Laplace方程邊值問(wèn)題的五點(diǎn)差分格式

支越

(中國(guó)傳媒大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)部，北京 100024)

1 引言

這里δ(x，y)≥0。

若邊界Γ上不同部分滿足不同類型的邊界條件，則為混合邊值問(wèn)題。假設(shè)α(x，y)，β(x，y)，γ(x，y)，δ(x，y)為定義在邊界Γ上的光滑函數(shù)。

本文用五點(diǎn)差分格式建立Laplace方程邊值問(wèn)題的差分方程組，具體步驟如下：

(1)將區(qū)域Ω進(jìn)行網(wǎng)格剖分。

(2)對(duì)區(qū)域Ω上的內(nèi)點(diǎn)建立差分格式。

(3)對(duì)區(qū)域Ω上邊界條件的處理。

為簡(jiǎn)便討論，取區(qū)域Ω為正方形區(qū)域進(jìn)行均勻正方形網(wǎng)格剖分。

2 在差商代替導(dǎo)數(shù)的方法下建立差分格式

2.1 區(qū)域Ω上內(nèi)點(diǎn)的差分格式

對(duì)內(nèi)網(wǎng)格點(diǎn)(i，j)，1≤i≤N-1，1≤j≤N-1，有(N-1)×(N-1)個(gè)內(nèi)點(diǎn)。

內(nèi)點(diǎn)列出的差分格式：-(ui，j+1+ui，j-1+ui+1，j+ui-1，j-4ui，j)=0。

2.2 區(qū)域Ω上的邊界條件的處理

對(duì)于第一類邊界條件，u(x，y)=α(x，y)，?(x，y)∈Γ，將uij=αij直接代入差分方程中 。

對(duì)于第二、三類邊界條件，在正方形區(qū)域Ω四個(gè)邊界外側(cè)的一個(gè)步長(zhǎng)h處，各增設(shè)一排虛網(wǎng)點(diǎn)，用中心差商逼近邊界條件中的法向?qū)?shù)，在四個(gè)邊界點(diǎn)上單獨(dú)列出差分方程。

例如，在左邊界(0，j)(0≤j≤N)的左側(cè)增設(shè)(-1，j)(0≤j≤N)，用中心差商逼近邊界條件中的法向?qū)?shù)

通過(guò)在左邊界增設(shè)一排虛網(wǎng)點(diǎn)，以(0，j)為內(nèi)點(diǎn)建立五點(diǎn)差分格式，與內(nèi)點(diǎn)(i，j)列出的差分格式聯(lián)立，從而消去了虛網(wǎng)點(diǎn)(-1，j)上的未知量u-1，j。

根據(jù)上述方法，以Laplace方程的第二邊值問(wèn)題為例，列出其在上、下、左、右邊界的差分格式。

下邊界差分格式：-2ui，1-ui+1，0-ui-1，0+4ui0=2hβi0，i=1，2，…，N-1

上邊界差分格式：-2ui，N-1-ui+1，N-ui-1，N+4uiN=2hβiN，i=1，2，…，N-1

左邊界差分格式：-2u1，j-u0，j+1-u0，j-1+4u0j=2hβ0j，j=1，2，…，N-1

右邊界差分格式：-2uN-1，j-uN，j+1-uN，j-1+4uNj=2hβNj，j=1，2，…，N-1

角點(diǎn)(0，0)，需要用到左側(cè)的虛網(wǎng)點(diǎn)(-1，0)和下側(cè)的虛網(wǎng)點(diǎn)(0，-1)，由左邊界、下邊界和內(nèi)點(diǎn)的差分格式聯(lián)立，消去未知量u-1，0和u0，-1，(0，N)，(N，0)和(N，N)類似處理。

角點(diǎn)(0，0)，-u1，0-u0，1+2u00=2hβ00

角點(diǎn)(0，N)，-u0，N-1-u1，N+2u0N=2hβ0N

角點(diǎn)(N，0)，-uN，1-uN-1，0+2uN0=2hβN0

角點(diǎn)(N，N)，-uN，N-1-uN-1，N+2uNN=2hβNN

3 在積分插值法下建立差分格式

3.1 區(qū)域Ω上內(nèi)點(diǎn)的差分格式

對(duì)內(nèi)網(wǎng)格點(diǎn)(i，j)，1≤i≤N-1，1≤j≤N-1，區(qū)域Di，j為：

對(duì)區(qū)域Di，j分段積分得-([u]i，j+1+[u]i，j-1+[u]i+1，j+[u]i-1，j-4[u]i，j)≈0。

3.2 區(qū)域Ω上的邊界條件的處理

得-[u]1，0-[u]0，1+2[u]0，0≈2hβ00。

4 差分方程組

Laplace方程第二邊值問(wèn)題的差分方程組如下：

5 結(jié)論

本文用差商代替導(dǎo)數(shù)的方法與積分插值法，對(duì)Laplace方程第二邊值問(wèn)題建立了五點(diǎn)差分格式。對(duì)邊界條件的處理上，通過(guò)增設(shè)虛網(wǎng)點(diǎn)，用中心差商逼近法向?qū)?shù)，但這種方法是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模驗(yàn)長(zhǎng)aplace方程在邊界點(diǎn)上五點(diǎn)差分格式不一定成立。不過(guò)實(shí)際應(yīng)用方便，它列出的邊界點(diǎn)差分格式與積分插值法是一致的。積分插值法的優(yōu)越性是容易在邊界點(diǎn)上建立差分格式，選定積分區(qū)域，進(jìn)行分段積分，這避免了在邊界上逼近法向?qū)?shù)，這樣處理既方便又減少誤差，特別是當(dāng)邊界不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，更顯其優(yōu)越性。