第一類、第二類曲線積分的對(duì)比研究

摘 要：第一類與第二類曲線積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生有難度的一個(gè)應(yīng)用問題。首先是對(duì)積分概念引入的理解有難度，其次對(duì)計(jì)算方式的選擇分辨不清楚。本文通過對(duì)教學(xué)實(shí)踐的總結(jié)，從一、二類曲線積分的引入背景以及積分策略、積分注意事項(xiàng)做了全方位的對(duì)比分析研究，通過這種共性以及差異的分析歸納總結(jié)，幫助學(xué)生有效區(qū)分一、二類曲線積分，減少運(yùn)算錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；第一類曲線積分；第二類曲線積分；

第一類與第二類曲線積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生有難度的一個(gè)應(yīng)用問題。二者研究的內(nèi)容（概念、計(jì)算方法）以及解決的問題有相同的地方，更有不同的地方。通過對(duì)教學(xué)實(shí)踐的總結(jié)，從一、二類曲線積分的引入背景以及積分策略、積分注意事項(xiàng)做了一個(gè)全方位的表格對(duì)比分析，通過這種尋找共性以及差異的分析歸納總結(jié)方式，幫助學(xué)生正確有效的把握兩類曲線積分的關(guān)系。

一、第一類與第二類曲線積分的共性與差異

二、如何從題目的陳述上區(qū)分是第一還是第二類曲線積分？

例1.求 ，其中L是拋物線 上從點(diǎn)A（1，2）到點(diǎn)B（1，-2）的一段弧。

例2.求 ，其中L是拋物線 上從點(diǎn)A（1，-1）到點(diǎn)B（1，1）的一段。

解：區(qū)分曲線積分要觀察兩個(gè)地方：積分微元；以及積分路徑與方向有沒有關(guān)系。

容易知道：例1與方向無關(guān)，屬于第一類曲線積分；例2與方向有關(guān)，屬于第二類曲線積分。

三、舉例辨析不同曲線積分的不同解法：

例1.求 ，其中L是拋物線 上從點(diǎn)A（1，2）到點(diǎn)B（1，-2）的一段弧。

解：L關(guān)于 x 軸對(duì)稱。若函數(shù) 是關(guān)于y的奇函數(shù)，則積分為0。

所以：原式= 0

例2.求 ，其中L是拋物線 上從點(diǎn)A（1，-1）到點(diǎn)B（1，1）的一段。

解：雖然L關(guān)于 x 軸對(duì)稱。但是第二類曲線積分不能用對(duì)稱性化簡(jiǎn)，因?yàn)榈诙惽€積分與方向有關(guān)。

取 y 為參數(shù)，則L的參數(shù)方程為：

綜上，在實(shí)際教學(xué)過程中，我們可以通過更多的實(shí)例讓學(xué)生深刻理解第一類與第二類曲線積分的差異，幫助學(xué)生讀清楚題目的要求，準(zhǔn)確抓出解題方法，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 楊晉浩，張勇，羅釗.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[3] 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

作者簡(jiǎn)介：

吳文前（1968—），女，成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，碩士。研究方向：數(shù)學(xué)教育

（作者單位：成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院）