基于核心素養(yǎng)的國(guó)際數(shù)學(xué)課程教材改革動(dòng)向及啟示①

郭玉峰

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

1 背景

核心素養(yǎng)是當(dāng)前國(guó)內(nèi)課程改革的一個(gè)新動(dòng)向，基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程教材改革以及教學(xué)實(shí)踐正在積極開(kāi)展.從國(guó)際視野了解基于核心素養(yǎng)的國(guó)際數(shù)學(xué)課程教材改革的最新動(dòng)向，將對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)課程教材改革起到有益的促進(jìn)和推動(dòng).

2017年6月16日-18日，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院和人民教育出版社課程教材研究所聯(lián)合主辦了首屆“中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教材國(guó)際論壇”(InternationalResearchForumonMathematicsCurriculumandTeachingMaterialsinSecondarySchool,簡(jiǎn)稱IFMCT-1).論壇旨在“推動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材改革，為研究和解決中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材的實(shí)質(zhì)問(wèn)題提供交流、討論的平臺(tái)，以促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材的可持續(xù)發(fā)展”.首屆論壇以“核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)課程教材改革”為主題，設(shè)置“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)”、“高中數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容精選”、“教育信息化與高中數(shù)學(xué)課程建設(shè)”、“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中教材理論”、“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中教材案例”、“滿足數(shù)學(xué)英才教育需要的數(shù)學(xué)課程教材”等專題，邀請(qǐng)美國(guó)、荷蘭、德國(guó)及我國(guó)香港、臺(tái)灣地區(qū)的學(xué)者，與大陸數(shù)學(xué)教育研究者進(jìn)行交流研討.在為期三天的論壇上，共有22位專家學(xué)者對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論建構(gòu)以及近十年不同國(guó)家和地區(qū)數(shù)學(xué)課程與教材發(fā)展的歷程、最新動(dòng)向等做了專題報(bào)告.本文根據(jù)本次論壇的報(bào)告內(nèi)容，側(cè)重從核心素養(yǎng)的角度對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)課程教材改革的最新動(dòng)向進(jìn)行梳理和研究，以期對(duì)我國(guó)當(dāng)前數(shù)學(xué)課程教材改革有一定的啟發(fā)和借鑒意義.

2 基于核心素養(yǎng)的國(guó)際數(shù)學(xué)課程教材改革最新動(dòng)向

以下分別介紹美國(guó)、荷蘭和德國(guó)最新數(shù)學(xué)課程的動(dòng)向.

2.1 美國(guó)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)實(shí)踐以及數(shù)學(xué)傾向(dispositions)

來(lái)自美國(guó)密西根大學(xué)的Edward A.Silver教授主要闡述了美國(guó)數(shù)學(xué)課程中關(guān)于非具體課程內(nèi)容，包括數(shù)學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)實(shí)踐以及數(shù)學(xué)傾向(或思維習(xí)慣)落實(shí)中存在的問(wèn)題，并給出了實(shí)施建議.

美國(guó)的課程文件不僅包括具體的課程內(nèi)容、技巧和概念，還包括數(shù)學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)傾向(或思維習(xí)慣)等非具體內(nèi)容的課程目標(biāo).自1989年到2010年的美國(guó)數(shù)學(xué)課程改革，如1989的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》、2000年的《學(xué)校數(shù)學(xué)教育原則和標(biāo)準(zhǔn)》、2006年的《課程焦點(diǎn)》、2010年的《聚焦高中數(shù)學(xué)》、以及2010年的《美國(guó)州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》，數(shù)學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)實(shí)踐以及數(shù)學(xué)傾向(或思維習(xí)慣)等非具體內(nèi)容的課程目標(biāo)在不斷演變，且經(jīng)常出現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)課程文件中，被學(xué)科專家廣泛稱贊.然而，存在的一個(gè)問(wèn)題是：在各種課程文件中經(jīng)常出現(xiàn)的這些非具體內(nèi)容的課程目標(biāo)，在廣泛使用的主要數(shù)學(xué)教科書(shū)中卻很少體現(xiàn).那么，如何通過(guò)教科書(shū)實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)？教科書(shū)又能否實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)呢？Silver教授認(rèn)為，目前來(lái)看并沒(méi)有足夠的研究說(shuō)明數(shù)學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)傾向等課程目標(biāo)的發(fā)展規(guī)律，也沒(méi)有針對(duì)教科書(shū)或課程資源中如何落實(shí)這些非具體內(nèi)容的課程目標(biāo)的深入研究.教科書(shū)中如何落實(shí)？在落實(shí)的同時(shí)如何保持課程的連貫性等，這些對(duì)教科書(shū)改革是有一定難度和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.

在實(shí)施非具體內(nèi)容的課程目標(biāo)中，教師的作用很重要.課程標(biāo)準(zhǔn)面向的是大多數(shù)學(xué)生，但可能并不適用于每一個(gè)學(xué)生.為此，美國(guó)于2014年頒布《行動(dòng)原則：數(shù)學(xué)適用于每一個(gè)學(xué)生》，其目的是搭建起課程標(biāo)準(zhǔn)與實(shí)踐的橋梁，以便更好地實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn).這個(gè)行動(dòng)原則主張有效的數(shù)學(xué)教學(xué)是確保所有的學(xué)生能夠?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的方式，而開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐需要基于以下幾點(diǎn)：1.建立聚焦于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo)；2.實(shí)施促進(jìn)推理和問(wèn)題解決的任務(wù)；3.建立和運(yùn)用數(shù)學(xué)表征之間的聯(lián)系；4.促進(jìn)有意義的數(shù)學(xué)討論；5.提出有針對(duì)性的問(wèn)題；6.在概念理解的基礎(chǔ)上,增強(qiáng)熟練度；7.支持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造性；8.引導(dǎo)學(xué)生思考.盡管這些指明了有效數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的方向，但由于諸多客觀因素，美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)(NCTM)只是關(guān)注有效教學(xué)的概念，而不是具體課程的教學(xué)支持，這是教學(xué)實(shí)踐中存在的一大問(wèn)題.

2.2 荷蘭12—18歲學(xué)生的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育

現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育我們并不陌生，來(lái)自荷蘭烏得勒支大學(xué)的Paul Drijvers教授從一個(gè)具體實(shí)例引入，進(jìn)一步詮釋了荷蘭現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中關(guān)注經(jīng)驗(yàn)及過(guò)程性的特點(diǎn).

“數(shù)學(xué)是一種人類的活動(dòng)”，我們從現(xiàn)實(shí)世界建構(gòu)內(nèi)容，用數(shù)學(xué)的方法組織現(xiàn)象，這是弗賴登塔爾被廣泛認(rèn)同的觀點(diǎn).在這個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，有外顯的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，也有很多不可見(jiàn)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，這些不可見(jiàn)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)決定了我們能看到什么，這是需要大量積累的.如圖1所示的冰山模型，我們能看到的海平面上方的部分僅是冰山一角，還有很多我們看不見(jiàn)的地下部分.小學(xué)生計(jì)算得到5+2=7的結(jié)果，這是可以直接觀察到的結(jié)果，但他們可能會(huì)用手指計(jì)算，或用骰子計(jì)算，或畫(huà)一條數(shù)字線等，這些背后的東西是我們看不到的.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該提供學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)的時(shí)間，而不是盲目地加快教育進(jìn)度，削減水平面以下的部分或跳過(guò)它.

圖1 冰山模型示意圖

現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育理論與所謂的“顛倒教學(xué)法”背道而馳.后者將數(shù)學(xué)家的結(jié)果作為教學(xué)的起點(diǎn)，用快速、反向的方式直接呈現(xiàn)結(jié)果，繞開(kāi)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，由此導(dǎo)致一種機(jī)械式的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，即通過(guò)大量的重復(fù)性練習(xí)達(dá)到機(jī)械記憶.雖然這種為達(dá)到自動(dòng)化而進(jìn)行的練習(xí)是需要的，但有局限性，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育則是其替代物.現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育遵循活動(dòng)性原則、現(xiàn)實(shí)性原則、水平原則、融入性原則(intertwinement)、內(nèi)部活動(dòng)性原則、引導(dǎo)性原則,其特點(diǎn)表現(xiàn)為：學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是有意義的情境；提供非形式化策略和不斷數(shù)學(xué)化的空間；不同內(nèi)容分支的整合；互動(dòng)；提供學(xué)生自主建構(gòu)的空間(Treffers, 1987).現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中的“現(xiàn)實(shí)”一詞來(lái)源于荷蘭語(yǔ)“zich realiseren”，表示實(shí)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)到、 想象等,可以有不同理解，如教育實(shí)踐中的可能性；與現(xiàn)實(shí)生活(現(xiàn)實(shí)世界、幻想世界、數(shù)學(xué)世界)有關(guān)；對(duì)學(xué)生是有意義的.與現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育相關(guān)的四個(gè)概念是: 有指導(dǎo)的再創(chuàng)造、教學(xué)現(xiàn)象、水平和豎直的數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)模型.其中數(shù)學(xué)化可用圖2表示：

圖2 現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)化

數(shù)學(xué)化有水平數(shù)學(xué)化和豎直數(shù)學(xué)化，課程設(shè)計(jì)者和數(shù)學(xué)家們可能關(guān)注的重心不同，有些課程更多關(guān)注水平數(shù)學(xué)化，但對(duì)垂直數(shù)學(xué)化關(guān)注不夠，這是一個(gè)損失.數(shù)學(xué)模型也有四種不同水平：情境化、指向性、一般化、形式化.課程設(shè)計(jì)中的很多問(wèn)題是人為設(shè)計(jì)的，有時(shí)是不自然、不真實(shí)的，但課程實(shí)踐并不意味著一定以真實(shí)生活中的問(wèn)題出現(xiàn).現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中的“現(xiàn)實(shí)”不是真實(shí)的生活，但它是“體驗(yàn)真實(shí)、有意義的，貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí).

2.3 德國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中的過(guò)程維度

來(lái)自德國(guó)的Gabriele教授介紹了德國(guó)的國(guó)家數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)和能力目標(biāo).德國(guó)的國(guó)家數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)是教育標(biāo)準(zhǔn)而不是教學(xué)大綱，是學(xué)生在本教學(xué)水平結(jié)束時(shí)應(yīng)達(dá)到的知識(shí)和技能的描述，是要達(dá)到的能力目標(biāo)，不是與內(nèi)容相關(guān)的目標(biāo).而教學(xué)大綱是規(guī)范性描述，是學(xué)生將要學(xué)到的內(nèi)容.

德國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的框架分為三個(gè)維度：過(guò)程維度、內(nèi)容維度、期望水平(難度).過(guò)程維度中涉及六大能力：推理與證明、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)用數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)符號(hào)和形式以及技術(shù)的使用、數(shù)學(xué)交流.內(nèi)容維度涉及數(shù)、測(cè)量、空間和形式、函數(shù)關(guān)系、數(shù)據(jù)和機(jī)會(huì).期望水平是眾所周知的PISA中的分類，最低水平是再現(xiàn)，第二水平是建立聯(lián)系，第三水平是概括與反思.以下是過(guò)程維度中六種能力的不同期望水平.

(1)推理與證明能力

這個(gè)能力的三個(gè)不同期望水平分別是：最低水平是進(jìn)行常規(guī)論證，如借助已知事實(shí)，基于計(jì)算基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)單判斷.第二水平是基于不止一步的推證，理解和發(fā)展論證.第三水平是借助不同標(biāo)準(zhǔn)(如廣度和一致性)運(yùn)用、解釋和發(fā)展復(fù)雜論證.如果完成問(wèn)題只需一步，則處于最低水平，一旦超出一步，則處于第二水平或第三水平.例如：

“三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和總能被3整除”.這個(gè)判斷是否正確？請(qǐng)給出至少兩種證明方法.

以第二水平為例，對(duì)應(yīng)的5種不同解法可以是：1. 運(yùn)用具體例子.如3、4、5，(4-1)+4+(4+1)=4+4+4=3·4，其結(jié)果能被3整除.2. 代數(shù)方法.設(shè)n是第一個(gè)自然數(shù)，則(n-1)+n+(n+1)=3n，其結(jié)果被3整除.3. 與內(nèi)容相關(guān)的方法(涉及內(nèi)容相關(guān)的概念理解、隱含的變量).三個(gè)數(shù)中必有一個(gè)數(shù)能被3整除，另外兩個(gè)數(shù)中一個(gè)余數(shù)是1，另一個(gè)是2，故余數(shù)1+2=3，這三個(gè)數(shù)的和可以被3整除.4. 迭代的方法(完全歸納法的前身).1+2+3=6，6能被3整除；2+3+4=9=6+3，也能被3整除，因此，和總是增加3并且還能被3整除.5. 可視化方法.把三個(gè)數(shù)字想象成點(diǎn)陣或階梯的模式，通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)或階梯形成三組相同高度的點(diǎn)陣或階梯.如圖3所示.

圖3 數(shù)字點(diǎn)陣或數(shù)字階梯

(2)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力

這個(gè)能力的三個(gè)不同期望水平分別是：最低水平是識(shí)別和選擇一個(gè)常規(guī)方法，如通過(guò)畫(huà)一條輔助線來(lái)解決一個(gè)簡(jiǎn)單任務(wù).第二水平是通過(guò)多步驟的策略方法解決問(wèn)題.第三水平是通過(guò)區(qū)分不同解法，概括、反思等構(gòu)建最優(yōu)解題策略.

以最低水平為例.先看如圖4所示的計(jì)算陰影區(qū)域面積的問(wèn)題，其中正方形邊長(zhǎng)為a，圖中有兩個(gè)半圓和一條對(duì)角線.

處于最低水平的一個(gè)做法是，做一條如圖5所示的輔助線，計(jì)算新構(gòu)造三角形的面積，用半圓的面積減去三角形的面積再除以2.

圖4 計(jì)算陰影區(qū)域面積

圖5 添加輔助線

(3)數(shù)學(xué)建模能力

這個(gè)能力的三個(gè)不同期望水平分別是：最低水平是使用熟悉的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型，直接實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換.第二水平是能夠?qū)σ粋€(gè)不清晰界定的現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題進(jìn)行多步驟建模，找出一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，認(rèn)識(shí)到在原始現(xiàn)實(shí)世界中解釋結(jié)果的困難.第三水平是在一個(gè)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界中建立一個(gè)模型，定義假設(shè)、變量，限制條件，……檢查和評(píng)估不同的模型.

下面看一個(gè)第三水平的例子：

Stein先生住在距離盧森堡20公里的特里爾(一個(gè)非常小的國(guó)家，獨(dú)立的歐洲國(guó)家).他開(kāi)著自己的大眾高爾夫去盧森堡加滿汽油，有一個(gè)加油站就在兩國(guó)的邊境.在盧森堡，汽油的價(jià)格僅為每升1.05歐元，而在特里爾汽油價(jià)格為每升1.30歐元.問(wèn)：Stein先生是否值得去盧森堡給車加油？說(shuō)出你的理由.

此問(wèn)題的解決很明顯依賴于汽車油缸的大小以及耗油量.假設(shè)已經(jīng)知道大眾高爾夫耗油不多，大約是8升/100公里，我們還需知道油缸容量.如果只考慮油費(fèi)的差異，這個(gè)問(wèn)題當(dāng)然是有意義的，但再考慮時(shí)間成本，或考慮環(huán)境保護(hù)等，這個(gè)問(wèn)題就復(fù)雜了.

(4)運(yùn)用數(shù)學(xué)表征能力

這包括餅圖、直方圖、函數(shù)圖像等的表征.最低水平是使用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)表征.第二水平是對(duì)于給定的表征或變化的表征的解釋.第三水平是理解不熟知的數(shù)學(xué)表征，發(fā)展數(shù)學(xué)表征并做出評(píng)估.例如：下題反映了在同一個(gè)任務(wù)中通過(guò)不同的問(wèn)題考察不同的水平.

分析過(guò)定點(diǎn)的不同一次函數(shù)圖像(如圖6).問(wèn)題：①所有直線都有的共同特征？(最低水平)；②給出每個(gè)一次函數(shù)圖像的函數(shù)表達(dá)式.(第二水平)；③哪個(gè)函數(shù)的圖像與x軸平行?(最低水平).

圖6 過(guò)定點(diǎn)的不同一次函數(shù)的圖像

(5)數(shù)學(xué)符號(hào)、形式和技術(shù)使用能力

三個(gè)不同期望水平分別是，最低水平是直接使用公式和符號(hào)來(lái)解決數(shù)學(xué)任務(wù)，使用計(jì)算器等數(shù)學(xué)工具計(jì)算.第二水平是多步驟使用數(shù)學(xué)程序，在情境中使用變量、方程、函數(shù)并有意識(shí)的使用技術(shù)工具.第三水平是復(fù)雜程序，對(duì)解決方案過(guò)程的評(píng)估，對(duì)數(shù)學(xué)工具的可能性和局限性進(jìn)行反思.

(6)數(shù)學(xué)交流能力

包括理解數(shù)學(xué)文本，進(jìn)行數(shù)學(xué)的口頭表達(dá)和數(shù)學(xué)報(bào)告.最低水平是充分描述簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)事實(shí)，能識(shí)別和選擇簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)文本中的信息和數(shù)據(jù).第二水平是可以理解并多步驟地描述數(shù)學(xué)事實(shí)，能獨(dú)立識(shí)別和選取數(shù)學(xué)較長(zhǎng)文本中的信息和數(shù)據(jù).第三水平是能夠?qū)σ粋€(gè)復(fù)雜論證、復(fù)雜數(shù)學(xué)文本進(jìn)行連貫的表達(dá)，對(duì)其中的事實(shí)和數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)估和比較.

3 基于核心素養(yǎng)的中國(guó)數(shù)學(xué)課程與教材改革及國(guó)際研究進(jìn)展的啟發(fā)

來(lái)自中國(guó)臺(tái)灣勤益科技大學(xué)的劉柏宏教授和香港大學(xué)的莫雅慈副教授分別介紹了臺(tái)灣和香港的數(shù)學(xué)課程教材情況.

中國(guó)臺(tái)灣將自2019年起實(shí)施“十二年國(guó)民基本教育課程綱要”，數(shù)學(xué)課程綱要中提出數(shù)學(xué)除了是一種語(yǔ)言與一種規(guī)律科學(xué)之外，數(shù)學(xué)更是一種人文素養(yǎng)，這對(duì)數(shù)學(xué)教材以及教學(xué)都將是極大的挑戰(zhàn).中國(guó)臺(tái)灣學(xué)生在PISA和TIMSS測(cè)試中有良好表現(xiàn)卻呈現(xiàn)M型化，其中一個(gè)原因是中國(guó)臺(tái)灣學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)成績(jī)往往不成正比.為此，高中數(shù)學(xué)課程中可以滲透數(shù)學(xué)的人文素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

中國(guó)香港目前正在施行2009年的高中數(shù)學(xué)課程，比較新課程施行前、后高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中習(xí)題類型的變化，發(fā)現(xiàn)研究涉及的19,711道問(wèn)題中的90%都是常規(guī)問(wèn)題，教科書(shū)并沒(méi)有為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維提供足夠的努力.教師需要根據(jù)常規(guī)問(wèn)題幫助學(xué)生創(chuàng)建非常規(guī)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

此外，中國(guó)大陸共17位專家學(xué)者分別就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)課程與教材問(wèn)題進(jìn)行了報(bào)告和研討.東北師范大學(xué)史寧中教授“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)教科書(shū)改革”的報(bào)告，從本世紀(jì)課程改革的變化、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂、對(duì)高中數(shù)學(xué)教科書(shū)的要求等三個(gè)方面，強(qiáng)調(diào)了目前高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的兩大主要變化：調(diào)整課程結(jié)構(gòu)與內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).人民教育出版社章建躍編審“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何課程教材的變革”的報(bào)告，從課程目標(biāo)的發(fā)展、課程內(nèi)容和課時(shí)的變化、對(duì)傳統(tǒng)處理方式的分析與反思、繼承基礎(chǔ)上的發(fā)展與創(chuàng)新、幾何課程改革的未來(lái)之路五個(gè)方面說(shuō)明了立體幾何課程教材的變革.北京師范大學(xué)保繼光教授“高中數(shù)學(xué)教材(北師大版)的介紹”的報(bào)告，包括對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)、北師版教材修訂的原則等.西南大學(xué)宋乃慶教授“挖掘課程教材中的數(shù)學(xué)文化、促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展”的報(bào)告，包括數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課程教材中的體現(xiàn)、數(shù)學(xué)文化促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的途徑等.北京航空航天大學(xué)李尚志教授“核心素養(yǎng)滲透數(shù)學(xué)課程教學(xué)”的報(bào)告，通過(guò)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)，說(shuō)明核心素養(yǎng)可以在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行滲透.南京師范大學(xué)喻平教授“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)與學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)”的報(bào)告，對(duì)基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)以及學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)進(jìn)行了解讀和構(gòu)想.東北師范大學(xué)高夯教授“關(guān)于CAP課程的思考”的報(bào)告，包括大眾教育與精英教育、中國(guó)大學(xué)先修課程CAP以及微積分課程的實(shí)施情況等.人民教育出版社李海東編審“編寫融合信息技術(shù)的數(shù)學(xué)教材”的報(bào)告，含信息技術(shù)給數(shù)學(xué)教材帶來(lái)的變化、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教材融合的原則、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教材融合的模式等內(nèi)容.內(nèi)蒙古師范大學(xué)代欽教授“清末民國(guó)時(shí)期中學(xué)幾何作圖教科書(shū)”的報(bào)告，對(duì)清末民國(guó)時(shí)期教科書(shū)中的幾何作圖進(jìn)行了介紹.華東師范大學(xué)吳穎康副教授“學(xué)校數(shù)學(xué)課程內(nèi)容發(fā)展主線初探”，從學(xué)習(xí)進(jìn)階的角度闡述了高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線研究的初步成果以及未來(lái)構(gòu)想.北京師范大學(xué)郭玉峰教授“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教材習(xí)題的表現(xiàn)研究：以‘函數(shù)’為例”，對(duì)四個(gè)不同版本高中數(shù)學(xué)教材“函數(shù)”習(xí)題所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)類型及其水平進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)量化研究.華南師范大學(xué)何小亞教授“學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難與課程、教學(xué)對(duì)策”的報(bào)告，介紹了數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)、數(shù)學(xué)原理的獲得和數(shù)學(xué)證明的認(rèn)知過(guò)程中學(xué)生接受假設(shè)的認(rèn)知困難，并從數(shù)學(xué)教學(xué)和教材編寫角度提出了相應(yīng)對(duì)策.江蘇省教育科學(xué)研究院李善良教授“教科書(shū)：從‘教’材到‘學(xué)’材——高中數(shù)學(xué)教科書(shū)編寫思考”的報(bào)告，對(duì)教科書(shū)做什么、是什么、怎么寫等進(jìn)行了探討.北京師范大學(xué)曹一鳴教授“高中數(shù)學(xué)課程信息技術(shù)使用的國(guó)際比較和分析”的報(bào)告，編碼分析了不同國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于信息技術(shù)的使用情況.人民教育出版社副編審龍正武“我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)中的向量?jī)?nèi)容”的報(bào)告，包含向量?jī)?nèi)容進(jìn)入我國(guó)數(shù)學(xué)課堂的歷程、其他國(guó)家現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中向量?jī)?nèi)容的有關(guān)要求、目前中學(xué)向量教學(xué)中存在的問(wèn)題以及教材修訂中應(yīng)該注意的問(wèn)題等.北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校張鶴教研員“從教學(xué)實(shí)踐需求看數(shù)學(xué)教材改革”的報(bào)告，對(duì)知識(shí)邏輯、思維邏輯以及教學(xué)活動(dòng)中所承載的教學(xué)邏輯，借助具體案例進(jìn)行了展示，提出數(shù)學(xué)教材改革要明確知識(shí)邏輯的確立，關(guān)注思維邏輯的呈現(xiàn).深圳中學(xué)郭慧清老師“函數(shù)概念及其抽象過(guò)程”的報(bào)告，分析了函數(shù)概念的建立過(guò)程，以及如何在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的問(wèn)題.

首屆“中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教材國(guó)際論壇”，聚焦核心素養(yǎng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教材改革的最新進(jìn)展，反映了數(shù)學(xué)課程教材研究和改革的最新動(dòng)態(tài).而了解和借鑒國(guó)際相關(guān)問(wèn)題的研究進(jìn)展和經(jīng)驗(yàn)，可以更好的促進(jìn)我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材的發(fā)展與創(chuàng)新.

3.1 數(shù)學(xué)課程目標(biāo)從“雙基”到“四基”再到“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，是時(shí)代發(fā)展的要求，與國(guó)際上數(shù)學(xué)課程的發(fā)展趨勢(shì)是一致的

從美國(guó)、荷蘭、德國(guó)數(shù)學(xué)課程與教材最新進(jìn)展的報(bào)告看，我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的轉(zhuǎn)變與國(guó)際數(shù)學(xué)課程最新發(fā)展的趨勢(shì)有某些共通之處.主要表現(xiàn)在：

第一．?dāng)?shù)學(xué)課程目標(biāo)關(guān)注思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、情感態(tài)度價(jià)值觀.

我國(guó)最新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).“雙基”“四基”課程目標(biāo)突出了不同時(shí)代發(fā)展數(shù)學(xué)課程關(guān)注的重心，實(shí)際而言，思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、情感態(tài)度價(jià)值觀的課程目標(biāo)是逐步發(fā)展和完善的.我國(guó)數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)，更加突出了數(shù)學(xué)學(xué)科特征，表明我國(guó)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的特色和特點(diǎn).

美國(guó)數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)踐以及數(shù)學(xué)傾向(或思維習(xí)慣)，荷蘭數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)重視學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程以及強(qiáng)調(diào)學(xué)生在經(jīng)歷中獲得經(jīng)驗(yàn)以便建構(gòu)起數(shù)學(xué)理解，德國(guó)數(shù)學(xué)課程建立過(guò)程維度、內(nèi)容維度、期望水平的三維架構(gòu)，這些在一定程度上反映了不同國(guó)家數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)、能力以及情感態(tài)度價(jià)值觀的關(guān)注.以德國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)課程2001年給出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義為例：

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是個(gè)人在不同情境下用公式表述、使用和解釋數(shù)學(xué)的能力.它包括數(shù)學(xué)推理能力和使用數(shù)學(xué)概念、過(guò)程、事實(shí)和工具來(lái)描述、解釋以及預(yù)測(cè)現(xiàn)象的能力.它有助于個(gè)體作為一個(gè)關(guān)心社會(huì)、善于思考的建設(shè)性公民來(lái)識(shí)別數(shù)學(xué)在世界中所起作用及做出有根據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和決定.

這個(gè)定義參考了PISA關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義，是圍繞數(shù)學(xué)在人們生活中的廣泛應(yīng)用，將數(shù)學(xué)知識(shí)和技能運(yùn)用到實(shí)際的能力，而不是僅僅在學(xué)校課程中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能.此外，數(shù)學(xué)素養(yǎng)還意味著在各種情況下形成和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，以及這樣做的傾向，這往往依賴于個(gè)人特征，如自信和好奇心.可見(jiàn)，這個(gè)定義中一定程度包含了能力、自信和好奇等個(gè)性品質(zhì)的成分.

第二，如何真正貫徹落實(shí)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是各國(guó)數(shù)學(xué)課程教材改革關(guān)注的問(wèn)題

國(guó)際上各國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材大致10年左右要調(diào)整或重新修訂，而實(shí)踐是檢驗(yàn)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材落實(shí)情況的重要方面.

美國(guó)數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)過(guò)程性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主建構(gòu)，強(qiáng)調(diào)有效教學(xué)實(shí)踐等，這些在很大程度上依賴于教師.前面也提到，美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材幾乎并沒(méi)有在數(shù)學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)傾向(或思維習(xí)慣)方面有所體現(xiàn)，美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)只是關(guān)注了有效教學(xué)的概念，而并沒(méi)有具體課程的教學(xué)支持.這是貫徹落實(shí)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中存在的很大問(wèn)題.荷蘭的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育突出說(shuō)明了機(jī)械式的數(shù)學(xué)教育是顛倒教學(xué)法的，只追求冰山上的一角而不顧及或忽略冰下的活動(dòng)不是真正的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育.德國(guó)數(shù)學(xué)課程從內(nèi)容維度、過(guò)程維度、不同期望水平搭建的課程框架，也反映德國(guó)數(shù)學(xué)課程關(guān)注課程的具體落實(shí).

我國(guó)最新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展具有階段性和連續(xù)性，其達(dá)成是循序漸進(jìn)的.數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的貫徹落實(shí)關(guān)鍵是教師因素，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，其在教材及教學(xué)實(shí)踐中的落實(shí)更是長(zhǎng)期的、需要深入研究和實(shí)踐的課題.

3.2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵、要素構(gòu)成、水平劃分的框架結(jié)構(gòu)需要切實(shí)可行

荷蘭現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)化包括水平數(shù)學(xué)化和豎直數(shù)學(xué)化，即從現(xiàn)實(shí)情境經(jīng)水平數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，再經(jīng)豎直數(shù)學(xué)化，構(gòu)建數(shù)學(xué)的對(duì)象、結(jié)構(gòu)和方法，此過(guò)程反過(guò)來(lái)也適用(圖2).我國(guó)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型，一定程度反映了數(shù)學(xué)化的過(guò)程，其中數(shù)學(xué)抽象既包括水平數(shù)學(xué)化的過(guò)程，也包括豎直數(shù)學(xué)化的過(guò)程，說(shuō)明了數(shù)學(xué)抽象逐級(jí)性的特點(diǎn).此外，豎直數(shù)學(xué)化也涉及到數(shù)學(xué)推理，通過(guò)歸納推理和演繹推理等數(shù)學(xué)的推演，構(gòu)建數(shù)學(xué)的對(duì)象、結(jié)構(gòu)和方法.進(jìn)一步地，借助數(shù)學(xué)內(nèi)部的研究成果，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.這個(gè)過(guò)程，在德國(guó)的數(shù)學(xué)課程中有類似的表現(xiàn)，即通過(guò)數(shù)學(xué)建模理解現(xiàn)實(shí)世界、通過(guò)推理和證明理解數(shù)學(xué)的內(nèi)部世界、通過(guò)問(wèn)題解決發(fā)展數(shù)學(xué)直覺(jué)，這在德國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的六個(gè)一般能力是有體現(xiàn)的.

需要指出的是，德國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中過(guò)程維度的六個(gè)一般能力都有明確的水平層次劃分，并給出了具體的例子進(jìn)行說(shuō)明.同樣，我國(guó)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、要素構(gòu)成、層次水平劃分也給出了闡釋，并有具體案例說(shuō)明層次水平，這無(wú)疑為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)實(shí)踐中的落實(shí)提供了很好的理論支持和指導(dǎo).盡管，這個(gè)框架結(jié)構(gòu)還需要進(jìn)一步的研究，層次水平的劃分的依據(jù)以及不同層次水平的界限尚欠明確等，但從國(guó)際視角看，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)課程目標(biāo)是培養(yǎng)未來(lái)人才的需要，與當(dāng)今國(guó)際數(shù)學(xué)課程的發(fā)展是一致的.未來(lái)我們需要進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的框架結(jié)構(gòu)，從理論和實(shí)踐的角度進(jìn)行檢驗(yàn)和論證，使得框架結(jié)構(gòu)切實(shí)可行并真正指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.

總之，國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革和發(fā)展的經(jīng)驗(yàn)，可以有效促進(jìn)我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材的發(fā)展與創(chuàng)新.不同國(guó)家數(shù)學(xué)課程教材的不同視角，可以幫助我們看到世界數(shù)學(xué)課程教材改革和發(fā)展的方向及規(guī)律.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角看不同國(guó)家的數(shù)學(xué)課程教材，對(duì)于我們更好地研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)以及落實(shí)這一課程目標(biāo)也將起到積極的作用.我們?cè)诒３肿陨韨鹘y(tǒng)和優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，立足國(guó)際視野，為建設(shè)世界一流中學(xué)數(shù)學(xué)課程和教材而努力.