準確反映巖體力學參數(shù)在空間中的變化情況。因此，實際工程中應根據(jù)工程場地的地質(zhì)條件情況和場地范圍大小選擇合適的插值方法和有效樣本數(shù)量進行插值計算。

4.3 應用實例

由有效樣本數(shù)量對估值結(jié)果的敏感性分析可知，有效樣本數(shù)量的增多會減小估計值與試驗值的相對誤差。結(jié)合工程實際情況選擇9個已知有效樣本點對未知區(qū)域的40個空間點的單軸抗壓強度進行空間插值，根據(jù)插值結(jié)果將場地劃分為8個網(wǎng)格區(qū)域(圖5)，再根據(jù)區(qū)域中已知點與插值點共同確定出該區(qū)域的單軸抗壓強度設計建議值(圖6)。

圖5 區(qū)域場地位置平面圖Fig.5 Layout of regional sites

區(qū)域設計建議值/MPa區(qū)域設計建議值/MPaN14.25N54.20N24.00N64.10N34.17N74.08N43.98N84.37

5 結(jié) 論

為了解決工程巖體力學參數(shù)在空間中的隨機性和關聯(lián)性引起的工程巖體力學參數(shù)設計取值問題，提出隨機-關聯(lián)空間插值法，利用現(xiàn)場有限的樣本信息，統(tǒng)計工程巖體力學參數(shù)空間分布的結(jié)構(gòu)特征，對取樣點之間的工程巖體力學參數(shù)進行空間插值，通過工程實例進行分析得到以下結(jié)論：

(1)從實際出發(fā)，在概率分布未知的情況下，利用樣本矩替換母體矩，建立反映場地中巖體力學參數(shù)的空間概率分布模型。

(2)將巖體力學參數(shù)作為區(qū)域化變量，利用有限的樣本數(shù)據(jù)，通過變差函數(shù)定量描述取樣點之間、取樣點與插值點之間巖體力學參數(shù)的關聯(lián)性，得到不同取樣點對插值點的影響權(quán)重λi。

(3)該方法同時考慮了工程巖體力學參數(shù)具有隨機性和關聯(lián)性的二重特性，對于巖性相對均一，沒有顯著的構(gòu)造形跡和顯著不同的巖體結(jié)構(gòu)分區(qū)的區(qū)域具有較好的適用性；對于存在不同工程地質(zhì)單元分區(qū)或者巖體力學參數(shù)發(fā)生突變的情況，可以在此基礎上使用泛克里格法或者指示克里格法進行估值。

(4)本文提出的方法對于有效樣本的數(shù)量存在一定的依賴性，隨著有效樣本的增多，估值結(jié)果與試驗結(jié)果的相對誤差相應減小。在工程實例中，有效樣本數(shù)量為9個，利用該方法獲得的工程巖體力學參數(shù)指標與實際工程對比相對誤差分別為4.2%，4.4%，5.3%，得到的巖體力學參數(shù)可以作為工程設計取值的重要依據(jù)。本文提出的方法在一定程度上優(yōu)化了工程巖體力學參數(shù)合理取值的問題。