從非一般到一般的構(gòu)造
——數(shù)列通項求解

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

數(shù)列的通項是數(shù)列問題的核心.在大多數(shù)情況下，數(shù)列綜合問題的求解，往往是對數(shù)列通項公式進行研究，因此數(shù)列通項是解決數(shù)列綜合問題的關(guān)鍵與突破口.根據(jù)課標要求以掌握等差、等比數(shù)列的通項求解為重點，但事實上很多數(shù)列問題的通項往往不是已有的等差或等比形式，因此我們需要從非一般的數(shù)列模型轉(zhuǎn)化為一般的等差或等比模型進行求解.

例1已知數(shù)列{an}滿足an-an+1=2an+1an，且a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式.

例2已知數(shù)列{an}滿足nan+1-(n+1)an=2n(n+1)，且a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式.

例3已知數(shù)列{an}滿足an+1-2an=3·2n+1，且a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式.

例4已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解由an+1=2an+3可得an+1+3=2(an+3)，故{an+3}構(gòu)成一個等比數(shù)列.又a1=1,則an+3=4·2n-1，故an=2n+1-3.

一般的，當數(shù)列{an}滿足an+1=Aan+B(其中A,B為常數(shù))可構(gòu)造等比an+1+P=A(an+P)(其中(A-1)P=B，當A=1時{an}為等差數(shù)列；當B=0時{an}為等比數(shù)列，余下必存在P)進行通項求解.

例5已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3n-3，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解由an+1=2an+3n-3得an+1+3(n+1)=2(an+3n)，故{an+3n}構(gòu)成一個等比數(shù)列.又a1=1，則an+3n=4·2n-1，得an=2n+1-3n.

一般的，當數(shù)列{an}滿足an+1=Aan+Bn+C(其中A,B,C為常數(shù))可構(gòu)造等比型數(shù)列an+1+P(n+1)+Q=A(an+Pn+Q)(其中(A-1)P=B,(A-1)Q-P=C)進行通項求解.

例6已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an-3n，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解由an+1=2an-3n得an+1+3n+1=2(an+3n)，則{an+3n}構(gòu)成一個等比數(shù)列.又a1=1，則an+3n=4·2n-1，得an=2n+1-3n.

一般的，當數(shù)列{an}滿足an+1=Aan+Bbn+C(其中A,B,C,b為常數(shù))可構(gòu)造等比型數(shù)列an+1+Pb(n+1)+Q=A(an+Pbn+Q)(其中AP-bP=B,(A-1)Q=C)進行通項求解.

上述幾種非一般數(shù)列模型它們所對應的an+1,an次數(shù)均為一次，很多時候可通過構(gòu)造法，直接形成一個新的等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項求解.但也有一些數(shù)列所給的an+1,an次數(shù)有所不同，也是值得關(guān)注.

例7已知正項數(shù)列{an}滿足an+1=2(an)2，且a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式.

解由an+1=2(an)2得lgan+1=lg2+2lgan，化成lgan+1+lg2=2(lgan+lg2),則{lgan+lg2}構(gòu)成一個等比數(shù)列，且a1=2,則lgan+lg2=2lg2·2n-1=2n·lg2,得lgan=2n·lg2-lg2，故an=22n-1.