歐拉坐標(biāo)系下柔性輪對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對輪軌力的影響

崔 瀟，姚建偉，胡曉依，孫麗霞，常崇義

(1.中國鐵道科學(xué)研究院，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團有限公司 鐵道科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展中心，北京 100081)

隨著世界鐵路運輸?shù)陌l(fā)展，車輛—軌道耦合動力學(xué)得到迅速發(fā)展。多體動力學(xué)由于其計算速度較快的優(yōu)勢，在車輛—軌道耦合動力學(xué)計算中使用廣泛。

1996年，Brown[1]對柔性轉(zhuǎn)動軸的慣性力問題進行了研究，基于多體動力學(xué)對柔性旋轉(zhuǎn)軸的運動方程進行了重新推導(dǎo)，從而能夠計算非恒定角速度的工況。此后Brown和Shabana進一步完成了基于拉格朗日方法的任意截面旋轉(zhuǎn)歐拉梁的計算[2]。Meinders[3]和Meinke[4]基于Brown和Shabana的工作，建立了車輛—軌道動力學(xué)模型。將輪對考慮為柔性時可以更真實地反應(yīng)輪軌實際接觸關(guān)系，使車輛—軌道耦合動力學(xué)研究結(jié)果更符合實際[5]。但是這類基于拉格朗日坐標(biāo)系的柔性輪對模型，由于計算速度的限制，無法考慮柔性輪對的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。

Baeza[6]在考慮輪對繞軸線轉(zhuǎn)動的前提下，采用了歐拉坐標(biāo)系表示輪對模態(tài)，推導(dǎo)了相應(yīng)的計算公式，計算了輪對通過扁疤時的車輛—軌道耦合動力學(xué)狀態(tài)。Fayos[7]采用歐拉坐標(biāo)系表示模態(tài)以考慮陀螺效應(yīng)，并將該方法應(yīng)用到了圓柱體和輪對上。但均未提出充分考慮柔性輪對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對其他部件剛性位移計算影響的耦合計算方法。Nielsen[8]使用旋轉(zhuǎn)輪對模型，對接觸力/變形量的頻率響應(yīng)函數(shù)進行了研究，并對頻率響應(yīng)函數(shù)峰值隨輪對轉(zhuǎn)動速度變化的規(guī)律進行了總結(jié)。但僅研究了柔性旋轉(zhuǎn)輪對的固有頻率分離特性，尚未綜合考慮車輛—軌道整體系統(tǒng)對輪軌力響應(yīng)頻率分離的影響。

本文建立剛?cè)狁詈宪囕v多體動力學(xué)方程，實現(xiàn)歐拉坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對與拉格朗日坐標(biāo)系下車輛動力學(xué)方程耦合的具體計算方法，計算了歐拉坐標(biāo)系下的柔性輪對頻率響應(yīng)函數(shù)，并對車輛—軌道整體系統(tǒng)下輪軌力響應(yīng)頻率分離現(xiàn)象進行了分析，進而研究了采用旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對對車輛—軌道系統(tǒng)輪軌間相互作用力的影響。

1 剛?cè)狁詈宪囕v—軌道系統(tǒng)多體動力學(xué)模型

1.1 拉格朗日坐標(biāo)系下的多體動力學(xué)模型

剛?cè)狁詈宪囕v—軌道系統(tǒng)多體動力學(xué)整體模型主要包括車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)，如圖1所示。其中，車輛系統(tǒng)包括車體、構(gòu)架、輪對以及懸掛裝置；軌道系統(tǒng)包括鋼軌、扣件系統(tǒng)和軌道板等。

圖1 剛?cè)狁詈宪囕v—軌道系統(tǒng)計算模型

模態(tài)縮聚后，無約束情況下剛?cè)狁詈宪囕v—軌道系統(tǒng)多體動力學(xué)計算公式[9]為

(1)

式中：下標(biāo)r表示與剛性相關(guān)的量；下標(biāo)f表示與柔性相關(guān)的量；M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；u為拉格朗日坐標(biāo)系下的位移矢量；Fv為科氏力與離心力的合力矢量；Fe為廣義外力矢量。

對于式(1)，在考慮柔性輪對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的情況下直接計算，Mfr中柔性部分相關(guān)量的計算量較大。因此，將式(1)展開為等價形式式(2)和式(3)，并將式(3)從拉格朗日坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到歐拉坐標(biāo)系計算，再結(jié)合式(2)求解，可以大幅減少計算量。

(2)

(3)

1.2 歐拉坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對模型

在歐拉坐標(biāo)下對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對(既考慮柔性、又考慮旋轉(zhuǎn))計算公式進行推導(dǎo)時，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)相關(guān)量可以采用線性方式進行描述，從而使其在多體動力學(xué)在線計算前完成計算，因此能夠克服拉格朗日坐標(biāo)系下計算量大的困難，并能將歐拉坐標(biāo)系下推導(dǎo)的柔性輪對計算公式，與上一節(jié)推導(dǎo)的整體計算公式進行耦合，從而能夠較好處理旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的建模問題。

Shabana[2]等將式(3)表示為如式(4)所示的拉格朗日坐標(biāo)系下的輪對模型，為

(4)

式中：ω為柔性輪對在轉(zhuǎn)動后坐標(biāo)系中的角速度；W為轉(zhuǎn)角系數(shù)矩陣；u0為柔性輪對未變形狀態(tài)下的位置；θ為柔性輪對轉(zhuǎn)角；N為形函數(shù)矩陣；ρ為柔性輪對材料密度；v為車速。

當(dāng)柔性輪對采用角速度ω=(0Ω0)T時(其中Ω為繞輪對車軸轉(zhuǎn)動的角速度)，式(4)中的Sω，Sωω，Sω0分別簡化為

Sω=ΩJ1

(5)

Sωω=-Ω2H1

(6)

Sω0=-Ω2L1

(7)

其中，

式中：J1為拉格朗日坐標(biāo)系下陀螺效應(yīng)相關(guān)矩陣；H1為拉格朗日坐標(biāo)系下對流相關(guān)矩陣；L1為拉格朗日坐標(biāo)系下離心力相關(guān)矢量；Φ為模態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣；rL為拉格朗日坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)；J0為陀螺效應(yīng)基本矩陣；H0為對流基本矩陣。

使用正則振型將式(4)中Mff對角化，并將拉格朗日坐標(biāo)系下的式(4)轉(zhuǎn)換為歐拉坐標(biāo)系下的式(8)[3]。

(8)

F(rE,t)=α(rE)g(t)

ΦT(rE)=ΦTN(rE)

式中：sE為歐拉坐標(biāo)系下的模態(tài)坐標(biāo)；G為歐拉坐標(biāo)系下陀螺效應(yīng)對偶矩陣；J2為歐拉坐標(biāo)系下陀螺效應(yīng)相關(guān)矩陣；H2為歐拉坐標(biāo)系下對流相關(guān)矩陣；L2為歐拉坐標(biāo)系下離心力相關(guān)矢量；P為歐拉坐標(biāo)系下外力相關(guān)矢量；Φ(rE)為rE位置處的形函數(shù)矩陣；N(rE)為rE位置處的形函數(shù)矩陣；F(rE,t)為旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對所受的外力，可以表示為2部分的乘積，分別為與位置相關(guān)的α(rE)以及與時間相關(guān)的g(t)；K為對角陣，且對角線上的元素為輪對固有頻率的平方。

J2，H2，P，L2，G無法通過多體動力學(xué)商用軟件直接計算，采用有限元方法計算得

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：Wt為數(shù)值積分權(quán)系數(shù)；|JF|為雅可比行列式；h為總單元總數(shù)；i為單元序號；j為積分點序號。

2 模型求解

以上建立考慮輪對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，在求解上存在2個難點：一是如何計算歐拉坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對，其計算涉及單元層級，無法通過商用有限元軟件直接計算；二是已經(jīng)解耦的式(2)處于拉格朗日坐標(biāo)系下，而式(6)處于歐拉坐標(biāo)系下，如何重新耦合2個處于不同坐標(biāo)系下的公式，從而進行計算。

2.1 歐拉坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對求解

采用OpenSees開源有限元軟件，添加歐拉坐標(biāo)系下單元級計算函數(shù)，二次開發(fā)歐拉坐標(biāo)下旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的計算功能。主要利用OpenSees軟件中計算所涉及的Brick 3維實體單元類[10]和分析類。

在計算過程中，分析類主要起到總體控制的作用，調(diào)用FE_Element和Brick類，遍歷所有單元，并獲取每個單元計算的結(jié)果。然后，再對單元計算的結(jié)果進行組合，獲得全局下的計算結(jié)果。FE_Element和Brick類中需要添加2類計算功能：一類主要用于歐拉坐標(biāo)下計算旋轉(zhuǎn)柔性體所需的J2，H2，P，L2，G矩陣；另一類主要用于計算與柔性體相關(guān)的各類矩陣。通過以上的二次開發(fā)，能夠?qū)崿F(xiàn)歐拉坐標(biāo)系下的相關(guān)計算。

2.2 歐拉坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對與整體多體動力學(xué)系統(tǒng)耦合求解

通過式(8)計算出的歐拉坐標(biāo)系下模態(tài)坐標(biāo)sE，耦合求解時需要轉(zhuǎn)換為拉格朗日坐標(biāo)系下的模態(tài)坐標(biāo)sL，為

sL=BsE

(14)

Bk=

式中：B為歐拉坐標(biāo)系下柔性坐標(biāo)與拉格朗日坐標(biāo)系下模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣，它是1個分塊對角矩陣，除了對角線上的分塊對角矩陣，其余位置取值都為0；k為模態(tài)頻率序號；n為選取模態(tài)頻率的總數(shù)；θ為輪對轉(zhuǎn)角。

系統(tǒng)耦合求解的主要流程如下。

(1)獲取上一時間步輪對的外力，轉(zhuǎn)化為輪對在歐拉坐標(biāo)系下受到的彈性力；求解式(8)，計算歐拉坐標(biāo)系下的模態(tài)坐標(biāo)。

(2)使用式(14)，將歐拉坐標(biāo)系下的模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為拉格朗日坐標(biāo)系下的模態(tài)坐標(biāo)。

(3)將轉(zhuǎn)換后的模態(tài)坐標(biāo)結(jié)合式(2)進行求解。計算輪對所受的外力，進入下一時間步的流程(1)。

通過將輪對所受外力轉(zhuǎn)化到歐拉坐標(biāo)系，將旋轉(zhuǎn)輪對的歐拉坐標(biāo)系下的模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到拉格朗日坐下的模態(tài)坐標(biāo)，不僅可以使歐拉坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對計算與拉格朗日坐標(biāo)系下的整體多體動力學(xué)系統(tǒng)計算實現(xiàn)耦合，而且由于每一次計算都使用的是當(dāng)前步的模態(tài)坐標(biāo)，能夠在使用式(2)計算時，充分考慮輪對的柔性、旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，從而實現(xiàn)迭代計算。

3 計算分析

3.1 車輛—軌道系統(tǒng)參數(shù)

針對我國高速鐵路車輛—軌道系統(tǒng)，車輛模型參數(shù)采用我國某高速動車組基本參數(shù)，其中車輪直徑為0.86 m，踏面為LMA型；軌道模型參數(shù)選用某類型無砟軌道參數(shù)，軌枕間距為0.65 m，鋼軌廓形為CHN60，設(shè)1/40軌底坡。車輛—軌道系統(tǒng)模型部分參數(shù)見表1。為了避免鋼軌兩端引起的應(yīng)力波效應(yīng)，且考慮軌道扣件整體剛度及阻尼作用[11]，建立的軌道全長為100 m，車輛從40 m處開始運行，設(shè)運行初始位置為里程零點，共運行里程約為12 m。

表1 車輛—軌道系統(tǒng)模型部分參數(shù)

3.2 輪軌力頻率特性

選取車速為300 km·h-1，分別建立剛性輪對、無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對以及旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對模型。柔性輪對的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)是由柔性和旋轉(zhuǎn)共同引起的。剛性輪對只考慮輪對的旋轉(zhuǎn)，但并不考慮其柔性；無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對只考慮了柔性，但不考慮輪對繞車軸軸線的旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對既考慮了柔性又考慮了旋轉(zhuǎn)。對于剛性輪對和無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對，采用拉格朗日坐標(biāo)系下的模型；旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對則采用歐拉坐標(biāo)系下的模型。

對比分析這3種輪對建模條件下列車通過直線軌道時輪軌間相互作用情況。1位輪對輪軌間相互作用力對比結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同輪對建模條件下輪軌作用力

從圖2可以看出：在不同的輪對建模條件下，輪軌間作用力存在明顯差異；由于扣件系統(tǒng)的離散支撐作用，軌道存在固有的剛度不平順，輪軌間作用力隨之出現(xiàn)波動，剛性輪對通過直線軌道時，輪軌間作用力波動較小，主要存在單一頻率的周期性波動，其中輪軌垂向力平均值約為60 kN，波動幅值約為0.05 kN；無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對條件下，輪軌垂向力出現(xiàn)等幅周期性波動，幅值約為1 kN，并存在1個明顯的高頻周期性波動，幅值約0.3 kN；旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對條件下，輪軌垂向力波動情況相對復(fù)雜，存在多個主頻特征，且比無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的高頻波動更加劇烈；輪軌橫向力波動情況與輪軌垂向力類似；剛性輪對的輪軌縱向力基本為0；考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的柔性輪對波動明顯大于不考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)時，兩者存在不同相位，且無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的波動幅值基本為定值，而旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的波動幅值沒有明顯規(guī)律。

為了進一步研究輪軌作用力的波動規(guī)律，以輪軌垂向力為例，對這3種輪對建模條件下輪軌垂向力做頻譜分析，輸出頻率為5000 Hz。取車輛穩(wěn)定運行后里程為4～12 m的輪軌垂向力進行頻域分析，如圖3所示，頻率范圍取20～2 000 Hz。

圖3 輪軌垂向力頻域分析

柔性輪對本身的固有模態(tài)也對輪軌力有較大影響，因此需對無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對進行模態(tài)分析。其1，3，5階彎曲模態(tài)頻率分別為124.3，393.5，863.3 Hz，其振型如圖4所示。

從圖3可以看出如下結(jié)果。

(1)剛性輪對的輪軌垂向力存在約128.2 Hz的主頻，通過計算可知，該頻率與列車以300 km·h-1速度通過間距為0.65 m軌枕的激勵頻率相一致，且功率譜密度較小，該主頻不僅存在于剛性輪對的輪軌垂向力中，也存在于柔性輪對的輪軌垂向力中，但由于所占成分較少，在柔性輪對的功率譜中并不明顯。

圖4 無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對1，3，5階彎曲模態(tài)

(2)無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌垂向力存在3個主頻，分別為121.1，391.7，861.8 Hz，其中121.1 Hz主頻對應(yīng)的功率譜密度較大，這3個主頻分別與無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的3個彎曲模態(tài)頻率接近(如圖4所示)。由此可知，無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌垂向力主要出現(xiàn)了這3個模態(tài)頻率的疊加振動，即無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對通過直線軌道時，將不同程度地激起輪對的1，3，5階彎曲振動。

(3)旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌垂向力存在多個主頻，其中35.61 Hz低頻接近列車以300 km·h-1速度運行時輪對轉(zhuǎn)動1周的頻率，92.59和149.6 Hz頻率接近輪對1階彎曲模態(tài)頻率，377.5和420.2 Hz頻率接近輪對3階彎曲模態(tài)頻率，833.3和890.3 Hz頻率接近輪對5階彎曲模態(tài)頻率。

對于旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對而言，其固有模態(tài)特性還與其旋轉(zhuǎn)速度相關(guān)，可通過頻率響應(yīng)函數(shù)進行描述。分析時分別選取柔性輪對不旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)速度為193.8 rad·s-1即車速為300 km·h-1這2種工況。在車輪踏面名義滾動圓位置輸入垂向激勵，頻率范圍為0～2 500 Hz，獲取輪輞上某點垂向位移的響應(yīng)，輸出頻率為5 000 Hz，其0～1 200 Hz頻段的頻率響應(yīng)函數(shù)如圖5所示。

根據(jù)圖5可以看出：速度為0 km·h-1時，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的彎曲模態(tài)頻率與無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的一致，隨著速度的增加，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的彎曲模態(tài)頻率由1個分離為2個。由此推斷，由于旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對發(fā)生了頻率分離現(xiàn)象，輪軌垂向力的頻率也發(fā)生了頻率分離，且分離后頻率1個略大于分離前頻率、1個略小于分離前頻率；輪軌垂向力響應(yīng)的1 040 Hz頻率接近輪對1 043 Hz的固有頻率，且功率譜密度較大，表明旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對與鋼軌某固有頻率發(fā)生了共振。

圖5 柔性輪對頻率響應(yīng)函數(shù)

為進一步研究車速對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對輪軌垂向力頻率分離現(xiàn)象的影響，利用剛?cè)狁詈宪囕v—軌道系統(tǒng)動力學(xué)模型分析剛體輪對、無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對和旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的主頻特征。不同車速下3種輪對的輪軌垂向力主頻如圖6所示，圖中f1，f3和f5分別為無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對1，3，5階彎曲模態(tài)頻率；f11和f12分別為旋轉(zhuǎn)效應(yīng)旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對1階彎曲模態(tài)頻率分離后的2個頻率，f31和f32，f51和f52分別對應(yīng)3，5階彎曲模態(tài)頻率分離后的2個頻率。

圖6 輪軌垂向力主頻

從圖6可以看出：剛性輪對的輪軌垂向力主頻與軌枕間距直接相關(guān)，當(dāng)軌枕間距為定值時，其隨車速線性增加；無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌垂向力主頻不隨車速改變；旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌垂向力隨車速增加時，其主頻分離現(xiàn)象更加明顯，分離后這2個頻率的差值隨車速的增加而增大；當(dāng)車速大于350 km·h-1時，1，3，5階彎曲模態(tài)頻率的分離頻率差值在50 Hz以上。

因此，在研究車輛—軌道系統(tǒng)高速輪軌動態(tài)響應(yīng)問題時，采用考慮旋轉(zhuǎn)特性的柔性輪對格外重要。此外，本節(jié)建立的軌道模型并未存在軌道幾何不平順，但當(dāng)旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對通過該區(qū)段時仍引起了多個固有頻率振動的疊加，表明對于新建或新修高速線路，柔性輪對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)易引起直線軌道與輪對1，3，5階彎曲模態(tài)分離后頻率相對應(yīng)的輪軌垂向力。

3.3 周期性軌道不平順激勵下輪軌力響應(yīng)

由前文可知，不同于剛性輪對和無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對輪軌垂向力在1 040 Hz頻率附近出現(xiàn)了功率譜密度較大的主頻，該主頻與輪對1 043 Hz的固有頻率接近。為了進一步研究該頻率對車輛—軌道系統(tǒng)高速輪軌力的影響，建立與該頻率相對應(yīng)的周期性軌道不平順模型，以車速300 km·h-1為例，軌道不平順波長設(shè)為80 mm?？紤]到鋼軌表面出現(xiàn)0.02 mm周期性軌道不平順時需要進行打磨，因此將軌道不平順設(shè)為0.02 mm幅值的簡諧波，從里程5 m處開始設(shè)置。同時，考慮在軌道平順區(qū)段輪軌力存在一定波動(見圖2)，因此，將軌道不平順和平順區(qū)段的結(jié)果進行對比，獲得3種輪對建模條件下軌道不平順區(qū)段輪軌作用力，如圖7所示。

為了更加清楚地說明柔性旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響，計算周期性軌道不平順條件下無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對和旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌力與剛體輪對之間的差值，分別用“柔—剛”和“柔轉(zhuǎn)—剛”表示，結(jié)果如圖8所示。

結(jié)合圖7和圖8可以看出：在軌道不平順區(qū)段，輪軌力隨軌枕位置出現(xiàn)周期性波動，在軌枕附近輪軌力振動較大，在2軌枕間振動較小，輪軌力振動幅值與軌枕位置之間存在相位差，其中輪軌垂向力波動對軌枕附近鋼軌沖擊較大，最大幅值約為40 kN；柔性輪對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對輪軌垂向力和橫向力的影響不明顯，考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)時與剛體輪對的差值略大于忽略旋轉(zhuǎn)效應(yīng)；輪軌縱向力受柔性輪對旋轉(zhuǎn)效應(yīng)影響較明顯，特別是當(dāng)軌道出現(xiàn)短波不平順時，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌縱向力高頻振動更劇烈，在波長為80 mm的軌道不平順作用下，相比于剛性輪對基本為零的輪軌縱向力和無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對輪軌縱向力約0.1 kN的振幅，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對輪軌縱向力的最大波動峰峰值到達了1.8 kN。因此，對于研究高速鐵路系統(tǒng)輪軌短波病害問題時，輪對建模應(yīng)考慮其旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。

圖7 周期性軌道不平順區(qū)段輪軌作用力

為了研究柔性輪對輪軌動態(tài)響應(yīng)對應(yīng)的主頻對車輛—軌道系統(tǒng)輪軌力的影響，分別建立與輪對1，3，5階彎曲模態(tài)頻率和1 043 Hz主頻相對應(yīng)的周期性軌道不平順模型，其波長分別為670.0，211.8，96.5和80.0 mm；輪對模型既考慮柔性，又考慮旋轉(zhuǎn)，車速仍設(shè)為300 km·h-1，得到不同主頻下旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對輪軌力，如圖9所示。

由圖9可以看出：隨著軌道幾何不平順波長的減小，列車通過不平順區(qū)段頻率的增加，輪軌垂向力和橫向力的波動呈上升趨勢，而輪軌縱向力波動的趨勢不明顯，其主要隨軌枕位置波動。值得注意的是：在80 mm波長軌道幾何不平順情況下，輪軌垂向力和橫向力出現(xiàn)了隨軌枕位置里程波動的時大時小的“拍振”現(xiàn)象，在兩軌枕間輪軌力的波動甚至小于96.5 mm時的情況。結(jié)合圖3(c)無不平順區(qū)段的頻域分析可知，此“拍振”現(xiàn)象是由于車輛—軌道系統(tǒng)出現(xiàn)了共振。對于高速鐵路線路應(yīng)避免該頻率對應(yīng)的軌道短波周期性不平順的出現(xiàn)(如波磨等)，如出現(xiàn)應(yīng)盡早進行軌道相關(guān)養(yǎng)護維修作業(yè)。

圖8 周期性軌道不平順和平順區(qū)段輪軌力差值對比

4 結(jié) 論

(1)通過將輪對所受外力轉(zhuǎn)化到歐拉坐標(biāo)系，并將旋轉(zhuǎn)輪對在歐拉坐標(biāo)系下的模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到拉格朗日坐標(biāo)系下，可以實現(xiàn)歐拉坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對計算與拉格朗日坐標(biāo)系下的車輛—軌道多體動力學(xué)整體模型計算之間的耦合，進而完成迭代計算。

圖9 不同主頻下旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的輪軌力

(2)考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)時，柔性輪對固有頻率出現(xiàn)了頻率分離現(xiàn)象，且隨著輪對旋轉(zhuǎn)速度的增加，頻率分離現(xiàn)象越加明顯，分離頻率大小值之間差距越大。當(dāng)車速大于350 km·h-1時，與旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的1，3，5階彎曲模態(tài)相對應(yīng)的輪軌垂向力分離頻率差值將大于50 Hz。

(3)在扣件系統(tǒng)離散支撐作用下，軌道存在剛度不平順，輪軌間作用力隨之出現(xiàn)波動。柔性輪對的輪軌間垂向力基本為等幅周期性波動，而旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對輪軌間垂向力波動情況相對復(fù)雜，存在多個主頻特征，且比無旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對的高頻波動更加劇烈。

(4)旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對柔性輪對輪軌縱向力的影響較垂向力和橫向力明顯，當(dāng)高鐵線路存在軌道幾何短波不平順時，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)易加劇柔性輪對縱向力高頻波動；對于軌枕間距為0.65 m的高鐵線路，當(dāng)列車在波磨區(qū)段的通過頻率約為1 043 Hz時，輪軌間垂向力出現(xiàn)了隨軌枕位置波動的“拍振”現(xiàn)象，即引起了車輛—軌道系統(tǒng)共振，應(yīng)盡早對其進行軌道養(yǎng)護維修作業(yè)。